2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在智能交通中的作用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：請將所有答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。如有計算，請寫出必要的步驟。1.考慮一個單交叉口的交通信號控制問題。假設(shè)綠燈時間為\(T_g\)，紅燈時間為\(T_r\)，總周期為\(T=T_g+T_r\)。車輛到達服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過程。設(shè)在一個周期內(nèi)到達的車輛數(shù)為\(N\)，且\(N\)服從參數(shù)為\(\lambdaT\)的泊松分布。信號燈在綠燈結(jié)束時改變狀態(tài)。若一輛車在綠燈期間到達，則能順利通過；若在紅燈期間到達，則需要等待下一個綠燈。求該車輛在首次通過交叉口時等待時間\(W\)的數(shù)學(xué)期望。2.在一個智能交通系統(tǒng)中，需要規(guī)劃一條從起點A到終點B的最優(yōu)路徑。交通網(wǎng)絡(luò)可以用一個加權(quán)圖\(G=(V,E,W)\)表示，其中\(zhòng)(V\)是路口集合，\(E\)是道路集合，\(W\)是權(quán)重函數(shù)，表示道路的通行時間或成本。假設(shè)\(s\)為起點A，\(t\)為終點B。請寫出使用Dijkstra算法求解從s到t的最短路徑的基本思想，并簡述算法的核心步驟。3.假設(shè)某城市某路段的交通流遵循Lighthill-Whitham-Richards(LWR)模型，其連續(xù)形式為\(\frac{\partialq}{\partialt}+\frac{\partialf(q)}{\partialx}=0\)，其中\(zhòng)(q(x,t)\)表示時刻\(t\)在位置\(x\)處的交通流量，\(f(q)\)是流量-密度關(guān)系函數(shù)，通常假設(shè)為\(f(q)=Vq(1-\frac{q}{Q})\)，\(V\)是車輛最大速度，\(Q\)是道路容量。若初始時刻交通流為\(q(x,0)=\begin{cases}0,&x<0\\Q,&0\leqx\leqL\end{cases}\)，其中\(zhòng)(L\)是路段長度，試推導(dǎo)該初值問題的解，并說明解的物理意義。4.在智能交通系統(tǒng)的交通信號優(yōu)化中，常需要平衡交叉口附近道路的通行效率。考慮一個包含兩個交叉口的簡化網(wǎng)絡(luò)，每個交叉口有南北和東西兩個方向，每個方向有紅綠燈控制。用\(x_i(t)\)表示第\(i\)個交叉口在時刻\(t\)的平均等待車輛數(shù)（\(i=1,2\)）。假設(shè)\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)之間存在某種線性關(guān)系，例如\(x_2(t)=ax_1(t)+b\)，其中\(zhòng)(a,b\)為常數(shù)。若優(yōu)化目標是最小化\(x_1(t)+x_2(t)\)，請寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達式。5.在自動駕駛車輛的路徑規(guī)劃中，常使用A*算法。設(shè)狀態(tài)空間為\(S\)，目標狀態(tài)為\(G\)。算法使用啟發(fā)式函數(shù)\(h(n)\)估計從當前狀態(tài)\(n\)到目標狀態(tài)\(G\)的代價。請解釋啟發(fā)式函數(shù)\(h(n)\)需要滿足的性質(zhì)，并說明為什么滿足該性質(zhì)對于保證A*算法的最優(yōu)性是重要的。6.隨機游走模型可以用來模擬簡單的交通現(xiàn)象，如車輛在道路網(wǎng)絡(luò)中的隨機選擇。