重難點03幾何模型求最值（將軍飲馬模型、建橋選址模型、胡不歸模型）題型解讀｜模型構(gòu)建｜真題強化訓練｜模擬通關試練該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，綜合性大題中的其中一問，難度系數(shù)較大，在各類考試中都以中高檔題為主。本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題。模型01將軍飲馬模型考｜向｜預｜測將軍飲馬模型在考試中主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，該題型綜合考查學生的理解和數(shù)形結(jié)合能力具有一定的難度，也是學生感覺有難度的題型。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①將軍飲馬作對稱點；②兩點之間，線段最短；=3\*GB3③垂線段最短，涉及的基本知識點還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識。答｜題｜技｜巧1.觀察所求為橫向還是縱向的線段長度（定長），將線段按照長度方向平移；2.同側(cè)做對稱點變異側(cè)，異側(cè)直接連線；3.結(jié)合兩點之間，線段最短；垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊等?？贾R點；4.利用數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，將復雜模型變成基本模型；1．（2024·黑龍江）如圖，在矩形中，，，點M是邊的中點，點N是邊上任意一點，將線段繞點M順時針旋轉(zhuǎn)，點N旋轉(zhuǎn)到點，則周長的最小值為（

）A．15 B． C． D．18【答案】B【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，確定點的軌跡是解題的關鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合證明，推出，得到點在平行于，且與的距離為5的直線上運動，作點關于直線的對稱點，連接交直線于點，此時周長取得最小值，由勾股定理可求解．【詳解】解：過點作，交于，過點作垂足為，∵矩形，∴，∴，∴四邊形和都是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∴，∴，∴，∴點在平行于，且與的距離為5的直線上運動，作點關于直線的對稱點，連接交直線于點，此時周長取得最小值，最小值為，∵，，∴，故選：B．1．如圖，已知，點為內(nèi)部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當?shù)闹荛L最小時，則．【答案】/度【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用；作點P關于，的對稱點．連接．則當，是與，的交點時，的周長最短，根據(jù)對稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：作關于，的對稱點．連接．則當，是與，的交點時，的周長最短，連接，關于對稱，∴，同理，，，，，是等腰三角形．，故答案為：．2．如圖，在中，，，，點為直線上一動點，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，作關于直線的對稱點，連接交于，則，，，當重合時，最小，最小值為，再進一步結(jié)合勾股定理求解即可.【詳解】解：如圖，作關于直線的對稱點，連接交于，則，，，∴當重合時，最小，最小值為，∵，，在中，∴，，∴，，∵，∴，故答案為：3．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，過點作軸的垂線，為直線上一動點，連接，，則的最小值為．【答案】5【分析】本題考查軸對稱—最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質(zhì)．先取點A關于直線的對稱點，連交直線于點C，連，得到，，再由軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點之間線段最短，得到當三點共線時，的最小值為，再利用勾股定理求即可．【詳解】解：取點A關于直線的對稱點，連交直線于點C，連，則可知，，∴，即當三點共線時，的最小值為，∵直線垂直于y軸，∴軸，∵，，∴，∴在中，，故答案為：54．如圖，在菱形中，，是邊上一個動點，連接，的垂直平分線交于點，交于點．連接．

(1)求證：；(2)求的最小值．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明，再結(jié)合是的垂直平分線，即可證明；（2）過點N作于點F，連接，，則，故，此時，在中，進行解直角三角形即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴；（2）解：過點N作于點F，連接，

∵，∴，∵，∴，當點A、N、F三點共線時，取得最小值，如圖：

即，∴在中，，∴的最小值為．模型02建橋選址模型考｜向｜預｜測建橋選址模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查軸對稱－－－最短路徑問題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，要利用“兩點之間線段最短”等，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉(zhuǎn)化．答｜題｜技｜巧（1）兩個點都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：輔助線：過點B作關于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.（3）如圖3，兩個點都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過點A、B作關于定直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.1.（2023·南京）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．【答案】【分析】如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值為．故答案為：1.已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．【答案】A【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN；根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此時AM+BN＝AB′．【詳解】解：如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN．根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故選A．2.如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是（

