試題試題專題02全等三角形（8種常考題型）平移模型對稱模型旋轉(zhuǎn)模型倍長中線模型一線三等角模型作垂線截取法延長法試題試題平移模型（共5小題）1．（23-24八年級上·河南信陽·期中）如圖，是的中點，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．2．（22-23八年級上·浙江杭州·期中）如圖，已知，，下列條件不能判定的是（

）A． B． C． D．3.（22-23八年級上·貴州遵義·期中）如圖，點、、、在同一條直線上，，，請補充一個條件，使，可以補充的條件是．（補充一個即可）4.（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，點，，，在同一直線上，，，．求證：(1)；(2)．5．（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，求證：．對稱模型（共5小題）6.（22-23八年級上·浙江麗水·期中）如圖，已知，那么添加下列條件后，仍無法判定的是（

）A． B．C． D．7．（23-24八年級上·吉林·期中）如圖，，則（

）A． B． C． D．60°8.（23-24八年級上·全國·期中）如圖，，垂足為，則圖中全等的三角形共有對．9．（22-23八年級上·貴州安順·期中）如圖，已知平分，．求證：．（要求：寫出證明過程中每一步的依據(jù)）

10．（22-23八年級上·浙江溫州·期中）如圖，，，，在同一直線上，，，，，若，求的度數(shù)．旋轉(zhuǎn)模型（共5小題）11.（21-22八年級上·福建龍巖·期中）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．2212.（21-22八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，連接B'C，則△AB′C的面積為．13.（22-23八年級上·湖北孝感·期中）已知：，，．(1)如圖1當點在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）14．（21-22八年級上·江蘇宿遷·期中）（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．15.（21-22八年級上·天津和平·期中）在中，，，是過A的一條直線，于點D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側(cè)，易得與，的關(guān)系是____________；（2）若直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時，（），其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請予以證明；（3）若直繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，（），問與，的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明．倍長中線模型（共5小題）16.（23-24八年級上·四川眉山·期中）已知AD是的邊上的中線，，，則邊及中線AD的取值范圍分別是()A．， B．，C．， D．，17．（23-24八年級上·河北石家莊·期中）如圖，是的邊上的中線，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．18．（23-24八年級上·湖北荊州·期中）如圖，在中，，中線，則邊的取值范圍是．19．（23-24八年級上·山西長治·期中）如圖，，分別是的中線和高，是的角平分線

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求中線長的取值范圍．20（22-23八年級上·河南安陽·期中）如圖，在中，是邊上的中線，，，求的取值范圍．五．一線三等角模型（共4小題）21．（22-23八年級上·北京西城·期中）如圖，在中，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．22．（22-23八年級上·內(nèi)蒙古興安盟·期中）如圖，在中，厘米，，厘米，點D為AB的中點，點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．當點Q的運動速度為______厘米/秒時，能夠在某一時刻使與全等A．1 B．2或4 C．3 D．4或623．（23-24八年級上·福建泉州·期中）如圖，在中，分別在上的點，且，，則的度數(shù)是度．（用含的代數(shù)式表示）24．（20-21八年級上·廣東韶關(guān)·期中）如圖，已知中，厘米，厘米，點D為的中點．如果點P在線段上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段上由C點向A點運動．點P運動時間為ts(1)用含有t的代數(shù)式表示．(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等；(3)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？六．作垂線（共5小題）25．（22-23八年級上·山東臨沂·期中）如圖，在直角坐標系中，是的角平分線，點D的坐標是，，那么的面積為（

）A．48 B．24 C．16 D．1226．（23-24八年級上·遼寧撫順·期中）如圖，在中，是的角平分線，若，則的面積是（

）A．6 B．8 C．10 D．1227．（22-23八年級上·福建莆田·期中）如圖，是中的平分線，，垂足為點E，，，，則的長是．28．（22-23八年級上·云南昆明·期中）如圖，D是平分線上的一點，若，求證：29．（23-24八年級上·遼寧撫順·期中）如圖，D為的中點，連接，平分．求證：．截取法（共6小題）30.（23-24八年級上·山東濱州·期中）如圖，已知點是邊上的動點（不與重合），在的同側(cè)作等邊和等邊，連接，下列結(jié)論正確的是（填序號）①；②；③；④是等邊三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩圖中共有2對全等三角形．31．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，四邊形中，，，，則是三角形；若，，，則BD的長為．32．（21-22八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，．點為外一點，于．，，，則的長為．33．（23-24八年級上·陜西商洛·期中）如圖，在中，，平分，P為線段上一動點，Q為邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為．34．（23-24八年級上·福建福州·期中）如圖，在中，．平分且交于點D，點E和F分別是線段和上的動點，則的最小值為．

