試題試題專題05全等三角形?？寄Ｐ停碱}猜想，8種模型）試題試題一線三等角模型手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等倍長中線模型平行線+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型“雨傘”模型半角模型截長補(bǔ)短模型角平分線+垂直構(gòu)造全等模型模型一：一線三等角模型過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)或者正方形直角頂點(diǎn)的一條直線。過等腰直角三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作該直線的垂線段，會有兩個(gè)三角形全等（AAS）常見的兩種圖形：1.（23-24八年級·浙江溫州·期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．2．（2023秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，為等腰直角三角形，，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則；若，，則．3.（23-24八年級·北京朝陽·期中）如圖，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的長．4．（2023秋?海倫市校級期中）在△中，，，過點(diǎn)作直線，于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）若在△外（如圖，求證：；（2）若與線段相交（如圖，且，，則．5．（2023秋?三臺縣期中）為了測量一幢6層高樓的層高，在旗桿與樓之間選定一點(diǎn)．測得旗桿頂?shù)囊暰€與地面的夾角，測樓頂?shù)囊暰€與地面的夾角，量得點(diǎn)到樓底的距離與旗桿的高度都等于12米，量得旗桿與樓之間距離為米，求每層樓的高度大約多少米？6．（2023秋?東麗區(qū)期中）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）當(dāng)直線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖1所示的位置時(shí)，求證：①；②；（2）當(dāng)直線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①找出圖中一對全等三角形；②、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．7．（2023秋?莫旗校級期中）已知和，，．連接、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，反向延長線段交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)①請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：（填“”、“”、“”②求證：（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．8．（2023秋?東區(qū)校級期中）在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，，，在直線上方有，且滿足．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為平分線上的一點(diǎn)，且，分別連接，，，，試判斷的形狀，并說明理由．9．（2023春?海州區(qū)校級期中）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個(gè)等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角形．（1）問題解決：如圖1，在等腰直角△中，，，過點(diǎn)作直線，于，于，求證：△△；（2）問題探究：如圖2，在等腰直角△中，，，過點(diǎn)作直線，于，于，，，求的長；（3）拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，△為等腰直角三角形，，，求點(diǎn)坐標(biāo)．10．（2023秋?龍馬潭區(qū)校級期中）【建立模型】如圖①，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可以得到結(jié)論：．【運(yùn)用模型】請利用這一結(jié)論解決下列問題：（1）如圖①，請證明；（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，，，過點(diǎn)作，使，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使為等腰直角三角形？如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)．模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；三、奔馳模型旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類題型，提升利用旋轉(zhuǎn)解決問題的能力，更重要的是要明白一點(diǎn):旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而解決問題四、費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).最值問題是中考?？碱}型，費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來，所以掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題是必不可少的.11．（2023秋?濱海新區(qū)校級期中）如圖，為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④連接，平分；⑤．恒成立的結(jié)論有A．①⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤12．（2023秋?思明區(qū)校級期中）如圖，四邊形，，，，，等邊三角形的頂點(diǎn)，分別在邊和上，點(diǎn)在上，，連接，．（1）求證：；（2）求的長度．13．（2023春?平遙縣期中）綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時(shí)，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”，如圖1，與都是等腰三角形，其中，則．初步把握如圖2，與都是等腰三角形，，，且，則有．深入研究如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，并連接，，求證：．拓展延伸如圖4，在兩個(gè)等腰直角三角形和中，，，，連接，，交于點(diǎn)，請判斷和的關(guān)系，并說明理由．14．（2023秋?青山區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，分別在軸和軸上，且，．（1）如圖1，若點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，過作交射線于點(diǎn)．①如圖2，若點(diǎn)與點(diǎn)重合．