重難點09函數(shù)的綜合應(yīng)用題型總結(jié)（一次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用、二次函數(shù)的實際應(yīng)用）題型解讀｜模型構(gòu)建｜真題強化訓(xùn)練｜模擬通關(guān)試練本專題主要對初中階段學(xué)習(xí)的幾大函數(shù)的中招常考題型進行整理、分析，從出題人的角度分析下函數(shù)在中招考試中的定位。一次函數(shù)是初中階段接觸函數(shù)的基礎(chǔ)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)在考試中主要是以選擇、填空題的基礎(chǔ)題型形式出現(xiàn)，解答題中一次函數(shù)常與方程、不等式等結(jié)合，一般會涉及到結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進行討論。反比例函數(shù)從表達式上較為簡單，基礎(chǔ)題型中反比例的幾何意義是考試的重點，解答題中常與幾何結(jié)合，主要是涉及到面積問題、動點問題等。二次函數(shù)具有一定的難度，二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)是必考點，兩種常考的表達形式需要學(xué)生靈活應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用在近年的中招考試中出現(xiàn)次數(shù)較多，在實際應(yīng)用題型中需要學(xué)生具有一定的基礎(chǔ)運算能力。二函數(shù)的圖象與性質(zhì)探究，主要涉及到取值范圍、交點問題、動點問題等討論形式，本專題根據(jù)考試題型分類歸納總結(jié)。模型01一次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測一次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用題型中圖象與性質(zhì)在選擇和填空中考的較多，一次函數(shù)的應(yīng)用主要是綜合性應(yīng)用，一次函數(shù)與方程、不等式結(jié)合去考，解答題中會經(jīng)常考到。在解題時需要同學(xué)們對一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)真正理解。所考題型難度中等，相對較容易得分。答｜題｜技｜巧1.審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系；2.找準自變量和因變量，根據(jù)二者之間的關(guān)系確定表達式；3.列函數(shù)。根據(jù)各個量之間的關(guān)系列出函數(shù)；4.求解，求出滿足題意的數(shù)值。1．（2024·廣東）如圖表示光從空氣進入水中入水前與入水后的光路圖，若按如圖建立坐標系，并設(shè)入水與前與入水后光線所在直線的表達式分別為，，則關(guān)于與的關(guān)系，正確的是（）A．， B．， C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，在兩個圖象上分別取橫坐標為，的兩個點和，則，，，，當(dāng)取橫坐標為正數(shù)時，同理可得，，，，故選：C1．已知一次函數(shù)的圖象如圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．隨的增大而減小D．圖形向上平移兩個單位長度后，與坐標軸圍成的三角形的面積變小【答案】A【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷即可．【詳解】由圖象知，﹥，且隨的增大而增大，故選項A結(jié)論正確，符合題意，C選項錯誤，不符合題意；圖象與軸交于負半軸，所以，B選項錯誤，不符合題意；圖形向上平移，與坐標軸圍成的三角形的面積會逐漸變小，當(dāng)過原點后，與坐標軸圍成的三角形的面積會逐漸變大，故D選項錯誤，不符合題意；故選：A．2．已知，則一次函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)中決定函數(shù)的增減性，決定與軸交點的縱坐標．由，，則可得一次函數(shù)的值隨值的增大而減小，且與軸交于正半軸，即可判斷．【詳解】解：∵，∴，∴一次函數(shù)的值隨值的增大而減小，且與軸交于正半軸，只有選項B符合題意，故選：B．3．已知一次函數(shù)和在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的方程組的解為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標．利用方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)和的圖象的交點坐標為，∴關(guān)于x，y的方程組的解是．故選：B．4．對于某個一次函數(shù)，兩位同學(xué)談?wù)摿舜撕瘮?shù)的部分特點，根據(jù)對話下列判斷錯誤的選項為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限可得，再將點代入函數(shù)解析式可得，據(jù)此逐項判斷即可得．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，且過點，∴，則選項A正確；∴，則選項C正確；∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，即，，則選項D正確；∴，則選項B錯誤；故選：B．5．如圖，一次函數(shù)與坐標軸分別交于A、B兩點，點P、C分別是線段，上的點，且，，則點P的坐標為．【答案】/【分析】根據(jù)，，證明，從而證明，得到，過點P作軸，求得，，，根據(jù)點所在象限即可確定點P的坐標．【詳解】解：把代入一次函數(shù)得，把代入一次函數(shù)得：，解得：，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，過點P作軸，垂足為D，∵，∴,∴，∴，∵，∴，∴，∵點P在第二象限，∴點，故答案為：．6．一次函數(shù)與的圖象如圖所示，其交點為，則不等式的解集為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．先求出兩個一次函數(shù)與軸的交點坐標，再根據(jù)不等式表示的是直線位于直線的下方，結(jié)合函數(shù)圖象即可得．【詳解】解：將代入一次函數(shù)得：，∴一次函數(shù)與軸的交點坐標為，位于軸的正半軸上，將代入一次函數(shù)得：，∴一次函數(shù)與軸的交點坐標為，位于軸的負半軸上，如圖，一次函數(shù)的圖象為直線，一次函數(shù)的圖象為直線，∵不等式表示的是直線位于直線的下方，且兩條直線的交點為，∴結(jié)合函數(shù)圖象可知，不等式的解集為，故答案為：．7．新定義：若函數(shù)圖象恒過點，我們稱為該函數(shù)的“永恒點”．如：一次函數(shù)，無論值如何變化，該函數(shù)圖象恒過點，則點稱為這個函數(shù)的“永恒點”．【初步理解】一次函數(shù)的定點的坐標是__________；【理解應(yīng)用】二次函數(shù)落在軸負半軸的定點的坐標是__________，落在軸正半軸的定點的坐標是__________；【知識遷移】點為拋物線的頂點，設(shè)點到直線的距離為，點到直線的距離為，請問是否為定值？如果是，請求出的值；如果不是，請說明理由．【答案】【初步理解】；【理解應(yīng)用】，；【知識遷移】是，２【分析】【初步理解】解析式變形為，求解即可;【理解應(yīng)用】由二次函數(shù)變形為，求解即可;【知識遷移】由題意可得：，，作輔助線如解析圖，則，，，，，，構(gòu)建相似三角形，找出比例關(guān)系即可；【詳解】解：【初步理解】由一次函數(shù)變形為，，當(dāng)時，無論值如何變化，故一次函數(shù)必過一定點．故答案為：．【理解應(yīng)用】由二次函數(shù)變形為，，當(dāng)時，無論值如何變化，當(dāng)時，無論值如何變化，故二次函數(shù)必過定點，．所以二次函數(shù)落在軸負半軸的定點的坐標是，落在軸正半軸的定點的坐標是；故答案為：，．【知識遷移】由題意得∴，由上一小題得：，作軸交直線于點，作軸交直線于點，則，，，分別過點、作直線的垂線，垂足為、，則，，，，，∵，，即模型02反比例函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測反比例函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答題不規(guī)范等原因?qū)е率Х帧目键c頻率看，反比例函數(shù)中的K值和三角形、平行四邊形、特殊的平行四邊形的綜合是考查的重點，也是高頻考點、必考點。從題型角度看，以解答題為主，分值9分左右，難度系數(shù)較低，需要理解加以靈活應(yīng)用！答｜題｜技｜巧根據(jù)圖象特點求解反比例的表達式；判定反比例函數(shù)的幾何意義以及與其它函數(shù)或幾何圖形的關(guān)系；求解反比例函數(shù)中幾何特性、動點問題討論；利用相關(guān)的性質(zhì)和判定進行推理和計算。1．（2024·江蘇）反比例函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值和最小值之差為4，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∴反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)隨的增大而增大，當(dāng)時，函數(shù)的最大值和最小值之差為4，，解得：．故選：D1．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法錯誤的是（