35．（22-23八年級上·福建莆田·期中）如圖，銳角三角形與等腰直角三角形是共邊三角形，，,過點D作于F,E為的中點.(1)求證：;(2)求證：(3)若,求的長八．延長法（共5小題）36．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在中，，，平分，交的延長線于，若，則（

）A．4 B．3 C． D．37．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，已知是的平分線，，若，則的面積等于（）A． B． C． D．不能確定38.（22-23八年級上·廣東廣州·期中）如圖的面積為，平分，且于P，則的面積為．39.（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖，中，，，，平分，且，則與的面積和是．40.（23-24八年級上·廣東珠海·期中）如圖，中，的角平分線相交于點，過作交的延長線于點，交于點．(1)求度數(shù)；(2)求證：；(3)猜想線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．專題02全等三角形（8種常考題型）平移模型對稱模型旋轉(zhuǎn)模型倍長中線模型一線三等角模型作垂線截取法延長法平移模型（共5小題）1．（23-24八年級上·河南信陽·期中）如圖，是的中點，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐一判斷即可得答案．正確找出對應邊和對應角是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的中點，∴，在和中，，∴，∴，，，故選項、、正確，不符合題意，∵、不是對應邊，∴與不一定相等，故D選項錯誤，符合題意，故選：D．2．（22-23八年級上·浙江杭州·期中）如圖，已知，，下列條件不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定方法依次進行判斷即可．【詳解】解：∵，，添加，不能判定，故A選項符合題意；添加，根據(jù)可證，故B選項不符合題意；添加，根據(jù)可證，故C選項不符合題意；添加，可得，根據(jù)可證，故D選項不符合題意，故選：A．3.（22-23八年級上·貴州遵義·期中）如圖，點、、、在同一條直線上，，，請補充一個條件，使，可以補充的條件是．（補充一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定方法添加條件即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴可添加或，可得，故答案為：（答案不唯一）．4.（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，點，，，在同一直線上，，，．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）由題意易得，然后根據(jù)“”可判定全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進行求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，在和中，，∴；（2）證明：∵，∴，∴．5．（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，求證：．【答案】見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)得到，又由已知得到，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵∴，∵，∴∴．∴．∴．對稱模型（共5小題）6.（22-23八年級上·浙江麗水·期中）如圖，已知，那么添加下列條件后，仍無法判定的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定定理，并會靈活選用合適的方法解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題可知，，A.，利用可以得到，不符合題意；B.，不能證明，符合題意；C.，利用可以得到，不符合題意；D.，利用可以得到，不符合題意；故選B．7．（23-24八年級上·吉林·期中）如圖，，則（

）A． B． C． D．60°【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，再利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得．本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：，，，在和中，，，．故選：C．8.（23-24八年級上·全國·期中）如圖，，垂足為，則圖中全等的三角形共有對．【答案】3/三【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要找準對應邊和對應角；由于于，根據(jù)垂直定義可得，結(jié)合已知條件和公共邊可證出；用同樣的方法可證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得到，再結(jié)合公共邊，同樣可得和的關(guān)系，至此可得答案．【詳解】解：∵于，∴，∴在和中，，∴，∴．又∵，∴，同理可證：，所以圖中的全等三角形有3對．故答案為：3．9．（22-23八年級上·貴州安順·期中）如圖，已知平分，．求證：．（要求：寫出證明過程中每一步的依據(jù)）

【答案】詳見解析【分析】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的，，，及定理是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)證明與全等，即可得出．【詳解】證明：平分（已知）