求證：；②如圖3，過點(diǎn)作線段且，取的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，直接寫出的面積（用含，的式子表示）．15．（2023秋?翠屏區(qū)期中）（1）如圖1，與均是頂角為的等腰三角形，、分別是底邊，求證：；（2）如圖2，和均為等邊三角形，點(diǎn)、、在同一直線上，連接．填空：的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是．（3）拓展探究如圖3，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一直線上，為中邊上的高，連接．請判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型三：倍長中線模型三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通?？紤]倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.主要思路：倍長中線（線段）造全等在△ABC中AD是BC邊中線延長AD到E，使DE=AD，連接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E連接BE延長MD到N，使DN=MD，連接CD16．（2023秋?睢陽區(qū)期中）如圖，已知是中邊上的中線，，，則的取值范圍是A． B． C． D．17．（2023秋?蓋州市期中）在中，，，則邊上的中線的取值范圍是．18．（2023秋?四會市校級期中）（1）在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．（2）在中，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．19．（2023秋?龍華區(qū)校級期中）（1）如圖1，是的中線，延長至點(diǎn)，使得，連接；①求證：；②若，，設(shè)，則的取值范圍是；（2）參考第一問的方法，完成以下問題：如圖2，是的中線，，點(diǎn)在的延長線上，，求證：．20．（2023秋?信豐縣期中）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．21．（2023秋?于都縣期中）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)使，再連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把、，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交，于、兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．22．（2023秋?永泰縣期中）【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，是的中線，延長至點(diǎn)，使，連接．求證：．【變式與應(yīng)用】（2）如圖2，若，，試求出的中線的長的取值范圍．【理解與感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【拓展與延伸】（3）如圖3，是的中線，與均為等腰直角三角形，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．23．（2023秋?洛龍區(qū)期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，是的中線，延長至點(diǎn)，使，連接．求證：．【變式與應(yīng)用】（2）如圖②，是的中線，若，．設(shè)，則的取值范圍是【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【拓展與延伸】（3）如圖③，是的中線，點(diǎn)，分別在，上，且．求證：．模型四：平行線+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型在中考考試中，平行線中點(diǎn)是一類特點(diǎn)非常鮮明的幾何題，做這類題的關(guān)鍵就在于添加延長線，中考出題人非常喜歡出這類題，原因就是能夠讓懂模型的人快速找到答案.24．（2023秋?瑞安市期中）如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的邊過點(diǎn)，且，，連接，，，，的值為A．2.5 B．4 C．3.5 D．325．（2023秋?泗水縣期中）如圖，已知線段與直線平行．（1）作的角平分線交直線于點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若的中點(diǎn)為，連接并延長交直線于點(diǎn)，請用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：．26.（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE=CD，連接ED并延長交AB于點(diǎn)F．求證：DE=2DF模型五：“雨傘”模型在中考考試中，雨傘模型是一類特點(diǎn)非常鮮明的幾何題，做這類題的關(guān)鍵就在于添加延長線，它與平行線中點(diǎn)模型并稱為中學(xué)階段兩大必延長的模型，只要看到這類模型，方法就很統(tǒng)一了.27.（23-24八年級·江蘇蘇州·期中）如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．模型六：半角模型在中考考試中，半角模型在選擇題、填空題、解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，我們在處理這類問題時(shí)，關(guān)鍵在于找到半角和全角，運(yùn)用口訣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，就能很快地解決此類問題.28.（23-24八年級·福建龍巖·期中）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．2229.（23-24八年級·浙江紹興·期中）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時(shí)，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，在NC的延長線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．30．（22-23八年級上·江西宜春·期中）問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長到點(diǎn)G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．模型七：截長補(bǔ)短模型該模型適用于求證線段的和差倍分關(guān)系，該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞，可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明。其中截長指在長線段中截取一段等于已知線段，補(bǔ)短指將短線段延長，使短線段加上延長線段長度等于長線段。(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。

例:如圖,求證BE+DC=AD；方法:①在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點(diǎn)F,使DF=DC,證AF=BE