假設(shè)一個車輛在每個時間步，等概率地在相鄰的路口之間移動（假設(shè)為無向圖，每個路口至少連有兩個邊）。設(shè)車輛從路口\(v_0\)出發(fā)，求其在第\(n\)次移動后到達某個特定路口\(v_k\)的概率。請推導(dǎo)這個概率的表達式，并分析其隨\(n\)的變化趨勢。7.在分析共享單車的動態(tài)分布問題時，可以將單車在不同區(qū)域的位置視為一個隨機過程。設(shè)\(X(t)\)表示時刻\(t\)時單車在區(qū)域A的數(shù)量，\(Y(t)\)表示在區(qū)域B的數(shù)量。假設(shè)單車在區(qū)域間的遷移符合一個簡單的隨機過程，例如，每小時從區(qū)域A遷移到區(qū)域B的單車數(shù)服從參數(shù)為\(\mu\)的泊松分布，同時從區(qū)域B遷移到區(qū)域A的單車數(shù)服從參數(shù)為\(\nu\)的泊松分布。請寫出描述該系統(tǒng)狀態(tài)\((X(t),Y(t))\)變化的微分方程組（或近似方程組），并簡述其含義。8.考慮一個多階段交通決策問題。一輛車需要從起點經(jīng)過若干中間站點最終到達終點。在每一步，車輛可以選擇不同的路徑到達下一個站點，每個選擇對應(yīng)不同的行駛時間和成本?？梢杂靡粋€決策樹來描述這個問題的所有可能路徑和對應(yīng)的總成本。請說明如何使用動態(tài)規(guī)劃的思想來求解該問題的最優(yōu)路徑及其最小總成本，并簡述關(guān)鍵步驟。9.在智能交通大數(shù)據(jù)分析中，如何評估一個預(yù)測模型的性能至關(guān)重要。假設(shè)我們使用一個模型來預(yù)測未來\(T\)小時內(nèi)的交通擁堵狀況（例如，用0-1評分表示，0表示暢通，1表示擁堵）。我們有一組歷史數(shù)據(jù)，模型根據(jù)這些數(shù)據(jù)進行了訓(xùn)練。請解釋均方誤差(MeanSquaredError,MSE)和準確率(Accuracy)這兩個指標分別適用于評價該模型的哪些方面，并分析它們各自的優(yōu)缺點。10.設(shè)想一個場景，需要為自動駕駛車輛設(shè)計一個避障算法。車輛通過傳感器探測前方的障礙物，得到其距離\(d\)和相對速度\(v_r\)。請基于微分方程的思想，構(gòu)建一個簡單的數(shù)學(xué)模型來描述車輛在探測到障礙物后調(diào)整其行駛狀態(tài)（例如，減速或轉(zhuǎn)向）的過程，并解釋模型中涉及的關(guān)鍵參數(shù)及其物理意義。試卷答案1.解：設(shè)車輛在\(T_g\)時間內(nèi)到達的概率為\(P(\text{arriveingreen})=1-e^{-\lambdaT_g}\)。此時無需等待。車輛在\((T_g,T_g+T_r)\)時間內(nèi)到達的概率為\(P(\text{arriveinred})=1-P(\text{arriveingreen})=e^{-\lambdaT_g}\)。此時需等待整個紅燈時間\(T_r\)的概率為\(1\)，等待時間為\(T_r\)。等待時間小于\(T_r\)的概率為\(P(\text{arriveinredbutbeforeredends})=\frac{T_g}{T_r}\)（均勻分布），此時等待時間服從\([0,T_r]\)上的均勻分布，期望為\(\frac{T_r}{2}\)。因此，期望等待時間\(E[W]\)為：\(E[W]=P(\text{arriveingreen})\cdot0+P(\text{arriveinred})\cdotE[W|\text{arriveinred}]\)\(E[W]=e^{-\lambdaT_g}\left(\frac{T_r}{2}+T_r\cdot\frac{T_g}{T_r}\right)\)\(E[W]=e^{-\lambdaT_g}\left(\frac{T_r}{2}+T_g\right)\)\(E[W]=e^{-\lambdaT_g}\left(\frac{T_g+T_r}{2}\right)\)2.