（角平分線的定義）在和中，．（全等三角形對應邊相等）．10．（22-23八年級上·浙江溫州·期中）如圖，，，，在同一直線上，，，，，若，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，先證明，得出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出答案即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，即，在與中，∴，∴，∴．旋轉(zhuǎn)模型（共5小題）11.（21-22八年級上·福建龍巖·期中）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將關(guān)于對稱得到，從而可得的面積為15，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，從而可得，最后根據(jù)與的面積之和等于與的面積之和即可得．【詳解】解：如圖，將關(guān)于AE對稱得到，則，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即與的面積之和為21，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵12.（21-22八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，連接B'C，則△AB′C的面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意過點B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，則有S△AB'C＝AC?B′H即可求得答案．【詳解】解：過點B'作B'H⊥AC于H，∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°，∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°，∴∠HB'A＝∠CAB，在△ACB和△B'HA中，，∴△ACB≌△B'HA（AAS），∴AC＝B'H，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴AC＝B'H＝4，∴S△AB'C＝AC?B′H＝×4×4＝8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，根據(jù)題意利用全等三角形的判定證明△ACB≌△B'HA是解決問題的關(guān)鍵．13.（22-23八年級上·湖北孝感·期中）已知：，，．(1)如圖1當點在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）由全等可知，所以當點在上時，為等腰三角形，依據(jù)已知計算即可．（2）因為兩個三角形中有一邊相等，只要找到這兩個底對應高之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案為：．（2）解：如下圖所示：過點作的邊上的高，過點作的邊上的高，由作圖及知：，，，（同角的余角相等），

在與中有：（），，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是使用分析法找到:兩個三角形面積相等時，底相等則高相等，從而構(gòu)造全等證明對應高相等．14．（21-22八年級上·江蘇宿遷·期中）（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）成立，理由見解析【分析】（1）典型的“夾半角模型”，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；（2）圖形變式題可以參考第一問的思路，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；【詳解】解：（1）證明：延長到，使得

連接

∵四邊形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）證明：延長到，使得

連接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的根據(jù)“夾半角模型”作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15.（21-22八年級上·天津和平·期中）在中，，，是過A的一條直線，于點D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側(cè)，易得與，的關(guān)系是____________；（2）若直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時，（），其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請予以證明；（3）若直繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，（），問與，的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明．【答案】（1）；（2），證明過程見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件證明即可得解；（2）根據(jù)已知條件證明即可得解；（3）根據(jù)已知條件證明即可得解；【詳解】（1）在和中，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又，∴，即；故答案是：；（2）答：；證明：∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；（3）∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；【點睛】本題主要考查了全等三角形的綜合應用，準確分析證明是解題的關(guān)鍵．倍長中線模型（共5小題）16.（23-24八年級上·四川眉山·期中）已知AD是的邊上的中線，，，則邊及中線AD的取值范圍分別是()A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問題，邊的取值范圍可在中利用三角形的三邊關(guān)系進行求解，而對于中線AD的取值范圍可延長AD至點，使，得出，進而在中利用三角形三邊關(guān)系求解．【詳解】如圖所示，在中，則，即，，延長AD至點，使，連接，是的邊上的中線，，又，，，在中，，即，，即，．故選：D．17．（23-24八年級上·河北石家莊·期中）如圖，是的邊上的中線，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題綜合運用了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．注意：倍長中線是常見的輔助線之一．延長至，使，連接．根據(jù)證明，得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：延長至，使，連接．在與中，，，．在中，，即，．故選：A．18．（23-24八年級上·湖北荊州·期中）如圖，在中，，中線，則邊的取值范圍是．【答案】【分析】延長到點E，使，連接，可證明，可求得，在中可利用三角形三邊關(guān)系可求得的取值范圍，則可求得的取值范圍．【詳解】解：延長到點E，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，且，∵，∴，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形，把、和轉(zhuǎn)化到一個三角形中是解題的關(guān)鍵．19．（23-24八年級上·山西長治·期中）如圖，，分別是的中線和高，是的角平分線

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求中線長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再結(jié)合高與三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（2）延長至，使，再證明，可得，而，則，再結(jié)合中線的含義可得答案．【詳解】（1）解：，，，平分，，為高，，；（2）延長至，使，

