2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——復(fù)分析中的調(diào)和函數(shù)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.設(shè)實函數(shù)u(x,y)=x2-y2+2xy，則u(x,y)（）A.是調(diào)和函數(shù)B.不是調(diào)和函數(shù)C.無法判斷是否為調(diào)和函數(shù)D.是常數(shù)函數(shù)2.函數(shù)v(x,y)=x2+y2-2xy是調(diào)和函數(shù)u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)，則u(x,y)等于（）A.x2-y2-2xyB.x2+y2+2xyC.-x2+y2+2xyD.-x2-y2-2xy3.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是復(fù)平面上的解析函數(shù)，則實部u(x,y)滿足（）A.拉普拉斯方程?2u/?x2+?2u/?y2=1B.拉普拉斯方程?2u/?x2+?2u/?y2=0C.柯西-黎曼方程?u/?x=?v/?yD.?u/?x=?u/?y4.調(diào)和函數(shù)u(x,y)在其定義域內(nèi)（）A.必有極值點B.不可能有極值點C.可能存在極值點，但只可能是常數(shù)函數(shù)D.極值點僅可能出現(xiàn)在邊界上5.已知調(diào)和函數(shù)u(x,y)=e^xsiny，則其共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)滿足?v/?x=-u的一個可能的表達(dá)式是（）A.e^xcosyB.-e^xcosyC.e^xsinyD.-e^xsiny二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）6.若函數(shù)u(x,y)=ln(1+x2+y2)是調(diào)和函數(shù)，則?u/?x在點(0,0)處的值為________。7.若f(z)=z2+1是解析函數(shù)，則其實部u(x,y)=________，其虛部v(x,y)=________。8.調(diào)和函數(shù)u(x,y)滿足?u/?x=2x-y，且滿足u(1,1)=2，則u(2,3)=________。9.已知u(x,y)=x3-3xy2是調(diào)和函數(shù)，則其共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)滿足?v/?y=________。10.根據(jù)柯西-黎曼方程，若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且?u/?x=3x2+2y，則?v/?x=________。三、計算題（每小題10分，共30分）11.證明函數(shù)u(x,y)=y2-x2+2xy是調(diào)和函數(shù)。12.已知函數(shù)v(x,y)=y-x2是調(diào)和函數(shù)u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)，且滿足u(0,0)=0。求函數(shù)u(x,y)。13.設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是復(fù)平面上的解析函數(shù)，且滿足u(x,y)=x2-y2-xy。求f(z)。四、證明題（共15分）14.證明：若u(x,y)和v(x,y)都是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程?u/?x=?v/?y和?u/?y=-?v/?x，則u和v在D內(nèi)相互為共軛調(diào)和函數(shù)。---試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.C5.B二、填空題6.17.x2+y2,2y8.89.-2x210.-2y三、計算題11.證明：計算?2u/?x2=-2+2y，計算?2u/?y2=2。因為?2u/?x2+?2u/?y2=(-2+2y)+2=0，所以u(x,y)是調(diào)和函數(shù)。12.解：計算?u/?y=-2y。對v求導(dǎo)?v/?x=-?u/?y=2y。積分?v/?x=2y，得v(x,y)=y2+h(y)。對v求導(dǎo)?v/?y=2y+h'(y)，由?v/?y=-?u/?x=-(-2x2-2y)=2x2+2y，得2y+h'(y)=2x2+2y，即h'(y)=2x2。積分h'(y)=2x2，得h(y)=2x2y+C。所以v(x,y)=y2+2x2y+C。利用邊界條件u(0,0)=v(0,0)=0，得C=0。所以v(x,y)=y2+2x2y。再由?u/?x=?v/?y=2x2+2y，積分得u(x,y)=(2/3)x3+x2y+g(y)。由?u/?y=x2+g'(y)，且?u/?y=-?v/?x=-(2x2+2y)，得x2+g'(y)=-2x2-2y，即g'(y)=-2x2-2y-x2=-3x2-2y。積分g'(y)=-3x2-2y，得g(y)=-x3y-y2+C。利用邊界條件u(0,0)=0，得C=0。所以u(x,y)=(2/3)x3+x2y-x3y-y2=(2/3-1)x3+x2y-y2=-1/3x3+x2y-y2。即u(x,y)=x2y-y2-(1/3)x3。13.解：計算?u/?x=2x-y，計算?u/?y=-1-2y。由柯西-黎曼方程?u/?x=?v/?y，得?v/?y=2x-y。積分?v/?y=2x-y，得v(x,y)=x2-xy+h(x)。由柯西-黎曼方程?u/?y=-?v/?x，得-?v/?x=-1-2y，即?v/?x=1+2y。對v(x,y)=x2-xy+h(x)求x偏導(dǎo)，得?v/?x=-y+h'(x)。令-y+h'(x)=1+2y，得h'(x)=1+3y。因為此式對x求導(dǎo)應(yīng)為0，所以h'(x)應(yīng)與y無關(guān)，即h'(x)=1。積分得h(x)=x+C。所以v(x,y)=x2-xy+x+C。利用f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(x2-y2-xy)+i(x2-xy+x+C)，得f(z)=x2-xy+i(x2-xy+x+C)。令z=x+iy，則x2-xy+x=(z+conj(z))/2-(conj(z)z)/2+(z)/2=(z+conj(z)-conj(z)z+z)/2=(2z-conj(z)z)/2=z-conj(z)/2。所以f(z)=z-conj(z)/2+i(x2-xy+x+C)。因為x2-xy+x是實部，所以i(x2-xy+x+C)應(yīng)為純虛部。這意味著x2-xy+x+C必須為0。由x2-xy+x=z-conj(z)/2，得C=-x2+xy-x=-(z-conj(z)/2)。所以f(z)=z-conj(z)/2+i(-(z-conj(z)/2))=z-conj(z)/2-i(z-conj(z)/2)=z-i(conj(z)/2)。所以f(z)=z-iconj(z)/2。簡化為f(z)=z-(1/2)conj(z)。四、證明題14.證明：已知u和v都是調(diào)和函數(shù)，所以?2u/?x2+?2u/?y2=0且?2v/?x2+?2v/?y2=0。已知在D內(nèi)u和v滿足柯西-黎曼方程?u/?x=?v/?y和?u/?y=-?v/?x。對第一個柯西-黎曼方程?u/?x=?v/?y求x偏導(dǎo)，得?2u/?x2=?2v/?x?y。對第二個柯西-黎曼方程?u/?y=-?v/?x求y偏導(dǎo)，得?2u/?y2=-?2v/?y?x。由混合偏導(dǎo)數(shù)相等，得?2v/?x?y=?2v/?y?x。所以?2u/?x2=?2v/?y?x=?2v/?x?y=-?2u/?y2。兩邊相加，得(?2u/?x2+?2u/?y2)+(?2v/?x2+?2v/?y2)=0+0=0。由調(diào)和函數(shù)性質(zhì)，第一項為0，所以第二項也為0，即?2v/?x2+?2v/?y2=0，v也是調(diào)和函數(shù)?，F(xiàn)在證明v是u的共軛調(diào)和函數(shù)。對第二個柯西-黎曼方程?u/?y=-?v/?x求x偏導(dǎo)，得?2u/?x?y=-?2v/?x2。對第一個柯西-黎