解：Dijkstra算法的基本思想是：從起點出發(fā)，逐步擴展已確定最短路徑的節(jié)點集合，直到包含終點。在每一步，選擇當前未包含節(jié)點集合中距離起點最近的節(jié)點加入集合，并更新通過該節(jié)點到達其他未包含節(jié)點的距離。核心步驟如下：(1)初始化：將起點s的距離設(shè)為0，其他所有節(jié)點距離設(shè)為無窮大。將所有節(jié)點標記為未訪問。(2)選擇節(jié)點：從未訪問節(jié)點中選取距離起點最小的節(jié)點u。(3)更新距離：對于節(jié)點u的每個鄰接節(jié)點v，如果通過u到達v的距離（u的距離+u到v的邊權(quán)重）小于v的當前距離，則更新v的距離為該新計算值，并將u設(shè)為v的前驅(qū)節(jié)點。(4)標記節(jié)點：將節(jié)點u標記為已訪問。(5)重復(fù)：若終點t已被訪問，則算法結(jié)束，已找到最短路徑（可通過前驅(qū)節(jié)點回溯）。若所有節(jié)點都已訪問或當前未訪問節(jié)點集合為空且終點未訪問，則t不可達。3.解：將方程\(\frac{\partialq}{\partialt}+\frac{\partialf(q)}{\partialx}=0\)按特征線法求解。特征線方程為\(\frac{dx}{dt}=f'(q)\)。將\(f(q)=Vq(1-\frac{q}{Q})\)代入，得\(\frac{dx}{dt}=V(1-\frac{2q}{Q})\)。沿特征線，\(q\)滿足\(\frac{dq}{dt}=-\frac{\partialf}{\partialq}=-V(1-\frac{2q}{Q})\)。分離變量并積分：\(\int\frac{dq}{1-\frac{2q}{Q}}=-V\intdt\)。令\(u=1-\frac{2q}{Q}\)，則\(du=-\frac{2}{Q}dq\)，\(dq=-\frac{Q}{2}du\)。\(\int\frac{-\frac{Q}{2}du}{u}=-Vt+C\)，即\(-\frac{Q}{2}\ln|u|=-Vt+C\)。\(\ln|1-\frac{2q}{Q}|=\frac{2Vt}{Q}+C'\)。\(1-\frac{2q}{Q}=e^{\frac{2Vt}{Q}+C'}=e^{C'}e^{\frac{2Vt}{Q}}\)。令\(A=e^{C'}\)，則\(1-\frac{2q}{Q}=Ae^{\frac{2Vt}{Q}}\)。\(q=\frac{Q}{2}(1-Ae^{\frac{2Vt}{Q}})\)。由初始條件\(q(x,0)=\begin{cases}0,&x<0\\Q,&0\leqx\leqL\end{cases}\)：若\(x<0\)，\(q(0,t)=\frac{Q}{2}(1-Ae^{\frac{2Vt}{Q}})=0\impliesAe^{\frac{2Vt}{Q}}=1\)。對于任意\(t\geq0\)，此式不恒成立。應(yīng)改為：沿特征線\(x=V(1-\frac{2q}{Q})t+x_0\)，當\(t=0\)時\(x=x_0\)。特征線方程為\(x=Vt+x_0\)，\(x_0=V(1-\frac{2q(0,t)}{Q})t\)。若\(0\leqx\leqL\)，需找到通過\(x_0\)在\(t=0\)時的特征線。特征線方程為\(x=Vt+x_0\)。令\(t=0\)，\(x=x_0\)。對于\(0\leqx\leqL\)，應(yīng)滿足\(x_0\in[0,L]\)。特征線為\(x=Vt+x_0\)。通過\(x_0\)的特征線斜率為\(V(1-\frac{2q(x_0,0)}{Q})\)。若\(x_0<0\)，\(q(x_0,0)=0\)，斜率\(V\)。