∵是的中線，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴．【點睛】本題考查的是三角形的中線，高，角平分線的含義，三角形的外角的性質(zhì)，內(nèi)角和定理的應用，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應用，熟記基礎(chǔ)概念是解本題的關(guān)鍵．20（22-23八年級上·河南安陽·期中）如圖，在中，是邊上的中線，，，求的取值范圍．【答案】【分析】倍長中線至點N，構(gòu)造，易得，再利用三角形的三邊關(guān)系找到的取值范圍，進而得到的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長到點，使，連接，在和中，，（SAS），，在中，，，即，，即．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定以及三角形的三邊關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是倍長中線構(gòu)造全等三角形．五．一線三等角模型（共4小題）21．（22-23八年級上·北京西城·期中）如圖，在中，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明得到，利用三角形的外角性質(zhì)得到，再利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：在和中，∴，∴，∵，又，∴，∴故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，證明是關(guān)鍵．22．（22-23八年級上·內(nèi)蒙古興安盟·期中）如圖，在中，厘米，，厘米，點D為AB的中點，點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．當點Q的運動速度為______厘米/秒時，能夠在某一時刻使與全等A．1 B．2或4 C．3 D．4或6【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的對應邊相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，根據(jù)對應角分情況討論是本題的難點．根據(jù)等邊對等角可得，然后表示出、、、，再根據(jù)全等三角形對應邊相等，分①、是對應邊，②與是對應邊兩種情況討論求解即可．【詳解】解：，，點為的中點，，設點、的運動時間為，，若與全等．則有：①當時，，解得：，則，故點的運動速度為：；②當時，，，．故點的運動速度為．故選：D23．（23-24八年級上·福建泉州·期中）如圖，在中，分別在上的點，且，，則的度數(shù)是度．（用含的代數(shù)式表示）【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；根據(jù)已知條件可推出，從而可知，則，能夠發(fā)現(xiàn)全等三角形，再根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理發(fā)現(xiàn)是解題關(guān)鍵．【詳解】∵在和中，，∴∴∴，∵，∴，故答案為：．24．（20-21八年級上·廣東韶關(guān)·期中）如圖，已知中，厘米，厘米，點D為的中點．如果點P在線段上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段上由C點向A點運動．點P運動時間為ts(1)用含有t的代數(shù)式表示．(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等；(3)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？【答案】(1)厘米(2)全等(3)厘米/秒【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，注意：全等三角形的判定定理有，用了分類討論思想．（1）求出，即可求出答案；（2）求出、、，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；（3）設當點Q的運動速度為x厘米/時，時間是t小時，能夠使與全等，求出厘米，厘米，厘米，厘米，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）解：∵點P在線段上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，∴厘米，∵厘米，∴厘米；（2）解∶全等，理由如下∶∵厘米，點D為的中點，∴，厘米，∵厘米，∴厘米，∴，在和中，，∴；（3）解∶設當點Q的運動速度為x厘米/秒，時間是t秒，∵厘米，厘米，厘米，∴當，或，，與全等，即①，，解得：（不合題意，舍去），②，，解得：，即當點Q的運動速度為厘米/秒．六．作垂線（共5小題）25．（22-23八年級上·山東臨沂·期中）如圖，在直角坐標系中，是的角平分線，點D的坐標是，，那么的面積為（