）A．圖像經(jīng)過點 B．圖像位于第一、三象限C．當(dāng)時，y隨x的增大而增大 D．當(dāng)時，【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，理解并掌握反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：對于反比例函數(shù)，當(dāng)時，可有，即圖像經(jīng)過點，因為，所以圖該函數(shù)像位于第一、三象限，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，，故選項A、B、D正確，不符合題意，選項C錯誤，符合題意．故選：C．2．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點，在反比例函數(shù)的圖象上，對角線平行于軸，坐標原點為的中點，若，則的值為（

）A．100 B．150 C．200 D．250【答案】B【分析】過點作軸點，由菱形的性質(zhì)可得，又由軸，是的中點，，可證明，則有，根據(jù)反比例函數(shù)的意義可得，即可求的值．【詳解】解：過點作軸于點，是的中點，是菱形，，，軸，O為的中點∴，∴，，，∵四邊形是菱形，∴，，∵，，，記與軸交于點F，∵，均垂直軸，，，，，，，故選：B．3．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上任取一點，過點作軸交反比例函數(shù)的圖象于點，是軸負半軸上一點，連接，，則的面積為（

）A．8 B．10 C．14 D．16【答案】A【分析】本題考查反比例函數(shù)，熟練利用反比例函數(shù)的解析式求點的坐標，運用三角形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．設(shè)點的橫坐標為，代入反比例函數(shù)中，可得到，由于軸，可得，從而可得的長，知道的底和高，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)點橫坐標為∵點在上∴∵軸∴∵在上∴，則∴．故選：A．4．某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．此函數(shù)的解析式為，則n的值為．

【答案】160【分析】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用；點代入，即可求解．【詳解】解：將點代入得：，解得，故答案為：160．5．如圖，在平面直角坐標系中，菱形在第一象限內(nèi)，邊與軸平行，兩點縱坐標分別為6，4，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A，B兩點．若菱形的面積為，則菱形的邊長為，的值為．

【答案】12【分析】本題考查了反比例函數(shù)和幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．過點A作軸的垂線，交的延長線于點，根據(jù)A，兩點的縱坐標分別為，，可得出橫坐標，即可表示，的長，根據(jù)菱形的面積為，求得的長；在中，勾股定理計算的長，列方程即可得出的值．【詳解】解：過點A作軸的垂線，交的延長線于點，

軸，，，兩點在反比例函數(shù)的圖象上，且縱坐標分別為，，，，，，菱形的面積為，，即，，即菱形的邊長為；在中，，，．故答案為：，126．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點，，與y軸相交于點C．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)根據(jù)圖象直接寫出時，x的取值范圍．(3)求的面積．【答案】(1)；(2)或．(3)【分析】本題考查了反比例和一次函數(shù)解析式的求法，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．解題的關(guān)鍵是先根據(jù)題意求出各個解析式．（1）由點A的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k值，從而得出反比例函數(shù)表達式，再由點B的坐標和反比例函數(shù)表達式即可求出m值，結(jié)合點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)表達式；（2）根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點橫坐標以及圖象的位置關(guān)系即可得到答案；（3）令一次函數(shù)表達式中求出y值即可得出點C的坐標，利用分解圖形求面積法結(jié)合點A、B的坐標即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得：，∴點．將、代入中，得：，解得：，∴一次函數(shù)的表達式為．（2）∵一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點，，∴由圖象可知，時，x的取值范圍為或．（3）令中，則，∴點C的坐標為，∴．7．如圖，在矩形中，，F(xiàn)是上的一個動點（F不與A，B重合），過點F的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點E．(1)當(dāng)F為的中點時，求該函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)k為何值時，的面積為．【答案】(1)(2)當(dāng)?shù)闹禐?或4時，的面積為．【分析】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定反比例解析式，解一元二次方程等知識．（1）當(dāng)F為的中點時，點F的坐標為，由此代入求得函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)圖中的點的坐標表示出三角形的面積，得到關(guān)于k的方程，通過解方程求得k的值即可．【詳解】（1）解：∵在矩形中，，，，為的中點，，又∵點在反比例函數(shù)的圖象上，，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：由題意知，兩點坐標分別為，，，的面積為，∴，整理得，解得，，∴當(dāng)?shù)闹禐?或4時，的面積為．8．如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B，點A的橫坐標為，點B的橫坐標為2；