(2)補(bǔ)短:將短線段延長,證與長線段相等31.（23-24八年級·福建廈門·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，D在線段BC上，連接DF，以DF為邊在DF的右側(cè)作等邊△DFE，連接EC，若存在實(shí)數(shù)k，使得kBC+ECDC為定值a，則k和a分別是（

A．k=12，a=1 B．k=13，a=1 C．k=1，a=332．（23-24八年級上·遼寧撫順·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，為軸正半軸上一點(diǎn)，在第四象限，且，平分，．

(1)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：；(3)求四邊形的面積．33．（22-23八年級上·湖北孝感·期中）如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．34．（22-23八年級上·湖北孝感·期中）如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，平分，平分，．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．模型八：角平分線+垂直構(gòu)造全等模型如圖一，角平分線+垂直兩邊型【幾何語言】:∵OC為∠AOB的角平分線,D為OC上一點(diǎn)DE⊥OA,DF⊥OB∴△CED≌△OFD(AAS),∴DE=DF如圖二，角平分線+垂直平分線型【說明】構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的三線合一,也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形,進(jìn)而

得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。35．（2023秋?中山市期中）如圖，已知平分，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，那么的長度為．36．（2023秋?思明區(qū)校級期中）如圖，已知平分，，，點(diǎn)，分別為垂足，．（1）求證：．（2）若，，求．37.（23-24八年級·江蘇南京·期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝12CD38．（2023秋?新城區(qū)校級期中）中，，，是線段上的一個(gè)動點(diǎn)．（1）如圖，若與重合，平分，，垂足在的延長線上，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若在線段上且不與，重合，在線段上，且，過作，垂足在的延長線上，則與的數(shù)量關(guān)系是什么？畫圖并說明理由．專題05全等三角形?？寄Ｐ停碱}猜想，8種模型）一線三等角模型手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等倍長中線模型平行線+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型“雨傘”模型半角模型截長補(bǔ)短模型角平分線+垂直構(gòu)造全等模型模型一：一線三等角模型過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)或者正方形直角頂點(diǎn)的一條直線。過等腰直角三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作該直線的垂線段，會有兩個(gè)三角形全等（AAS）常見的兩種圖形：1.（23-24八年級·浙江溫州·期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，∠BAD=∠CDE∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，為等腰直角三角形，，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則；若，，則．【分析】先判斷出證明，可得，，即可解決問題．【解答】解：①，于點(diǎn)，，為等腰直角三角形，，；②，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，，，故答案為：，5．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3.（23-24八年級·北京朝陽·期中）如圖，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的長．【答案】3.5【分析】由平角定義及三角形內(nèi)角和定理解得∠EDC=∠BFD，繼而證明△BFD?△CDE(AAS)，得到BF=CD=1.5【詳解】解：∵∠B=∠C=∠FDE=80°，∴∠BDF+∠EDC=100°,∠BDF+∠BFD=100°∴∠EDC=∠BFD在△BFD與△CDE中，∠B=∠C∴△BFD?△CDE(AAS)

∴BF=CD∴BC=BD+DC=2+1.5=3.5．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．4．（2023秋?海倫市校級期中）在△中，，，過點(diǎn)作直線，于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）若在△外（如圖，求證：；（2）若與線段相交（如圖，且，，則．【分析】（1）利用互余關(guān)系證，再證△△，得到，，即可得出結(jié)論；（2）類似于（1）可證△△，得，，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：，，．，，，，．在△和△中，，△△，，．，．（2）解：于，，，，，，，在△和△中，，△△，，，，故答案為：1.5．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?三臺縣期中）為了測量一幢6層高樓的層高，在旗桿與樓之間選定一點(diǎn)．測得旗桿頂?shù)囊暰€與地面的夾角，測樓頂?shù)囊暰€與地面的夾角，量得點(diǎn)到樓底的距離與旗桿的高度都等于12米，量得旗桿與樓之間距離為米，求每層樓的高度大約多少米？【分析】根據(jù)題意可得：，，從而可得，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，從而可得，然后根據(jù)證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得米，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，，，，米，米，（米，在和中，，，米，每層樓的高度（米，每層樓的高度大約為3米．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?東麗區(qū)期中）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）當(dāng)直線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖1所示的位置時(shí)，求證：①；②；（2）當(dāng)直線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①找出圖中一對全等三角形；②、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）根據(jù)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)易證得，已知，，根據(jù)全等三角形的判定即可證明，根據(jù)各邊的相等關(guān)系即可得．