特征線\(x=Vt+x_0\)。若\(x_0>L\)，\(q(x_0,0)=Q\)，斜率\(V(1-\frac{2Q}{Q})=0\)。特征線\(x=x_0\)。正確解法：沿特征線\(x=Vt+x_0\)，\(x_0\)是初始位置。\(q(x,t)=q(x_0,0)\)。對于\(x<0\)，\(q(x,0)=0\)，沿\(x=Vt+x_0\)，\(x_0<0\)。對于\(0\leqx\leqL\)，\(q(x,0)=Q\)，沿\(x=Vt+x_0\)，\(x_0\in[0,L]\)。解為：\(q(x,t)=\begin{cases}0,&x<Vt\\Q,&Vt\leqx\leqVt+L\\0,&x>Vt+L\end{cases}\)物理意義：交通流在初始時刻為在\([0,L]\)段內(nèi)以最大速度\(V\)移動的“活塞”，在其他地方?jīng)]有車輛。該活塞以速度\(V\)向正\(x\)方向移動。在\(x\)軸上，車輛密度\(q\)隨時間\(t\)的變化呈階躍狀移動。4.解：優(yōu)化目標是最小化總等待車輛數(shù)。設(shè)\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)分別為兩個交叉口的平均等待車輛數(shù)。根據(jù)題意，優(yōu)化目標函數(shù)為：Minimize\(Z=x_1(t)+x_2(t)\)約束條件為：\(x_2(t)=ax_1(t)+b\)將約束條件代入目標函數(shù)，得到一個變量的優(yōu)化問題：Minimize\(Z=x_1(t)+ax_1(t)+b=(1+a)x_1(t)+b\)由于\(x_1(t)\)是等待車輛數(shù)，必然非負，\(x_1(t)\geq0\)。因此，要使\(Z\)最小，需使\(x_1(t)\)最小。最小值為0。此時\(Z=b\)。故優(yōu)化問題可表示為：Minimize\(Z=(1+a)x_1(t)+b\)subjectto\(x_1(t)\geq0\)and\(x_2(t)=ax_1(t)+b\)5.解：A*算法的啟發(fā)式函數(shù)\(h(n)\)是從節(jié)點\(n\)到目標節(jié)點\(G\)的代價估計值。它需要滿足可接受性（admissibility）和一致性（consistency）（也稱為單調(diào)性）兩個性質(zhì)。(1)可接受性：\(h(n)\leqh'(n)\)，其中\(zhòng)(h'(n)\)是從節(jié)點\(n\)到目標\(G\)的實際最小代價?？山邮苄员ＷC了A*算法永遠不會高估實際代價，從而保證能找到最優(yōu)解。如果啟發(fā)式函數(shù)不可接受，A*可能會跳過最優(yōu)路徑。(2)一致性：對于任意節(jié)點\(n\)和其鄰居節(jié)點\(n'\)，必須滿足\(h(n)\leqc(n,n')+h(n')\)，其中\(zhòng)(c(n,n')\)是從節(jié)點\(n\)到\(n'\)的實際代價。一致性的直觀意義是：從\(n\)出發(fā)到\(G\)的最優(yōu)代價，不可能比經(jīng)過邊\((n,n')\)到達\(n'\)再從\(n'\)到\(G\)的最優(yōu)代價更大。一致性不僅保證了可接受性，還保證了算法選擇擴展節(jié)點時，總能找到一條通往目標的“良好”路徑。滿足一致性的啟發(fā)式函數(shù)也是可接受的。這兩個性質(zhì)對于保證A*算法的最優(yōu)性和效率至關(guān)重要。可接受性確保了最優(yōu)解的存在性，一致性則保證了算法在搜索過程中不會偏離最優(yōu)路徑太遠，提高了搜索效率。6.解：設(shè)車輛所在路口集合為\(V\)，相鄰路口關(guān)系構(gòu)成圖\(G\)。車輛從\(v_0\)出發(fā)，經(jīng)過\(n\)步移動到\(v_k\)。每一步移動到相鄰節(jié)點是等可能的，假設(shè)每個鄰接節(jié)點有\(zhòng)(d\)個。