(1)求k和b的值；(2)若點C在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象上，直線與直線交于點M，且，求點C的坐標；(3)若點C在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象上，點D是平面直角坐標系內(nèi)的一點，且以點A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形，求點C的坐標．【答案】(1)(2)點C的坐標為或(3)點C的坐標為或【分析】（1）設(shè)點A的坐標為，代入反比例函數(shù)的表達式可得點B的坐標為，將點A，B的坐標分別代入，即可得到結(jié)論；（2）由（1）得，求得直線的函數(shù)表達式為，設(shè)．①如圖1，當(dāng)點M在線段上時；②如圖2，當(dāng)點M在線段的延長線上時；③由，知，則點M不在線段的延長線上，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)點C的坐標為，且，①如圖3，當(dāng)為矩形的邊時，過點B作x軸的平行線，分別過點A，C作這條平行線的垂線，垂足分別為M，N，②如圖4，當(dāng)為矩形的對角線時，過點C作y軸的平行線，分別過點A，B作這條平行線的垂線，垂足分別為P，Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)點A的坐標為，代入反比例函數(shù)的表達式，得，∴點B的坐標為，將點A，B的坐標分別代入，得，解得，∴；（2）解：由（1），得，∴直線的函數(shù)表達式為，∵直線與直線交于點M，∴點M在直線上，設(shè)，①如圖1，當(dāng)點M在線段上時，分別過點A、B作x軸和y軸的平行線，交于一點N，過點M作于點D，如圖，

∴，，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴點M的坐標為，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，∴，解得：，∴直線的函數(shù)表達式為，由得（負值舍去），∴點C的坐標為；②如圖2，當(dāng)點M在線段的延長線上時，

∵，∴，同理①，得，解得，∴點M的坐標為，同理可得：直線的解析式為，由得（負值舍去），∴點C的坐標為；③由，知，則點M不在線段的延長線上，綜上所述，點C的坐標為或；（3）解：設(shè)點C的坐標為，且，①如圖3，當(dāng)為矩形的邊時，過點B作x軸的平行線，

分別過點A，C作這條平行線的垂線，垂足分別為M，N，∴，∴，∴，∴，∴，即，化簡，得，解得，（與點B重合，舍去），∴點；②如圖4，當(dāng)為矩形的對角線時，過點C作y軸的平行線，分別過點A，B作這條平行線的垂線，垂足分別為P，Q，

同理①可得：，∴，∴，化簡，得，解得，（負值舍去），（負值舍去），（與點B重合，舍去）；∴點C的坐標為，綜上所述，點C的坐標為或．模型03二次函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測二次函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用該題型是中考必考內(nèi)容，選擇題形式一般考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答題形式一般與三角形、四邊形等問題結(jié)合起來，難度較大，通常是壓軸題，要么以函數(shù)為背景引出動態(tài)幾何問題，要么以動態(tài)圖形為背景，滲透二次函數(shù)問題，是數(shù)形結(jié)合思想的典例。答｜題｜技｜巧1.一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設(shè)出該點的坐標；2.用該點的坐標表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標等；3.結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，4.結(jié)合其它相關(guān)知識解題；1．（2023·河南）對于二次函數(shù)的圖象，下列說法錯誤的是（

）A．開口向上 B．頂點坐標是C．當(dāng)時，隨的增大而增大D．對稱軸是直線【答案】D【詳解】解：A、，開口向上，故A說法正確，不合題意；B、頂點坐標為，故B說法正確，不合題意；C、當(dāng)時，拋物線右側(cè)部分，隨的增大而增大，故C說法正確，不合題意；D、拋物線對稱軸為，故D說法錯誤，符合題意；故選：D．1．如圖所示為二次函數(shù)的圖象，對稱軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（

）

A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，關(guān)注特殊點的坐標．結(jié)論①根據(jù)圖象與x軸的交點個數(shù)確定，即可對其進行判斷；結(jié)論②根據(jù)圖象與y軸的交點位于x軸上方確定，即可對其進行判斷；結(jié)論③根據(jù)拋物線的對稱軸方程得到，結(jié)合特殊點坐標時，，即可對其進行判斷；結(jié)論④根據(jù)拋物線的對稱軸方程得到，結(jié)合特殊點坐標時，，即可對其進行判斷，從而得到正確個數(shù)．【詳解】解：①∵拋物線與x軸有2個交點∴∴故①正確；②∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點位于x軸上方∴故②錯誤；③∵對稱軸是∴解得∴∵當(dāng)時，∴故③正確；④∵圖像開口向下∴∵對稱軸是∴，則當(dāng)時，將代入，得解得故④正確．故選A．2．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為．已知點，，將函數(shù)圖象向上平移個單位長度，若平移后的函數(shù)圖象與線段只有一個公共點，則的取值范圍為（

）A．或 B．或C． D．或【答案】A【分析】本題主要考查了一次和二次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式、圖形的平移等，利用拋物線關(guān)于對稱軸對稱，求出拋物線與x軸的另一個交點，拋物線，可得拋物線向上平移m個單位后解析式為，平移后的拋物線的頂點坐標為，①當(dāng)拋物線頂點落在上時，則，解得②當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，構(gòu)建方程求出m的值可得結(jié)論．【詳解】解：由題意拋物線的對稱軸是直線，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為，則有，∴，∴關(guān)于x的一元二次方程的解為，；∴拋物線，拋物線向上平移m個單位后解析式為，∴平移后的拋物線的頂點坐標為，①當(dāng)拋物線頂點落在上時，則，解得，②當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，，解得；當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，，解得，∴時滿足題意．綜上所述，或．故選：A．3．如圖是二次函數(shù)（a、b、c是常數(shù)，）圖象的一部分，與x軸的交點A在點和之間，對稱軸是直線．對于以下說法：①；②；③；④（m為實數(shù))；⑤當(dāng)時，，其中正確的是（