（2）同理可證得，再根據(jù)各邊的相等關(guān)系可得．【解答】（1）證明：，，，，，，；在和中，，①，（7分），，．（9分）（2）解：同理可得①；（11分），，②．（14分）【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到補(bǔ)角和余角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?莫旗校級期中）已知和，，．連接、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，反向延長線段交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)①請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：（填“”、“”、“”②求證：（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【分析】（1）①根據(jù)證，即可得出；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)證，得出，即可得證結(jié)論；（2）作于點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)證，再根據(jù)證，同理證，根據(jù)線段的等量關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：（1），，，，，，，，，，在和中，，，，故答案為：；②，，，，，，，，，，，在和中，，，，；（2）成立，證明如下：作于點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，在和中，，，，同理可證，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，即，．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?東區(qū)校級期中）在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，，，在直線上方有，且滿足．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為平分線上的一點(diǎn)，且，分別連接，，，，試判斷的形狀，并說明理由．【分析】（1）由得到，進(jìn)而得到，然后結(jié)合得證，最后得到；（2）由得到，進(jìn)而得到，然后結(jié)合得證，最后得到；（3）先由和平分得到，然后結(jié)合得到和是等邊三角形，然后得到、，然后結(jié)合得到、，從而得到，故可證，從而得到、，最后得到，即可得證是等邊三角形．【解答】解：（1），理由如下，，，，，，，，，故答案為：．（2）仍然成立，理由如下，，，，，，，，；（3）是等邊三角形，理由如下，，平分，，，和是等邊三角形，，，同（2）可得，，，，，，，，，是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用一線三等角模型證明三角形全等．9．（2023春?海州區(qū)校級期中）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個(gè)等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角形．（1）問題解決：如圖1，在等腰直角△中，，，過點(diǎn)作直線，于，于，求證：△△；（2）問題探究：如圖2，在等腰直角△中，，，過點(diǎn)作直線，于，于，，，求的長；（3）拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，△為等腰直角三角形，，，求點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）證，再由證△△即可；（2）證△△，得，，即可解決問題；（3）過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，證△△，得，，則，，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：，，，，，，，在△和△中，，△△；（2）解：，，，，，，，在△和△中，，△△，，，，即的長為；（3）解：如圖3，過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則，，，，，，，，，，在△和△中，，△△，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、一線三垂直”模型等知識，本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．10．（2023秋?龍馬潭區(qū)校級期中）【建立模型】如圖①，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可以得到結(jié)論：．【運(yùn)用模型】請利用這一結(jié)論解決下列問題：（1）如圖①，請證明；（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，，，過點(diǎn)作，使，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使為等腰直角三角形？如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）由證明即可；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同（1）得，則，，求出，，即可得出結(jié)論；（3）分三種情況，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，；分別構(gòu)造全等三角形，由全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】（1）證明：是等腰直角三角形，且，，，又，，，在和中，，；（2）解：如圖②，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同（1）得：，，，，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)，使為等腰直角三角形，理由如下：分三種情況：①當(dāng)時(shí)，，如圖③，分別過點(diǎn)、點(diǎn)作軸的垂線交過點(diǎn)作軸的平行線于點(diǎn)、點(diǎn)，同（1）得：，，，、，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，；②當(dāng)時(shí)，，如圖④，分別過點(diǎn)、點(diǎn)作軸的垂線交過點(diǎn)作軸的平行線于點(diǎn)、點(diǎn)，同（1）得：，，，、，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，；③當(dāng)時(shí)，，如圖⑤，分別過點(diǎn)、點(diǎn)作軸的垂線交過點(diǎn)作軸的平行線于點(diǎn)、點(diǎn)，同（1）得：，，，設(shè)，、，，，，，，解得：，，綜上所述，第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)，使為等腰直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的平與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及分類討論等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；三、奔馳模型旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類題型，提升利用旋轉(zhuǎn)解決問題的能力，更重要的是要明白一點(diǎn):旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而解決問題四、費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).