2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——高階微分方程及其應(yīng)用研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.寫(xiě)出四階線性微分方程$y^{(4)}-3y''+2y=\sinx$的特征方程，并求其對(duì)應(yīng)的齊次方程$y^{(4)}-3y''+2y=0$的通解形式。2.已知齊次線性微分方程$y''-2y'+y=0$的一個(gè)特解為$y_1=e^x$，試用常數(shù)變易法求該方程的通解。3.求微分方程$y''-y=x$的通解。二、1.求微分方程$y'''-y'=0$的通解。2.求微分方程$y''=xe^x$的通解。3.求微分方程$y''+y=\cosx$的通解。三、1.求解初值問(wèn)題：$y''+4y=0,\quady(0)=1,\quady'(0)=2$。2.求解微分方程組：$\frac{dx}{dt}=x+y,\quad\frac{dy}{dt}=-x+3y$。四、1.求微分方程$y''+y'-6y=0$的通解，并求其滿足初始條件$y(0)=0,y'(0)=3$的特解。2.求微分方程$y''-4y=x^2$的通解。五、1.一個(gè)質(zhì)量為$m$的物體掛在彈簧下，彈簧的彈性系數(shù)為$k$，假設(shè)物體受一個(gè)與速度成正比的阻力力$-bv$（$b$為阻力系數(shù)）的作用，試建立描述該物體運(yùn)動(dòng)（豎直方向位移）的微分方程，并說(shuō)明其是哪種類(lèi)型的高階微分方程。2.在上題建立的微分方程中，若$m=2$,$k=8$,$b=2$，且初始條件為$t=0$時(shí)，物體位于平衡位置上方$1$米處，且初速度為$0$，求該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。六、1.求微分方程$y''=\frac{1}{x}y'$的通解。2.求微分方程$y''=y'^2$滿足初始條件$y(0)=1,y'(0)=2$的特解。試卷答案一、1.特征方程為$r^4-3r^2+2=0$，即$(r^2-1)(r^2-2)=0$。通解形式為$y=C_1e^x+C_2e^{-x}+C_3\cos(\sqrt{2}x)+C_4\sin(\sqrt{2}x)$。2.對(duì)$y=u(x)e^x$求導(dǎo)，代入方程得$u''=0$。通解為$y=(C_1+C_2x)e^x$。3.對(duì)應(yīng)齊次方程通解為$y_h=C_1e^x+C_2e^{-x}$。設(shè)非齊次方程特解為$y_p=Ax+B$，代入方程得$-Ax+(2B-A)=x$。比較系數(shù)得$A=-1,B=-\frac{1}{2}$。特解為$y_p=-x-\frac{1}{2}$。通解為$y=C_1e^x+C_2e^{-x}-x-\frac{1}{2}$。二、1.令$u=y'$，則方程化為$u'-u=0$。通解為$u=C_1e^x$。代回得$y'=C_1e^x$，再積分得$y=C_1e^x+C_2$。2.令$u=y'$，則$y''=u'$。方程化為$u'=xe^x$。積分得$u=(x-1)e^x+C_1$。代回得$y'=(x-1)e^x+C_1$，再積分得$y=(x-2)e^x+C_1x+C_2$。3.對(duì)應(yīng)齊次方程通解為$y_h=C_1\cosx+C_2\sinx$。設(shè)非齊次方程特解為$y_p=Ax\cosx+Bx\sinx$。代入方程得$(2B-2A)\cosx+(2A-2B)\sinx=\cosx$。比較系數(shù)得$A=-\frac{1}{2},B=-\frac{1}{2}$。特解為$y_p=-\frac{1}{2}x\cosx-\frac{1}{2}x\sinx$。通解為$y=C_1\cosx+C_2\sinx-\frac{1}{2}x(\cosx+\sinx)$。三、1.特征方程為$r^2+4=0$，解為$r=\pm2i$。通解為$y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)$。2.寫(xiě)為$\frac{dx}{dt}-x=y,\quad\frac{dy}{dt}+x=3y$。對(duì)第一式求導(dǎo)得$\frac{d^2x}{dt^2}-x=\frac{dy}{dt}=3y-x$。