）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，由拋物線開口方向及對稱軸判斷；由函數(shù)的值判斷；由二次函數(shù)的最值即可判斷；由二次函數(shù)的圖象與x軸的交點可判斷⑤，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合方法分析問題．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵對稱軸是直線．∴，即，∴；，故①錯誤，②正確；∵與x軸的交點A在點和之間，對稱軸是．∴與x軸的另一個交點在和之間，∴當(dāng)時，，故選項③正確，∵拋物線開口向下，對稱軸是直線．∴當(dāng)時，二次函數(shù)取得最大值為．∴m為實數(shù)時，，即（m為實數(shù))；故④正確；∵與x軸的交點A在點和之間，對稱軸是直線．∴與x軸的另一個交點在和之間，當(dāng)時，或，故⑤錯誤，綜上，②③④正確，故選：C．4．二次函數(shù)的圖象如圖所示，點位于坐標原點，，，，…，在y軸的正半軸上，，，，…，在二次函數(shù)第一象限的圖象上，若，，…，都是等邊三角形，則的周長是（

）A．6078 B．6075 C．6072 D．6069【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形類規(guī)律探索，設(shè)，，，作軸于，軸于，軸于，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，，解直角三角形得出，即，，，求出，得出的周長為，同理可得的周長為，的周長為，得出規(guī)律計算即可得解．【詳解】解：∵，，，…，在二次函數(shù)第一象限的圖象上，∴設(shè)，，，如圖，作軸于，軸于，軸于，，∵是等邊三角形，∴，，，∴，∴，即，，∴，∴的周長為，∵，是等邊三角形，∴，，，∴，∴，即，，，∴，∴的周長為，同理可得的周長為，由此可得的周長是，故選：A．5．設(shè)二次函數(shù)（是常數(shù)），已知函數(shù)值和自變量的部分對應(yīng)取值如表所示．．．．012．．．．．．11．．．(1)若，求二次函數(shù)的表達式．(2)若當(dāng)時，有最小值，求的值．(3)求證：．【答案】(1)二次函數(shù)的表達式(2)或(3)證明過程見詳解【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象開口，對稱軸直線，增減性，最值的計算是關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格信息得到對稱軸直線為，即，時，，運用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意得到，分類討論：當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口象限，對稱軸直線處取得最小值；當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸直線為，離對稱軸直線越遠，函數(shù)值越小，當(dāng)時，取得最小值；代入求值即可；（3）根據(jù)題意當(dāng)時，，當(dāng)時，，得，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴對稱軸直線為，即，∴，若，即時，，∴，∴，解得，，∴二次函數(shù)的表達式；（2）解：根據(jù)題意，，，∴，當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口象限，對稱軸直線處取得最小值，∴，解得，；當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸直線為，離對稱軸直線越遠，函數(shù)值越小，∴當(dāng)時，取得最小值，∴，解得，；（3）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，∵，∴關(guān)于的二次函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)的最大值為，∴．模型04二次函數(shù)的實際應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測二次函數(shù)的實際應(yīng)用該題型在中考中可以是以選擇、填空題的形式考察，也可以以解答題的形式考察，題目的難度都在中上等，也常作為中考中難度較大的一類壓軸題的問題背景，占的分值也較高。而考察的內(nèi)容主要有:二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、解析式的求法、幾何變化、以及函數(shù)與幾何圖形相關(guān)的綜合應(yīng)用等。其中，二次函數(shù)與其他綜合相關(guān)的實際問題，雖然不是壓軸出題，但是一般計算量較大，需要考試特別注意自己的計算不要有失誤。答｜題｜技｜巧1.理解題意，根據(jù)題意求二次函數(shù)的表達式，一般應(yīng)用頂點式；2.根據(jù)題意，求解二次函數(shù)的交點坐標、最值等進行相關(guān)判斷；3.根據(jù)實際情況進行討論，一般涉及到二次函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用；4.利用相關(guān)的性質(zhì)和判定進行推理和計算。1．（2024·江蘇揚州）冰雪運動越來越受大家的青睞，這是某運動員在自由式滑雪大跳臺訓(xùn)練中從高的跳臺滑出后的運動路線是一條拋物線，設(shè)他與跳臺邊緣的水平距離為，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為，與的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)他與跳臺邊緣的水平距離為時，豎直高度達到最大值．