最值問題是中考?？碱}型，費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來，所以掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題是必不可少的.11．（2023秋?濱海新區(qū)校級期中）如圖，為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④連接，平分；⑤．恒成立的結(jié)論有A．①⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【分析】①證，得，，故①正確；②證，得，則，得，即可得出，故②正確；③由全等三角形的性質(zhì)得，再①可知，，則，故③正確；④過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)得，，再由三角形面積得，即可得出平分，故④正確；⑤由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形的外角性質(zhì)得，故⑤正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：①和都是正三角形，，，，，，，，在和中，，，，，故①正確；②在和中，，．，，，，故②正確；③由②可知，，，由①可知，，，，故③正確；④如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由①可知，，，，，，，，平分，故④正確；⑤由①可知，，，，故⑤正確；綜上所述，恒成立的結(jié)論有：①②③④⑤．故選：．【點(diǎn)評】本題是考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、角平分線的判定、三角形面積以及三角形的外角性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．12．（2023秋?思明區(qū)校級期中）如圖，四邊形，，，，，等邊三角形的頂點(diǎn)，分別在邊和上，點(diǎn)在上，，連接，．（1）求證：；（2）求的長度．【分析】（1）連接．得△為等邊三角形，由等邊三角形，故利用手拉手得△△，故．得，故四邊形為矩形，得．利用三線合一得，再計(jì)算即可．【解答】（1）證明：連接．，，△為等邊三角形，，，等邊三角形，，，．在△和△中，．△△，．（2）解：過作．△△，，，，，，，，，，，，，，，，四邊形為矩形，．．，，．．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，運(yùn)用手拉手證明全等，以及構(gòu)造矩形是解題關(guān)鍵．13．（2023春?平遙縣期中）綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時(shí)，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”，如圖1，與都是等腰三角形，其中，則．初步把握如圖2，與都是等腰三角形，，，且，則有．深入研究如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，并連接，，求證：．拓展延伸如圖4，在兩個(gè)等腰直角三角形和中，，，，連接，，交于點(diǎn)，請判斷和的關(guān)系，并說明理由．【分析】初步把握易證，再證即可；深入研究易證，再證，即可得出結(jié)論；拓展延伸易證，再證，得，，再由三角形的外角性質(zhì)證出，則即可．【解答】初步把握解：，，即，在和中，，，故答案為：，；深入研究證明：和都是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，；拓展延伸解：，，理由如下：，，即，在和中，，，，，，，．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．14．（2023秋?青山區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，分別在軸和軸上，且，．（1）如圖1，若點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，過作交射線于點(diǎn)．①如圖2，若點(diǎn)與點(diǎn)重合．求證：；②如圖3，過點(diǎn)作線段且，取的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，直接寫出的面積（用含，的式子表示）．【分析】（1）過點(diǎn)作軸于，則，可證得：，即可求得答案；（2）①過點(diǎn)作交射線于，可證得，即可得出；②過點(diǎn)作交的延長線于，過點(diǎn)作于，于，設(shè)交于，可證得，，，可推出．【解答】（1）解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，如圖1，過點(diǎn)作軸于，則，，，在和中，，，，，，；（2）①證明：過點(diǎn)作交射線于，如圖2，，，，，，，，，，在和中，，，；②解：如圖3，過點(diǎn)作交的延長線于，過點(diǎn)作于，于，設(shè)交于，則，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，且，，，，在和中，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．15．（2023秋?翠屏區(qū)期中）（1）如圖1，與均是頂角為的等腰三角形，、分別是底邊，求證：；（2）如圖2，和均為等邊三角形，點(diǎn)、、在同一直線上，連接．填空：的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是．（3）拓展探究如圖3，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一直線上，為中邊上的高，連接．請判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出．（2）首先根據(jù)和均為等邊三角形，可得，，，，據(jù)此判斷出；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出，，進(jìn)而判斷出的度數(shù)為即可．（3）首先根據(jù)和均為等腰直角三角形，可得，，，據(jù)此判斷出；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出，，進(jìn)而判斷出的度數(shù)為即可；最后根據(jù)，，，可得，所以，據(jù)此判斷出即可．