）A．4 B．4+ C．2+2 D．6【答案】D【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，進而得出△AEF周長的最小值即可．【詳解】解：如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，即△AEF的周長最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，∵菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH＝∴AE+AF的最小值4，∴△AEF的周長的最小值＝4+2＝6，故選：D．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)與動點問題最小值，構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化相關的線段是解題關鍵．3.如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分別是AD、BC邊上的動點，且∠ABC=∠MNB=60°，則BM+MN+ND的最小值是．

【答案】129+4【分析】由∠MNB=60°可知MN為定長，在AD、BC間滑動，故由造橋選址模型進行平移，轉(zhuǎn)化為兩點間距離加上定長，再利用特殊角構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理求出兩點間距離．【詳解】解：作ME∥AB交BC于點E，在AD取DF=MN，連接EF，延長AB至點B'，使BB'=ME，連接

∵AB∥∴∠MEN=∠ABC=∠MNB=60°，∴△MEN為等邊三角形，∴ME=EN=MN，∵?ABCD，∴AD∥BC，∴四邊形ABEM為平行四邊形，

同理得四邊形BB'EM∴ME=EN=MN=AB=4，B'E=BM，∴BM+MN+ND=BRt△B'HA中，Rt△B'∴BM+MN+ND≥129即BM+MN+ND的最小值是129+4故答案為：129+44.如圖，在矩形中，，，為的中點，若為邊上的兩個動點，且，若想使得四邊形的周長最小，則的長度應為__________.【答案】【分析】四邊形APQE的周長中AE和PQ是定值，要是四邊形APQE的周長最小，只要AP+QE最小即可；在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，根據(jù)題意可得,即可求出CQ=，則BP=CB-PQ-CQ即可求解?！驹斀狻拷猓喝鐖D，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．∵E為CD的中點，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，∵BC//GH∴△QCE∽△GHE,∴,∴，∴CQ=，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．故答案為．5.如圖，已知為的直徑，，是的切線，切點分別為點，，點為上的一個動點，連結(jié)，．若，，則的最小值是．【答案】【分析】過點作于點，延長交于點，連接交于點，利用將軍飲馬模型可得此時最小，連接，，，利用相似三角形的性質(zhì)可得，設，則，利用勾股定理求得，再利用，求出的長，進而求出的長；過點作于點，則四邊形為矩形，，，則，再利用勾股定理即可求得結(jié)論．【詳解】解：過點作于點，延長交于點，連接交于點，如圖，為的直徑，，．點與點關于對稱．，此時最?。B接，，，為的直徑，，．，是的切線，，，，．，．，．．．．設，則，為的直徑，．．．．，，，．．．．．，，．．．．．過點作于點，則四邊形為矩形，，．．在中，，．故答案為：．模型03胡不歸模型考｜向｜預｜測胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，近年在中考數(shù)學和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。答｜題｜技｜巧1.構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型；2.借助三角函數(shù)，構(gòu)造銳角α，將另一個系數(shù)也化為1；3.利用“垂線段最短”原理構(gòu)造最短距離；4.數(shù)形結(jié)合解題1．（2023·安徽）如圖，為等邊三角形，平分，，點E為上動點，連接，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】過A作于F，過點P作于E，故，故，求出即可．【詳解】解：過A作于F，過點P作于E，∵為等邊三角形，平分，∴，∴，∴，即的最小值為的長，∵，∴，∴，∴的最小值為．故選：C．1．如圖，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由四邊形是菱形結(jié)合其性質(zhì)，將進行轉(zhuǎn)化，再由“垂線段最短”的思想進行求解即可得解．【詳解】連接AC交OB于點M，過M點作MH⊥OC于點H，過點A作AG垂直O(jiān)C于點G，交OB于點P∵四邊形是菱形∴AM⊥OB，，，∵∴，∵MH⊥OC，AM⊥OB∴∴∴∵∴∴當A、P、G三點共線且AG⊥OC時有的最小值AG，如下圖所示∵菱形的面積∴∴的最小值為4，故選：A．2．如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為．