【答案】6【詳解】解：運動員的豎直高度與的函數(shù)關(guān)系式為，圖象是一段開口向下的拋物線，對稱軸為：，在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)，豎直高度達到最大值．故答案為：6．例2．（2024·貴州黔東南·一模）小明和小亮在做傳球訓(xùn)練，某同學(xué)借做此情境編了一道數(shù)學(xué)題．在如圖的平面直角坐標系中，一個單位長度代表1m，小明從點處將球傳出，其運動路線為拋物線的一部分，小亮在處接住球，然后跳起將球傳出，球的運動路線是拋物線的一部分．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)設(shè)拋物線的頂點為點，在軸上找一點，求使的值最大的點的坐標；(3)若小明在軸上方2m的高度上，且到點水平距離不超過1m的范圍內(nèi)可以接到球，求符合條件的的整數(shù)值．【答案】(1)(2)坐標為(3)符合條件的的整數(shù)值為7，8【詳解】（1）解：點在拋物線上，，解得，拋物線的表達式為；（2）解：直線與軸的交點就是所求的點，如圖所示：的頂點的坐標為，設(shè)直線的解析式為，，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時，解得，即直線與軸的交點為，點坐標為；（3）解：小明在軸上方的高度上，且到點水平距離不超過的范圍內(nèi)可以接到球，設(shè)接球點為點，點坐標為，如圖所示：則，把代入，得，解得；把代入，得，解得；，符合條件的的整數(shù)值為7，8．1．問題提出若一元二次方程的兩根為，，我們可以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，．已知方程的兩根為，，則，．探究引申若多項式中，存在，，則多項式可在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，分解結(jié)果為，而其中．即為一元二次方程的兩根．例如：把多項式分解因式，可以令，解該方程得，，故多項式在實數(shù)范圍內(nèi)可分解為．請利用上述方法在實數(shù)范圍內(nèi)把下列多項式分解因式．（1）．（2）．應(yīng)用拓展已知二次函數(shù)與軸的兩個交點坐標分別為和，請直接寫出該拋物線的解析式．【答案】問題提出3，；探究引申（1）；（2）；應(yīng)用拓展【分析】問題提出根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出即可；探究引申（1）令，解得方程的解，然后寫出即可；（2）令，解得方程的解，然后寫出即可；應(yīng)用拓展根據(jù)二次函數(shù)與方程的關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系寫出即可．【詳解】問題提出已知方程的兩根為，，則，，故答案為：3，．探究引申（1）令，解得，，則；（2）令，解得，，則；應(yīng)用拓展∵二次函數(shù)與軸的兩個交點坐標分別為和，∴，該拋物線的解析式為，2．【定義】函數(shù)圖象上的任意一點P（x，y），y﹣x稱為該點的“坐標差”，函數(shù)圖象上所有點的“坐標差”的最大值稱為該函數(shù)的“特征值”【感悟】根據(jù)你的閱讀理解回答問題：（1）點P（2，1）的“坐標差”為；（直接寫出答案）（2）求一次函數(shù)y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；【應(yīng)用】（3）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x軸于點A，交y軸于點B，點A與點B的“坐標差”相等，若此二次函數(shù)的“特征值”為﹣1，當(dāng)m≤x≤m+3時，此函數(shù)的最大值為﹣2m，求m．【答案】（1）-1；（2）4；（3）m＝或m＝【分析】（1）根據(jù)定義直接計算即可．（2）由坐標差的定義得到坐標差的函數(shù)解析式．然后根據(jù)一次函數(shù)的最值出特征值即可．（3）設(shè)B點坐標為（0，c），由點A與點B的“坐標差”相等，可得A點坐標為（﹣c，0），代入解析可得c+b＝1，再由該函數(shù)圖象的“坐標差”函數(shù)解析式，由特征值求出b，c．即可得二次函數(shù)y＝﹣x2+3x﹣2，由函數(shù)圖象對稱軸位置分三種情況討論函數(shù)的最大值即可求出m的值．【詳解】解：（1）點P（2，1）的“坐標差”＝1﹣2＝﹣1，故答案為：﹣1．（2）一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上點的坐標差為：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，函數(shù)y＝x+1是增函數(shù)，當(dāng)﹣2≤x≤3時，x＝3，y的最大值＝4，∴一次函數(shù)y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4．（3）y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交y軸于點B，∴點B（0，c）點A與點B的“坐標差”相等，∴點A（﹣c，0），∴﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，∵bc≠0，∴c+b＝1，∵y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）“特征值”為﹣1即函數(shù)y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值為﹣1∴解得b＝3，∴c＝﹣2∴y＝﹣x2+3x﹣2，∴．∴當(dāng)m≤x≤m+3時，此函數(shù)的最大值為﹣2m，Ⅰ．若m≤≤m+3時，則x＝時，函數(shù)的最大值為，依題意得：﹣2m＝，解得m＝；Ⅱ．若m＞時，x＝m，函數(shù)取最大值為：y＝﹣m2+3m﹣2，依題意得：：﹣m2+3m﹣2＝﹣2m，解得：m＝＜（舍去），m＝，Ⅲ．若m+3＜，即m＜﹣時，x＝m+3，函數(shù)取最大值為：y＝﹣（m+3）2+3（m+3）﹣2＝﹣m2﹣3m﹣2．依題意得：﹣m2﹣3m﹣2＝﹣2m，此方程無實數(shù)解．綜上所述：m＝或m＝．3．【實踐探究】數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實踐——應(yīng)用——探究的過程：(1)實踐：他們對一條拋物線形拱橋進行測量，測得當(dāng)拱頂高離水面時，水面寬，并畫出了拱橋截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標系，求該拋物線的解析式；(2)探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進一步探索拋物線的有關(guān)知識，他們借助上述拋物線模型，并過原點作一條的直線，交拋物線于點F，交拋物線對稱軸于點E，提出了以下兩個問題，請予解答：①如圖2，B為直線上方拋物線上一動點，過B作垂直于x軸，交x軸于A，交直線于C，過點B作垂直于直線，交直線于D，求的最大值．②如圖3，G為直線上一動點，過G點作x軸的垂線交拋物線于點H，點P在坐標平面內(nèi)．問：是否存在以E、G、H、P為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出G點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①最大值為；②G點坐標為或或或【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，由圖可知拋物線經(jīng)過原點，即，求出a的值即可求函數(shù)的解析式；（2）①由題可知是等腰直角三角形，則，設(shè)，則，，當(dāng)時，的最大值為，即可得出問題答案；②由①可得，然后根據(jù)題意可分當(dāng)時，當(dāng)時，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可分類進行求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，當(dāng)時，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：①∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，∵，∴，，∴，設(shè)，則，∴，當(dāng)時，的最大值為，∴的最大值為；②存在以E、G、H、P為頂點的四邊形是正方形，理由如下：由①可得，∴當(dāng)時，是等腰直角三角形，∴，∵，∴H點的縱坐標為5，∴，解得或，∵G點在直線上，∴或；當(dāng)時，∵，∴，設(shè)，，如圖，連接，交于點M，∴，∴，解得或，∴或；綜上所述：G點坐標為或或或．4．【問題背景】已知二次函數(shù)（m為常數(shù)）．?dāng)?shù)形結(jié)合和分類討論是初中數(shù)學(xué)的基本思想方法，應(yīng)用廣泛．以形助數(shù)或以數(shù)解形，相互轉(zhuǎn)化，可以化繁為簡，抽象問題具體化；而對問題進行合理的分情況探究，則可以使結(jié)果不重不漏．(1)我國著名數(shù)學(xué)家說過，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”（請將正確選項的字母代號填寫在答題卡相應(yīng)位置上）A．華羅庚