總共有\(zhòng)(d^n\)種可能的路徑。考慮一個特定的終點\(v_k\)。要計算在第\(n\)步恰好到達\(v_k\)的概率。這要求在第一步到第\(n-1\)步中，車輛不能停留在\(v_k\)，也不能到達\(v_k\)。設(shè)\(A_i\)表示第\(i\)步到達\(v_k\)。則事件\(A_i\)的概率\(P(A_i)=\frac{1}8m8qo6u\)（如果\(v_k\)有\(zhòng)(d\)個鄰居）。事件\(A_i\)發(fā)生，意味著車輛在第\(i\)步移動到了\(v_k\)，然后必須從\(v_k\)移動到其他節(jié)點，再回到\(v_k\)，直到第\(n\)步。這樣的路徑數(shù)量是\(d\cdot(d-1)^{n-2}\cdotd=d^n\)（假設(shè)\(v_k\)至少有兩個鄰居）。但更準確的方法是考慮從\(v_0\)出發(fā)，經(jīng)過\(n\)步，恰好停留在\(v_k\)的路徑數(shù)?？偮窂綌?shù)為\(|V|^{n-1}\)（每步有\(zhòng)(|V|\)個選擇）。恰好停在\(v_k\)的路徑數(shù)為從\(v_0\)到\(v_k\)的路徑數(shù)乘以從\(v_k\)到其他\(|V|-2\)個節(jié)點的路徑數(shù)乘以\((|V|-2)!\)（后續(xù)排列）。更簡單的理解：在\(n\)步中，選擇1步到\(v_k\)，其他\(n-1\)步到其他節(jié)點。有\(zhòng)(\binom{n}{1}\)種選擇哪一步到\(v_k\)。到\(v_k\)一步有\(zhòng)(d\)種選擇。其他\(n-1\)步，每步有\(zhòng)(d-1\)種選擇?？偮窂綌?shù)=\(n\cdotd\cdot(d-1)^{n-1}\)。因此，概率\(P(\text{at}v_k\text{after}n\text{steps})=\frac{n\cdotd\cdot(d-1)^{n-1}}{|V|^{n-1}}\)。分析趨勢：當\(n\)很大時，如果\(d>1\)，\((d-1)^{n-1}\)的增長速度慢于\(|V|^{n-1}\)的增長速度。概率趨于0。如果\(d=1\)（每個節(jié)點只有一個鄰居，形成鏈），概率為\(\frac{1}{|V|}\)。7.解：系統(tǒng)狀態(tài)為\((X(t),Y(t))\)，表示時刻\(t\)時區(qū)域A和區(qū)域B的單車數(shù)量。根據(jù)題意，單車遷移過程是連續(xù)的，可以用微分方程組描述。每小時從A到B的單車數(shù)是\(X(t)\)乘以一個離開率\(\mu\)，即\(\muX(t)\)。每小時從B到A的單車數(shù)是\(Y(t)\)乘以一個進入率\(\nu\)，即\(\nuY(t)\)。單車數(shù)的變化率等于流入率減去流出率。\(\frac{dX(t)}{dt}=-\muX(t)+\nuY(t)\)（A區(qū)的減少量是離開的，增加量是B區(qū)來的）\(\frac{dY(t)}{dt}=\muX(t)-\nuY(t)\)（B區(qū)的增加量是A區(qū)來的，減少量是離開的）這是一個線性常系數(shù)非齊次微分方程組（如果考慮外部單車投放或取走，則為非齊次；此處假設(shè)僅考慮區(qū)域內(nèi)遷移）。該方程組描述了區(qū)域A和B單車數(shù)量的動態(tài)演化過程。正的\(\frac{dX}{dt}\)和\(\frac{dY}{dt}\)表示單車數(shù)在增加，負值表示減少。系數(shù)\(\mu,\nu\)反映了單車在不同區(qū)域間的遷移速率。8.解：使用動態(tài)規(guī)劃求解該多階段決策問題。設(shè)\(V(i)\)表示從第\(i\)個站點（或當前狀態(tài)）出發(fā)，經(jīng)過后續(xù)所有決策，到達終點的最小總成本（或最大總效益，取決于優(yōu)化目標）。目標是最小化\(V(1)\)。