【答案】6【分析】過點P作，連接并延長交于點F，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到，，然后利用含角直角三角形的性質(zhì)得到，進而求出，然后利用代入求解即可．【詳解】如圖所示，過點P作，連接并延長交于點F，連接

∵是等邊三角形，∴∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值為的長度∵是等邊三角形，，∴∴的最小值為6．故答案為：6．3．如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是．【答案】【分析】過點P作于點Q，過點C作于點H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質(zhì)得出，則，當C、P、Q三點共線，且與垂直時，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．【詳解】解：過點P作于點Q，過點C作于點H，由題意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當C、P、Q三點共線，且與垂直時，最小，最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值為．故答案為：．4．如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當時，求的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，點為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)的最小值為：【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；（2）求解的對稱軸為直線，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）求解，，可得，求解直線為，及，證明在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，可得，，證明，可得，可得，再進一步求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：∵的對稱軸為直線，而，∴函數(shù)最小值為：，當時，，當時，，∴函數(shù)值的范圍為：；（3）解：∵，當時，，∴，當時，解得：，，∴，∴，設直線為，∴，∴，∴直線為，∵拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，而頂點為，∴，∴在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，∵，，∴，，∵對稱軸與軸平行，∴，∴，∴，由拋物線的對稱性可得：，，∴，當三點共線時取等號，∴，∴，∴，即的最小值為：．1.（2023·四川）如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB=8，M，N是直線BC上的動點，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，過O作OH∥BC，且令OH=2，連接NH，作O點關于BC的對稱點K，連接OK，KH，則OM+ON=NH+ON=NH+NK≥HK，當H、N、K三點共線的時候，OM+ON有最小值，最小值為HK的長．根據(jù)矩形性質(zhì)及圖形的對稱性，易知，在中，運用勾股定理求得HK的長即可．【詳解】解：過O作OH∥BC，且令OH=2，連接NH，作O點關于BC的對稱點K，連接OK，KH，∵OH∥BC，OH=MN=2，∴四邊形OMNH是平行四邊形，∴OM=NH，∴OM+ON=NH+ON．∵O點關于BC的對稱點是點K，∴ON=NK，∴OM+ON=NH+ON=NH+NK，∵，∴當H、N、K三點共線的時候，OM+ON有最小值，最小值為HK的長．∵OH∥BC，O點關于BC的對稱點是點K，∴．

∵O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，O點關于BC的對稱點是點K，∴OK=AB=8．∵OH=2，，∴，∴OM+ON的最小值是．2.（2024·安徽）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對角線上運動，若⊙O的周長為，，則周長的最小值是．

【答案】/【分析】過點作，令；可推出四邊形為平行四邊形，有；根據(jù)可知當時，周長有最小值.【詳解】解：過點作，令

∵⊙O的周長為，∴⊙O的半徑為∴∵且∴四邊形為平行四邊形∴由正方形的對稱性可得：∴∴故：當時，周長有最小值此時：∴周長的最小值是故答案為：3．（2023·浙江）如圖，平行四邊形中，，，，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：延長，過點B作交于點P，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，則，則，同理可得：，∴，∴當點E、P、B在同一條直線上時，的值最小，∵，∴．故選：A．

4．（2023·四川）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【詳解】解：過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．5．（2023·湖南）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：直線同旁有兩個定點A、B，在直線上存在點，使得的值最小．解法：如圖1，作A點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：(1)幾何應用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；(2)幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．【答案】(1)(2)，圖和理由見解析【詳解】（1）解：如圖2所示，作點A關于的對稱點，連接交于P，此時的值最小．連接，由勾股定理得，，∵是的中點，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值．故答案為：；（2）解：如圖3，作點C關于直線的對稱點，作于N，交于M，連接，則，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴的最小值為．6．（2023·陜西）在學習對稱的知識點時，我們認識了如下圖所示的“將軍飲馬”模型求最短距離．問題提出：(1)如圖1所示，已知A，B是直線l同旁的兩個定點．在直線l上確定一點P，并連接與，使的值最?。?/p>