B．陳景潤

C．蘇步青

D．陳省身(2)若該二次函數(shù)的對稱軸為，關(guān)于x的一元二次方程（t為實數(shù)）在的范圍內(nèi)無解，則t的取值范圍是．(3)若該二次函數(shù)自變量x的值滿足時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為，則m的值為．【拓展應(yīng)用】(4)當(dāng)時，二次函數(shù)圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，點D與原點O關(guān)于直線BC對稱，點E是線段BC上一動點（不與B、C重合），連接OE并延長交射線CD于點F，連接DE，為等腰三角形時，求線段DF的長．【答案】(1)A(2)，或(3)，或(4)，或【分析】（1）根據(jù)題意可知“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”這段話是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為，可求得m的值，然后利用二次函數(shù)在上的范圍，可求得t的取值范圍（3）根據(jù)對稱軸，，分類討論各種情況求得的值（4）根據(jù)對稱性先求得點D的坐標，然后設(shè)點F的坐標，利用等腰三角形的性質(zhì)，分類可求得的長度【詳解】（1）根據(jù)題意可知“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”這段話是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說故選：A（2）∵次函數(shù)的對稱軸為，∴，∴二次函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時，的取值范圍是：，∴要使得關(guān)于x的一元二次方程（t為實數(shù)）在的范圍內(nèi)無解，則t的取值范圍是：，或（3）由可知對稱軸為：∵當(dāng)時，在處取得最小值，即，解得：，或（舍）；當(dāng)時，在處取得最小值，即，此時方程無解；當(dāng)時，在處取得最小值，即，解得：，或（舍）；綜上所述：，或（4）當(dāng)時，二次函數(shù)為，∴，，，∵，，∴直線的解析式為：，∵點與原點O關(guān)于直線BC對稱，設(shè)，∴解得：，∴，設(shè)點，∴直線為，由可得，為等腰三角形時，當(dāng)，可得：，化簡整理得：，解得：，（舍）∴當(dāng)，可得：，化簡整理得：，解得：，（舍）∴綜上所述：，或1．如圖，是反比例函數(shù)和在第一象限的圖象，直線軸，并分別交兩條雙曲線于、兩點，若，則的值是（