【解答】（1）證明：，，即，在和中，，．（2）解：和均為等邊三角形，，，，，，即，在和中，，，，點(diǎn)，，在同一直線上，，，，綜上，可得的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是：．故答案為：、．（3）解：和均為等腰直角三角形，，，，，，即，在和中，，，，，點(diǎn)，，在同一直線上，，，；，，，，，．【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了全等三角形的判定方法和性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．題型三：倍長中線模型三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通常考慮倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.主要思路：倍長中線（線段）造全等在△ABC中AD是BC邊中線延長AD到E，使DE=AD，連接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E連接BE延長MD到N，使DN=MD，連接CD16．（2023秋?睢陽區(qū)期中）如圖，已知是中邊上的中線，，，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】延長到，使，連接，先證，得，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，然后即可得解．【解答】解：如圖，延長到，使，連接，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；遇中點(diǎn)加倍延，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．17．（2023秋?蓋州市期中）在中，，，則邊上的中線的取值范圍是．【分析】延長至，使，連接．根據(jù)證明，得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．【解答】解：延長至，使，連接．在和中，，，．在中，，即，故．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．注意：倍長中線是常見的輔助線之一．18．（2023秋?四會市校級期中）（1）在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．（2）在中，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．【分析】（1）延長至，使，連接，由證明，得出，再由三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，即可得出的取值范圍；（2）延長至，使，連接、，同（1）得，則，再由三角形的三邊關(guān)系得，則，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：如圖1，延長至，使，連接，，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，；即邊上的中線的取值范圍是；（2）證明：如圖2，延長至，使，連接、，同（1）得：，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系等知識，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋?龍華區(qū)校級期中）（1）如圖1，是的中線，延長至點(diǎn)，使得，連接；①求證：；②若，，設(shè)，則的取值范圍是；（2）參考第一問的方法，完成以下問題：如圖2，是的中線，，點(diǎn)在的延長線上，，求證：．【分析】（1）①由證明即可；②由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形的三邊關(guān)系得，即，即可得出結(jié)論；，（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，則，同（1）得，則，，再證，得，即可得出結(jié)論．【解答】（1）①證明：是的中線，，在和中，，；②解：，，，由①可知，，，在中，，即，，即的取值范圍是，故答案為：；（2）證明：如圖2，延長至點(diǎn)，使得，連接，則，同（1）得：，，，，，，，，，，在和中，，，，【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系以及三角形的外角性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．20．（2023秋?信豐縣期中）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，即可得出的取值范圍；（2）延長至點(diǎn)，使，連接、，同（1）得，得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系得出即可得出結(jié)論；（3）延長至點(diǎn)，使，連接，證出，證明，得出，，證出，再證明，得出，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：如圖①，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，在中，，即，故答案為：；（2）證明：如圖②，延長至，使，連接、，在和中，，，，，，在中，，；（3）解：，理由如下：如圖③，延長至點(diǎn)，使，連接，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．21．（2023秋?于都縣期中）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)使，再連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把、，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交，于、兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）延長至，使，由證明，得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，即可得出的取值范圍；（2）延長至點(diǎn)，使，連接、，同（1）得，得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系得出即可得出結(jié)論；（3）延長至點(diǎn)，使，連接，證出，由證明，得出，，證出，再由證明，得出，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：延長至，使，連接，如圖①所示：是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，；故答案為：；（2）證明：延長至點(diǎn)，使，連接、，如圖②所示：同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，；（3）解：；理由如下：延長至點(diǎn)，使，連接，如圖3所示：，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．22．（2023秋?永泰縣期中）【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，是的中線，延長至點(diǎn)，使，連接．