即$\frac{d^2x}{dt^2}+2x=3y$。代入第二式得$\frac{d^2x}{dt^2}+2x=9x-3x$，即$\frac{d^2x}{dt^2}-7x=0$。解得$x=C_1e^{\sqrt{7}t}+C_2e^{-\sqrt{7}t}$。將$x$代入$\frac{dx}{dt}-x=y$得$y=\sqrt{7}(C_1e^{\sqrt{7}t}-C_2e^{-\sqrt{7}t})$。通解為$\{(C_1e^{\sqrt{7}t}+C_2e^{-\sqrt{7}t}),\sqrt{7}(C_1e^{\sqrt{7}t}-C_2e^{-\sqrt{7}t})\}$。四、1.特征方程為$r^2+r-6=0$，解為$r_1=2,r_2=-3$。通解為$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x}$。求導(dǎo)得$y'=2C_1e^{2x}-3C_2e^{-3x}$。代入初始條件$x=0$得$C_1+C_2=0$和$2C_1-3C_2=3$。解得$C_1=\frac{3}{5},C_2=-\frac{3}{5}$。特解為$y=\frac{3}{5}e^{2x}-\frac{3}{5}e^{-3x}$。2.對(duì)應(yīng)齊次方程通解為$y_h=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}$。設(shè)非齊次方程特解為$y_p=Ax^2+Bx+C$。代入方程得$2Ax+B=x^2$。比較系數(shù)得$A=\frac{1}{2},B=0,C=0$。特解為$y_p=\frac{1}{2}x^2$。通解為$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}+\frac{1}{2}x^2$。五、1.取平衡位置為原點(diǎn)，豎直向下為正方向。物體所受合力為$F=-kx-bv$。根據(jù)牛頓第二定律$F=ma$，其中$a=y''$，得$my''=-kx-by'$。整理得$my''+by'+ky=0$。此方程是常系數(shù)線性齊次二階微分方程。2.微分方程為$2y''+2y'+8y=0$，即$y''+y'+4y=0$。特征方程為$r^2+r+4=0$，解為$r=\frac{-1\pm\sqrt{1-16}}{2}=\frac{-1\pmi\sqrt{15}}{2}$。通解為$y=e^{-\frac{1}{2}x}(C_1\cos(\frac{\sqrt{15}}{2}x)+C_2\sin(\frac{\sqrt{15}}{2}x))$。由$y(0)=1$得$C_1=1$。由$y'(0)=0$得$y'(x)=-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}(C_1\cos(\frac{\sqrt{15}}{2}x)+C_2\sin(\frac{\sqrt{15}}{2}x))+e^{-\frac{1}{2}x}(-\frac{\sqrt{15}}{2}C_1\sin(\frac{\sqrt{15}}{2}x)+\frac{\sqrt{15}}{2}C_2\cos(\frac{\sqrt{15}}{2}x))$。代入$x=0$得$0=-\frac{1}{2}C_1+\frac{\sqrt{15}}{2}C_2$。解得$C_2=\frac{1}{\sqrt{15}}$。運(yùn)動(dòng)規(guī)律為$y=e^{-\frac{1}{2}x}(\cos(\frac{\sqrt{15}}{2}x)+\frac{1}{\sqrt{15}}\sin(\frac{\sqrt{15}}{2}x))$。六、1.令$y'=p$，則$y''=p\frac{dp}{dy}$。代入方程得$p\frac{dp}{dy}=\frac{1}{x}$。分離變量得$pdp=\frac{1}{x}dy$。積分得$\frac{p^2}{2}=\ln|x|+C_1$。即$p^2=2\ln|x|+2C_1$。代回$p=y'$得$(y')^2=2\ln|x|+2C_1$。通解為$(y')^2=2\ln|x|+C$，或$y'=\pm\sqrt{2\ln|x|+C}$。進(jìn)一步積分可得$y$的形式（隱式或涉及對(duì)數(shù)積分函數(shù)）。2.令$y'=p$，則方程化為$p\frac{dp}{dx}=p^2$。當(dāng)$p