）

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形面積等知識，設(shè)點，代入雙曲線得，根據(jù)三角形面積公式求出，即可得出答案，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)點，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．2．如圖是反比例函數(shù)的圖象，點，過點A作y軸的垂線，垂足為點C，在射線CA上，依次截取，過點，，，分別作x軸的垂線，依次交反比例函數(shù)的圖象于點，，，．按照上述方法則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征及尋找數(shù)據(jù)的規(guī)律．根據(jù)和求出點，，，，的坐標，再結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)求出點，，，，的坐標即可求解．【詳解】解：∵點，，，，，，．∵點，，，，在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，，，，，當(dāng)時，．故選：A．3．如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，其中點A的橫坐標為2，當(dāng)時，x的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，結(jié)合圖象信息得點A的橫坐標為2，因為正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，故點B的橫坐標為，即可作答．【詳解】解：∵點A的橫坐標為2，且正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，∴點B的橫坐標為，則當(dāng)時，x的取值范圍是或，故選：B4．如圖，入射光線遇到平面鏡（y軸）上的點N后，反射光線交x軸于點，若光線滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為，則a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，光的反射定律，掌握廣德反射定律是解題的關(guān)鍵．延長交軸于點E，則，繼而證明，則，再將其代入即可求解．【詳解】解：延長交軸于點E，由題意得，∵，，∴，∴，∴，將代入得：，解得：，故選：A．5．已知一次函數(shù)．（1）當(dāng)時，則；（2）當(dāng)時，自變量的負整數(shù)值恰好有2個，則的取值范圍為．【答案】1或【分析】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、一元一次不等式組等知識，分情況討論是關(guān)鍵．（1）將代入解答即可；（2）分兩種情況結(jié)合不等式組的解集分別進行解答即可．【詳解】（1）當(dāng)時，，∴，則，∵，∴，解得，故答案為：1（2）①當(dāng)時，隨著的增大而增大，∴當(dāng)時，可得，解得，∵自變量的負整數(shù)值恰好有2個，∴負整數(shù)值只能是，則解得，②當(dāng)時，隨著的增大而減小，∴當(dāng)時，可得，解得，∵自變量的負整數(shù)值恰好有2個，∴負整數(shù)值只能是，則解得，綜上可知，的取值范圍為或故答案為：或6．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A．(1)求出點A的坐標；(2)當(dāng)時，對于x的每一個值，函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值，求k的取值范圍．【答案】(1)A點坐標為(2)或【分析】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點，利用函數(shù)圖象解不等式，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）令縱坐標為0求解即可；（2）求出當(dāng)時，，把代入，求得，然后借助圖象求解即可．【詳解】（1）解：∵點A是一次函數(shù)的圖象與x軸交點，∴A點的縱坐標為0，即，∴解得，∴A點坐標為；（2）解：如圖，∵一次函數(shù)，∴一次函數(shù)過定點，當(dāng)時，，把代入，得解得，由圖象可知，當(dāng)時，對于x的每一個值，函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值，k的取值范圍是或．7．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)直線與反比例的圖象交于點，與直線交于點，連接，點是直線上一動點，當(dāng)時，求點的坐標：(3)在（2）條件下，過點作軸于點，點是軸上一點，且，請求出所有符合條件點的坐標（選一種情況寫出解答過程）．【答案】(1)(2)點的坐標為或(3)或【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解直角三角形，與面積的綜合問題，靈活運用各知識點是解題的關(guān)鍵．（1）先求出點，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析求得，聯(lián)立直線與直線求得，而，設(shè)，過點作軸交直線于點，可求，則，當(dāng)點在直線右側(cè)時，可得，由，得到，則；當(dāng)點在直線左側(cè)時，此時，同理可求；（3）如圖，過點作于點，由可得為等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，那么，故，由得，則，故，那么或，即可求解點坐標．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過，∴，解得：，∴，設(shè)直線的函數(shù)表達式為：，∴，解得：，∴直線的函數(shù)表達式為；（2）解：聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式得，，∴，解得：或，∴，聯(lián)立直線與直線得，，∴，解得：，∴，∴，設(shè)，過點作軸交直線于點，則當(dāng)時，，∴，∴，如圖：當(dāng)點在直線右側(cè)時，，∵，∴，解得：，∴；當(dāng)點在直線左側(cè)時，，∵，∴，解得：，∴，綜上所述，點的坐標為或；（3）解：如圖，過點作于點，則；∵，∴點距離軸和軸的距離相等且為，∴直線與軸負半軸夾角為，∴，∴為等腰直角三角形，，∴由勾股定理得，，∵，∴，∴，∴，∵軸，∴，∵，∴，∴，∴，∴或，∴或．8．如圖正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達式和點坐標；(2)直接寫出時的取值范圍；(3)若點是第二象限反比例函數(shù)圖象上一點，過點作軸的垂線，交軸于點、交直線于點，若三個點、、中恰有一點是其它兩點所連線段的中點，則稱點、、三點為“和諧點”，直接寫出使點、、三點成為“和諧點”的的坐標．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）由的A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性求得B點的坐標；（2）根據(jù)圖象即可求解；（3）分兩種情況，根據(jù)“和諧點”的定義列方程解題即可．【詳解】（1）解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，，，，∴反比例函數(shù)的表達式為，∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，；（2）解：觀察圖象，時，的取值范圍是：或；（3）解：設(shè)，則，如圖1，當(dāng)在點的下方時，則，解得，，，如圖2，當(dāng)在點的上方時，，則，解得，，，∴點的坐標為或．9．【定義與性質(zhì)】如圖1，記二次函數(shù)和的圖象分別為拋物線和，且與軸都有兩個交點．定義：若拋物線的頂點為拋物線的頂點關(guān)于拋物線與軸交點的對稱點，則稱是關(guān)于點的對稱拋物線，簡稱是的對稱拋物線．性質(zhì)：①一條拋物線有2條對稱拋物線；②若是的對稱拋物線，則也是的對稱拋物線，【理解與運用】(1)試說明二次函數(shù)的其中1條對稱拋物線為；【思考與探究】(2)設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為．若該拋物線與軸交于，兩點（且點在點的右側(cè)）．①若拋物線關(guān)于點的對稱拋物線與軸的另一個交點為，其中，求的取值范圍；②如圖2，拋物線關(guān)于點的對稱拋物線的頂點為，試問當(dāng)，滿足什么關(guān)系時，為等邊三角形．【答案】(1)見解析(2)①；②當(dāng)時，為等邊三角形【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、特殊角的三角函數(shù)值，理解新定義并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先求出二次函數(shù)的頂點為，與軸的交點為和，得出點關(guān)于點的對稱點為，再根據(jù)新定義得出是的對稱拋物線，即可解答；（2）①根據(jù)對稱拋物線的定義可知，點是拋物線與軸的交點，得出，再根據(jù)對稱拋物線的性質(zhì)可知，對稱拋物線上的點關(guān)于點的對稱點在拋物線上，得出，結(jié)合即可求出的取值范圍；②過點作軸于點，連接、、，根據(jù)對稱拋物線的性質(zhì)可得點、分別是、的中點，推出是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的知識即可求出，的關(guān)系式．【詳解】（1）證明：令，解得：，，二次函數(shù)與軸的交點為和，又的頂點為，點關(guān)于點的對稱點為，由題意得，是的對稱拋物線，二次函數(shù)的其中1條對稱拋物線為．（2）解：①由對稱拋物線的定義可知，點是拋物線與軸的交點，代入得，，，，由對稱拋物線的性質(zhì)可得，對稱拋物線上的點關(guān)于點的對稱點在拋物線上，點關(guān)于點的對稱點為，代入點到得，，整理得：，，，；②如圖，過點作軸于點，連接、、，是等邊三角形，，拋物線關(guān)于點的對稱拋物線的頂點為，且點是拋物線的頂點，點是的中點，同理，點是的中點，是的中位線，且，，，是等邊三角形，又軸，，，設(shè)，，令，則，，，且，，又，，，二次函數(shù)，拋物線的頂點，，在中，，，，解得：或（舍去），當(dāng)時，為等邊三角形．10．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點．(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線AB的上方，過點P作軸于點C，交于點D，連接．若，求證的值為定值，并求出此值；(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．【答案】(1)；(2)證明見解析，；(3)的最大值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求函數(shù)解析式，三角形面積計算等知識，理解題意和熟悉函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）將點的坐標代入拋物線表達式得，即可求解；（2）由，同理可得，即可求解；（3）求出線的表達式為：，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：將點的坐標代入拋物線表達式得：，∴，∴拋物線的表達式為：；（2）證明：令，∴，∴點，設(shè)直線的表達式為：，將點，代入得：，解得：，∴直線的表達式為：，設(shè)點的坐標分別為：，則，同理可得：，∴為定值；（3）解：點的坐標為，則點，設(shè)直線的表達式為：，將點的坐標代入得：，解得：，∴直線的表達式為：，∴，∵，點P在第二象限，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為11．情境閱讀：初三第一次考試10月份階段評價馬上來臨，小明同學(xué)在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時，再讀了九年級上冊書中“一元二次方程”的“數(shù)學(xué)活動”，重新思考了“活動圍長方形”下圖呈現(xiàn)的是“活動圍長方形”的介紹及“小明發(fā)現(xiàn)”的內(nèi)容：請根據(jù)“小明發(fā)現(xiàn)”，分別應(yīng)用一元二次方程和二次函數(shù)來解決以下問題：“能圍出面積為的長方形嗎？”（注：此題給出兩種解決方法和能給滿分）【答案】不能圍出面積為的長方形【分析】方法一：設(shè)這個長方形的長為，則這個長方形的寬為，令長方形的面積為，得出一元二次方程求解即可；方法二：設(shè)這個長方形的長為，則這個長方形的寬為，設(shè)面積為，則表示出與之間的函數(shù)關(guān)系，求最大值即可．【詳解】解：方法一：設(shè)這個長方形的長為，則這個長方形的寬為，則根據(jù)題意可得，整理得：，∵，∴此方程無解，故不能圍出面積為的長方形；方法二：設(shè)設(shè)這個長方形的長為，則這個長方形的寬為，設(shè)面積為，則，∵，∴當(dāng)時，面積的最大值為，∵，∴不能圍出面積為的長方形．12．方程與不等式揭示了數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，函數(shù)則研究變量間的關(guān)系，借助函數(shù)可以認識方程與不等式.觀察表格：…0123……14710……0430…(1)【數(shù)學(xué)觀察】根據(jù)表中信息填空：______；(2)【實踐操作】在如圖所示的平面直角坐標系中（每個小正方形網(wǎng)格的邊長為1），已經(jīng)畫出了一次函數(shù)的圖象，請你在同一坐標系中畫出二次函數(shù)的圖象；(3)【獨立思考】①二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標是______；②方程的解為______；③不等式的解集是______；(4)【歸納總結(jié)】若二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交，則交點的______坐標可以看成關(guān)于的方程的解；(5)【鞏固應(yīng)用】若二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有一個交點，則關(guān)于的方程的解是______．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)見解析(3)①或