問題探究：(2)如圖2所示，正方形的邊長為2，E為的中點，P是上一動點．連接和，則的最小值是___________；

問題解決：(3)某地有一如圖3所示的三角形空地，已知，P是內(nèi)一點，連接后測得米，現(xiàn)當?shù)卣谌切慰盏刂行抟粋€三角形花壇，點分別是邊上的任意一點（不與各邊頂點重合），求周長的最小值．

【答案】(1)見解析(2)(3)【詳解】（1）解：如圖所示，當P點在如圖所示的位置時，的值最小；

（2）解：如下圖所示，

∵四邊形是正方形，∴垂直平分，∴，由題意易得：，當D、P、E共線時，在中，根據(jù)勾股定理得，．（3）解：如下圖所示，分別作點P關于，的對稱點，連接，交，于點，連接，此時周長的最小值等于．

由軸對稱性質(zhì)可得，，∴，在中，即周長的最小值等于．1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一條高線．若E，F(xiàn)分別是CD和BC上的動點，則BE+EF的最小值是（）A．6 B．32 C．33 D．3【解析】作B關于CD的對稱點B′，過B′作B′F⊥BC于F交CD于E，則B′F的長度即為BE+EF的最小值，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BD=12CD，根據(jù)已知條件得到BB′＝BC，推出△CDB≌△BB′F，于是得到B′F＝CD=32BC【詳解】解：作B關于CD的對稱點B′，過B′作B′F⊥BC于F交CD于E，則B′F的長度即為BE+EF的最小值，∵∠ABC＝60°，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∴BD=12∵BD=12∴BB′＝BC，在△CDB與△B′FB中，∠CDB=∠B'FB∠B'BF=∠CBD∴△CDB≌△BB′F，∴B′F＝CD=32BC＝3故選：C．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，CD＝2，BD＝3，Q為AB上一動點，則DQ的最小值為（）A．1 B．2 C．2.5 D．5【解析】作DH⊥AB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝DC＝2，然后根據(jù)垂線段最短求解．【詳解】解：作DH⊥AB于H，如圖，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝2，∵Q為AB上一動點，∴DQ的最小值為DH的長，即DQ的最小值為2．故選：B．3.如圖，∠AOB＝30°，點P是∠AOB內(nèi)的定點且OP＝3，若點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則△PMN周長的最小值是（）A．3 B．23 C．43 D【解析】作點P關于OB的對稱點P'，點P關于OA的對稱點P''，連接P'P''與OA，OB分別交于點M與N，則P'P''的長即為△PMN周長的最小值；連接OP'，OP''，利用已知條件可以證明∠P′OP″＝60°即可求出P'P''；【詳解】解：作點P關于OB的對稱點P'，點P關于OA的對稱點P''，連接P'P''與OA，OB分別交于點M與N，則P'P''的長即為△PMN周長的最小值，連接OP'，OP''，∵OP＝3，∠AOB＝30°，由對稱性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°，∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°，∴OP′＝OP''＝P'P''，∴P'P''＝3；故選：A．4．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE交BC于點D，垂足為E，M為DE上任意一點，BA＝3，AC＝4，BC＝6，則△AMC周長的最小值為（）A．7 B．6 C．9 D．10【解析】連接BM，依據(jù)DE是AB的垂直平分線，可得AM＝BM，進而得到當B，M，C在同一直線上時，AM+CM的最小值為BC的長，依據(jù)AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周長的最小值．【詳解】解：如圖所示，連接BM，∵DE是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，當B，M，C在同一直線上時，AM+CM的最小值為BC的長，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周長的最小值＝6+4＝10，故選：D．5．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN的周長最小時，則∠ANM+∠AMN的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．130°【解析】作A點關于CD的對稱點F，作A點關于BC的對稱點E，連接EF交CD于N，交BC于M，連接AM、