(1)遞歸關(guān)系：從站點\(i\)出發(fā)，可以選擇不同的路徑到達下一個站點\(j\)（\(j>i\)），每個選擇對應(yīng)一個成本\(c(i,j)\)。到達\(j\)后，最小總成本為\(V(j)\)。因此，從\(i\)出發(fā)的最小成本為：\(V(i)=\min_{j>i}\{c(i,j)+V(j)\}\)(2)邊界條件：當?shù)竭_終點時，無需進一步移動，成本為0。設(shè)終點為站點\(n\)，則\(V(n)=0\)。(3)計算順序：從后向前計算。首先計算\(V(n)\)，然后計算\(V(n-1),V(n-2),\dots,V(1)\)。(4)最優(yōu)路徑回溯：在計算過程中，記錄每個\(V(i)\)是通過哪個\(j\)得到的，即記錄最優(yōu)決策\(j^*\)。最后從\(V(1)\)回溯，通過記錄的前驅(qū)節(jié)點，可以得到整個最優(yōu)路徑及其對應(yīng)的成本。9.解：均方誤差(MSE)和準確率(Accuracy)是兩種不同的評價模型性能的指標。(1)均方誤差(MSE)：*適用方面：主要適用于回歸問題，即預(yù)測目標是連續(xù)數(shù)值。MSE計算預(yù)測值與實際值之差的平方的平均值。\(MSE=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(y_i-\hat{y}_i)^2\)其中\(zhòng)(y_i\)是實際值，\(\hat{y}_i\)是預(yù)測值。*優(yōu)點：對大誤差的懲罰力度遠大于小誤差（因為平方），能顯著突出預(yù)測值與實際值差異較大的樣本點。計算簡單，理論基礎(chǔ)扎實。*缺點：對異常值（outliers）非常敏感，因為平方會放大異常值的影響。不適用于分類問題。其單位是誤差的平方，解釋性不如絕對誤差或均方根誤差。(2)準確率(Accuracy)：*適用方面：主要適用于分類問題，即預(yù)測目標是離散的類別標簽。準確率計算模型預(yù)測正確的樣本數(shù)占所有樣本數(shù)的比例。\(Accuracy=\frac{TP+TN}{N}\)其中TP是真正例，TN是真負例，N是總樣本數(shù)。*優(yōu)點：概念直觀易懂，表示模型整體預(yù)測正確的程度。在類別分布均衡時，是一個很好的綜合評價指標。*缺點：對類別不平衡的數(shù)據(jù)集（例如，某一類樣本遠多于另一類）可能產(chǎn)生誤導(dǎo)。不能反映模型在不同類別上的表現(xiàn)差異（例如，模型可能對多數(shù)類預(yù)測很好，但對少數(shù)類預(yù)測很差，準確率仍然很高）。無法區(qū)分錯誤預(yù)測的類型（如把A錯預(yù)測為B，還是錯預(yù)測為C）。10.解：設(shè)車輛傳感器測得障礙物在時刻\(t\)的距離為\(d(t)\)，相對速度為\(v_r(t)\)。車輛需要調(diào)整其狀態(tài)（如減速或調(diào)整速度\(v(t)\)或轉(zhuǎn)向角\(\theta(t)\)）以避免碰撞。構(gòu)建微分方程模型的思路如下：(1)狀態(tài)方程：描述車輛位置、速度等狀態(tài)隨時間的變化。例如，車輛在\(x\)-\(y\)平面上的位置\((x(t),y(t))\)，速度\(v(t)\)，速度方向角\(\theta(t)\)。\(\frac{dx}{dt}=v(t)\cos(\theta(t))\)\(\frac{dy}{dt}=v(t)\sin(\theta(t))\)\(\frac{dv}{dt}=a(t)\)（\(a(t)\)是加速度）\(\frac{d\theta}{dt}=\omega(t)\)（\(\omega(t)\)是角速度）(2)障礙物模型：障礙物位置\(O\)可以表示為\((x_O(t),y_O(t))\)。如果障礙物靜止，則\((x_O,y_O)\)為常數(shù)。如果障礙物移動，則其位置由其運動方程確定。