②或

③(4)橫(5)【分析】本題為二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟悉函數(shù)和不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）把代入求出值即可；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點連線繪制圖象即可；（3）①根據(jù)表格信息得到交點坐標即可；②根據(jù)交點坐標得到方程的解即可；③借助圖象得到不等式的解集；（4）由（3）知，若兩個函數(shù)交點的橫坐標為方程的解；（5）聯(lián)立兩個函數(shù)表達式得，即可得到求出，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，故答案為：；（2）解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點連線繪制圖象如下：（3）解：①二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標是或，故答案為：或；②方程的解為：或，故答案為：或；③觀察圖象知，不等式的解集是故答案為：（4）解：由（3）知，若二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交，則交點的橫坐標可以看成關(guān)于的方程的解，故答案為：橫；（5）聯(lián)立兩個函數(shù)表達式得：，則則故方程為：則故答案為：．1．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點E、點F，與的圖象交于點M，且點M的橫坐標為．(1)求m的值與的長；(2)若點Q為x軸上一點，且，求點Q的坐標.【答案】(1)，(2)或【分析】本題考查了一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的幾何問題，正確求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（）求出點坐標，代入可得的值，進而由一次函數(shù)解析式求出點、坐標，即可由勾股定理求出的長；（）根據(jù)，可得，即可得，據(jù)此即可求解；【詳解】（1）解：∵點M在直線上，點M的橫坐標為，點M坐標為，又點C在直線上，，，直線的函數(shù)表達式為，令，則，令，則，解得，、，；（2）∵，，，點Q坐標為或．2．如圖，正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，一次函數(shù)圖象經(jīng)過點，與y軸的交點為D，與x軸的交點為C．(1)求一次函數(shù)表達式；(2)求D點的坐標；(3)求的面積．(4)不解關(guān)于x、y的方程組，直接寫出方程組的解．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）把點代入正比例函數(shù)求出的值，再代入一次函數(shù)即可求解；（2）由（1）可知一次函數(shù)圖像的解析式，令，即可求解；（3）由一次函數(shù)解析式求出點的坐標，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（4）根據(jù)兩直線的交點即為方程組的解，即可求解．【詳解】（1）解：∵正比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于點，∴，解得：，∴，把和代入一次函數(shù)，得：，解得，，∴一次函數(shù)解析式是．（2）解：由（1）知一次函數(shù)表達式是，令，則，∴點．（3）解：由（1）知一次函數(shù)解析式是，令，，解得：，

∴點，∴，

∵，∴的面積．（4）解：∵正比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于點，∴方程組的解為．【點睛】本題主要考查兩直線的交點問題，掌握待定系數(shù)法求解析式，兩直線與坐標軸圍成圖形的面積計算方法，兩直線交點坐標與方程組的解的關(guān)系等知識是解題的關(guān)鍵．3．如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，點，點是線段上的任意一點，過點作直線軸，直線交直線于點，交直線于點．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)時，求的面積．【答案】(1)；(2)的面積是或；【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求直線關(guān)系式，一次函數(shù)與幾何圖形．（1）把代入，求出直線的關(guān)系式，再求出點，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的關(guān)系式；（2）先設(shè)點，可表示，，再根據(jù)縱坐標的差表示，然后根據(jù)，求出m的值，接下來分兩種情況求出，即可得出面積．【詳解】（1）解：把代入，得，解得，∴直線的關(guān)系式為．當(dāng)時，，∴點．將點和點代入直線的關(guān)系式，得，解得，所以直線的關(guān)系式；（2）解：設(shè)，則，，∴．∵，∴，解得或．當(dāng)時，，∴，∴；當(dāng)時，，∴，∴．綜上所述，的面積是或．4．如圖，正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象互相平行，且一次函數(shù)圖象經(jīng)過點，與軸相交于點．(1)求一次函數(shù)的表達式；(2)求的長；(3)在軸上是否存在一點，使得為等腰三角形．如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標．【答案】(1)(2)的長為(3)點的坐標為，，，【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確分類討論是解決此題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線與的交點的坐標，再利用勾股定理求解即可；（3）設(shè)點，分別求得，分及三種情況討論即可得解．【詳解】（1）解：正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象互相平行，，一次函數(shù)圖象經(jīng)過點，，，一次函數(shù)的表達式為；（2）解：對于，令，得，，，的長為；（3）解：存在，設(shè)點，，由勾股定理得：，，時，，解得：，即點的坐標為，時，，解得：，即點的坐標為，，時，，解得：（舍去），即點的坐標為，綜上，點的坐標為，，，．5．如圖，在直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的、兩點，與y軸交于點C，過點A作軸，垂足為M，，，點B的縱坐標為．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式：(2)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時，x的取值范圍；(3)連接、．若點P為圖中雙曲線上的一點，且，請直接寫出點P的坐標．【答案】(1)，(2)或(3)或或或【分析】（1）由，先求出點坐標，然后將點坐標代入，即可求出的值，進而可得反比例函數(shù)解析式；由點在反比例函數(shù)圖象上，且點B的縱坐標為可求出點坐標，將、兩點坐標代入，可得二元一次方程組，解方程組即可求出、的值，進而可得一次函數(shù)解析式；（2）由（1）得，，根據(jù)函數(shù)圖象及交點坐標，直接寫出不等式的解集即可；（3）根據(jù)兩