）A．48 B．24 C．16 D．12【答案】B【分析】本題考查了坐標與圖形以及角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．作于，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形面積公式計算．【詳解】解：作于，如圖，∵點的坐標是，，∵是的角平分線，，，故選：B．26．（23-24八年級上·遼寧撫順·期中）如圖，在中，是的角平分線，若，則的面積是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，三角形的面積等知識點，過點D作于E，先求出的長，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解，熟記性質(zhì)并作輔助線得到邊上的高是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過點D作于E，∵是的角平分線，，∴，∵，∴的面積，故選：B．27．（22-23八年級上·福建莆田·期中）如圖，是中的平分線，，垂足為點E，，，，則的長是．【答案】5【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．作于，如圖，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后利用面積法求的長．【詳解】解：作于，如圖，為的平分線，，，，，，．故答案為：5．28．（22-23八年級上·云南昆明·期中）如圖，D是平分線上的一點，若，求證：【答案】見解析【分析】本題考查交角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過點D分別作的垂線，交于，交于，證明，即可．【詳解】證明：過點D分別作的垂線，交于，交于，則，∵是的平分線，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．29．（23-24八年級上·遼寧撫順·期中）如圖，D為的中點，連接，平分．求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，根據(jù)證明即可得出答案．【詳解】證明：作，，E，F(xiàn)為垂足，∵平分，，，∴，∵D為的中點，∴，在和中，，∴，∴．截取法（共6小題）30.（23-24八年級上·山東濱州·期中）如圖，已知點是邊上的動點（不與重合），在的同側(cè)作等邊和等邊，連接，下列結(jié)論正確的是（填序號）①；②；③；④是等邊三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩圖中共有2對全等三角形．【答案】①②③④⑤⑥⑦⑧⑨【分析】本題以常見的全等模型-“手拉手”模型為幾何背景，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的綜合問題、角平分線的性質(zhì)定理等知識點，還涉及了“截長補短”的輔助線作法，掌握相關(guān)結(jié)論和方法，進行嚴密的幾何推理是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵、是等邊三角形，∴，∴即：∴，故①正確；∵，∴，∵∴，故②正確；∵∴∵∴∵∴∴∴是等邊三角形∴∴，故③、④正確；∵，∴∴邊上的高相等，即點到的距離相等，∴平分，故⑤正確；在上截取，連接，如圖所示：∵，，∴∴∴∴∴是等邊三角形，∴∴，故⑥正確；在CD上截取，連接，如圖所示：由②得：，∴由⑤得：平分，∴∴∵，∴∵∴∴∴是等邊三角形，∴∴，故⑦正確；∵∴∴，故⑧正確；∴∴，故⑨正確；由以上推理可知：、，∵∴∴圖中不只有2對全等三角形，故⑩錯誤；故答案為：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨31．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，四邊形中，，，，則是三角形；若，，，則BD的長為．【答案】等邊【分析】設交BD于點，則，證明是等邊三角形，則有，在DB上截取，連接，所以是等邊三角形，根據(jù)性質(zhì)得，，則，然后證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段和差即可求解．【詳解】解：設交BD于點，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，在DB上截取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：等邊，．【點評】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，正確地作出所需要的輔助線，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．32．（21-22八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，．點為外一點，于．，，，則的長為．【答案】5【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．方法一：過作，交的延長線于，證，得，，再證，得，則，即可求解．方法二：在上截取，連接，設交于，先證明，再證明，得出，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，即可得出答案．【詳解】解：方法一：過作，交的延長線于，如圖所示：則，，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，故答案為：5．方法二：在上截取，連接，設交于，如圖2所示：，，，，，在和中，，，，，，，故答案為：5．33．（23-24八年級上·陜西商洛·期中）如圖，在中，，平分，P為線段上一動點，Q為邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為．【答案】/66度【分析】在上截取，連接，證明得出，從而證明當點A、P、E在同一直線上，且時，的值最小，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出結(jié)果【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：平分，，在和中，，，，，，∴當點A、P、E在同一直線上，且，的值最小，即的值最小，∴當點A、P、E在同一直線上，且時，，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義、全等三角形的性質(zhì)和判定、垂線段最短及三角形的內(nèi)角和定理，確定使最小時點P的位置是解題的關(guān)鍵．34．（23-24八年級上·福建福州·期中）如圖，在中，．平分且交于點D，點E和F分別是線段和上的動點，則的最小值為．

【答案】【分析】在上截取，連接，可證明，則有，當B、F、G三點共線且時，取得最小值，利用面積相等即可求得最小值．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴當B、F、G三點共線且時，取得最小值．∵，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，利用角的對稱性作，從而得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．35．（22-23八年級上·福建莆田·期中）如圖，銳角三角形與等腰直角三角形是共邊三角形，，,過點D作于F,E為的中點.(1)求證：;(2)求證：(3)若,求的長【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)定理內(nèi)容，尋找全等條件是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)即可求證；（2）在上截取，證得，進一步可得；再證即可求解；（3）由（