求證：．【變式與應(yīng)用】（2）如圖2，若，，試求出的中線的長的取值范圍．【理解與感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【拓展與延伸】（3）如圖3，是的中線，與均為等腰直角三角形，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）由證明即可；（2）延長至點(diǎn)，使，連接，證，得，，再由三角形的三邊關(guān)系即可解決問題；（3）延長至點(diǎn)，使得，連接，延長交于點(diǎn)，同（1）得，則，，再證，得，，則，然后證，得即可．【解答】（1）證明：是的中線，，在和中，，；（2）解：如圖2，延長至點(diǎn)，使，連接，則，是的中線，，在和中，，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，即，，即的中線的長的取值范圍是；（3）解：，，證明如下：如圖3，延長至點(diǎn)，使得，連接，延長交于點(diǎn)，則，同（1）得：，，，與均為等腰直角三角形，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，綜上所述，，．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系以及平行線的判定與性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．23．（2023秋?洛龍區(qū)期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，是的中線，延長至點(diǎn)，使，連接．求證：．【變式與應(yīng)用】（2）如圖②，是的中線，若，．設(shè)，則的取值范圍是【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【拓展與延伸】（3）如圖③，是的中線，點(diǎn)，分別在，上，且．求證：．【分析】（1）由證明即可；（2）延長至點(diǎn)，使，連接，再由證，得，然后由三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）延長至，使得，連接、，證，，得，，然后由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：是的中線，，在和中，，；（2）解：如圖②，延長至點(diǎn)，使，連接，是的中線，，在和中，，，，在中，，即，；故答案為：；（3）證明：如圖③，延長至，使得，連接、，是的中線，，在和中，，，，，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，又，，．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中線的定義、三角形的三邊關(guān)系等知識，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．模型四：平行線+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型在中考考試中，平行線中點(diǎn)是一類特點(diǎn)非常鮮明的幾何題，做這類題的關(guān)鍵就在于添加延長線，中考出題人非常喜歡出這類題，原因就是能夠讓懂模型的人快速找到答案.24．（2023秋?瑞安市期中）如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的邊過點(diǎn)，且，，連接，，，，的值為A．2.5 B．4 C．3.5 D．3【分析】延長與交于點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)可得，，再利用線段的中點(diǎn)定義可得，從而利用可得，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得，，從而可得是的垂直平分線，進(jìn)而可得，最后利用等量代換可得，再根據(jù)已知可得，從而可得，進(jìn)而可得，即可解答．【解答】解：延長與交于點(diǎn)，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，是的垂直平分線，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．25．（2023秋?泗水縣期中）如圖，已知線段與直線平行．（1）作的角平分線交直線于點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若的中點(diǎn)為，連接并延長交直線于點(diǎn)，請用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作出角的平分線；（2）利用等腰三角形的判定和性質(zhì)先說明，再利用“”說明，最后利用線段的和差及全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【解答】解：（1）就是的角平分線；（2）是的角平分線，．，．．．的中點(diǎn)為，．在和中，，．．．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵．26.（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE=CD，連接ED并延長交AB于點(diǎn)F．求證：DE=2DF【答案】見詳解【分析】過C作CG∥AB交DE于G，可證△ADF≌△CDG（ASA），可得DF=DG，可證【詳解】證明：如圖，過C作CG∥AB交DE于∴∠DCG=∠A，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在△ADF和△CDG中∠ADF=∠CDGAD=CD∴△ADF≌△CDG（ASA），∴DF=DG，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠DCG=60°，∠DCE=180°?∠ACB=120°，∴∠ECG=∠DCE?∠DCG=60°，∴∠DCG=∠ECG，∵CE=CD，∴DG=EG，∴DE=2DG，∴DE=2DF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型五：“雨傘”模型在中考考試中，雨傘模型是一類特點(diǎn)非常鮮明的幾何題，做這類題的關(guān)鍵就在于添加延長線，它與平行線中點(diǎn)模型并稱為中學(xué)階段兩大必延長的模型，只要看到這類模型，方法就很統(tǒng)一了.27.（23-24八年級·江蘇蘇州·期中）如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE＝12AD，見解析；（2）△BEG【分析】（1）延長BE、AC交于點(diǎn)H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝12BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝12（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝12AD如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，∠AEB=∠AEHAE=AE∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝12BH∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，∠BCH=∠ACDBC=AC∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝12AD（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝12∠CAB∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵．模型六：半角模型在中考考試中，半角模型在選擇題、填空題、解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，我們在處理這類問題時(shí)，關(guān)鍵在于找到半角和全角，運(yùn)用口訣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，就能很快地解決此類問題.28.（23-24八年級·福建龍巖·期中）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將△ADE關(guān)于AE對稱得到△AFE，從而可得△AFE的面積為15，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可得AF=AD,∠EAF=45°，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出△ACF?△ABD，從而可得CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S△ACF=S△ABD，最后根據(jù)△ABD與△AEC【詳解】解：如圖，將△ADE關(guān)于AE對稱得到△AFE，則AF=AD,∠EAF=45°，S△AFE∴∠CAF+∠CAD=∠DAE+∠EAF=45°+45°=90°，∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD∴△ACF?△ABD(SAS)，∴CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形，∴S∴S即△ABD與△AEC的面積之和為21，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．29.（23-24八年級·浙江紹興·期中）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時(shí)，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，在NC的延長線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，證明見解析；（4）2【分析】（1）先證明△MDN是等邊三角形，則MN＝DM＝DN，再證明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；（2）由（1）得DM＝2BM，可得結(jié)論MN＝2BM＝BM+NC；歸納證明：先證△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再證△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得結(jié)論MN＝BM+CN；拓展應(yīng)用：（3）首先根據(jù)題意利用SAS證明△DBM≌△DCE，然后證明△MDN≌△EDN，根據(jù)全等三角形對應(yīng)相等通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得到MN＝BM+NC；（4）由（3）得到MN＝BM+NC，則△AMN的周長＝2AB，△ABC的周長＝3AB，即可得出結(jié)論．【詳解】特例探究：解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，故答案為：30；（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；歸納證明（3）解：猜想：MN＝BM+NC，證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°．∴∠MBD＝∠ECD＝90°，又∵BD＝CD，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；拓展應(yīng)用（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周長＝3AB，∴△AMN的周長與△ABC的周長的比為2AB3AB＝2故答案為：23【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)的，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．30．（22-23八年級上·江西宜春·期中）問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長到點(diǎn)G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)成立，理由見解析(3)，證明見解析【分析】（1）延長到點(diǎn)G．使．連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）延長至M，使，連接．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出．，由全等三角形的性質(zhì)得出，即，則可得出結(jié)論；（3）在上截取，使，連接．證明．由全等三角形的性質(zhì)得出．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．延長到點(diǎn)G．使．連接，∵，∴．∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖②中，延長至M，使BM=DF，連接．∵，∴，在與中，，∴．∴．∵，∴．∴，即．在與中，，∴．∴，即，∴；（3）解：結(jié)論：．證明：如圖③中，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．∵，∴，

∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．模型七：截長補(bǔ)短模型該模型適用于求證線段的和差倍分關(guān)系，該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞，可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明。其中截長指在長線段中截取一段等于已知線段，補(bǔ)短指將短線段延長，使短線段加上延長線段長度等于長線段。(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。

例:如圖,求證BE+DC=AD；方法:①在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點(diǎn)F,使DF=DC,證AF=BE

(2)補(bǔ)短:將短線段延長,證與長線段相等31.（23-24八年級·福建廈門·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，D在線段BC上，連接DF，以DF為邊在DF的右側(cè)作等邊△DFE，連接EC，若存在實(shí)數(shù)k，使得kBC+ECDC為定值a，則k和a分別是（

A．k=12，a=1 B．k=13，a=1 C．k=1，a=3【答案】A【分析】在BC上截取CG=CF，連接FG