第一章量子理論基礎(chǔ)1．設(shè)一電子為電勢差V所加速，最后打在靶上，若電子的動能轉(zhuǎn)化為一個光子，求當(dāng)這光子相應(yīng)的光波波長分別為5000（可見光），1（x射線）以及0.001（射線）時，加速電子所需的電勢差是多少？[解]電子在電勢差V加速下，得到的能量是這個能量全部轉(zhuǎn)化為一個光子的能量，即（伏）當(dāng)時，（伏）時（伏）時（伏）2．利用普朗克的能量分布函數(shù)證明輻射的總能量和絕對溫度的四次方成正比，并求比例系數(shù)。[解]普朗克公式為單位體積輻射的總能量為令，則（★）其中（★★）（★）式表明，輻射的總能量U和絕對溫度T的四次方成正比。這個公式就是斯忒蕃——玻耳茲曼公式。其中是比例常數(shù)，可求出如下：因為令，上式成為用分部積分法求后一積分，有又因無窮級數(shù)故因此，比例常數(shù)爾格/厘米3·度43．求與下列各粒子相關(guān)的德布羅意波長：（1）能量為100電子伏的自由電子；（2）能量為0.1電子伏的自由中子；（3）能量為0.1電子伏，質(zhì)量為1克的質(zhì)點；（4）溫度T=1k時，具有動能（k為玻耳茲曼常數(shù)）的氦原子。[解]德布羅意公式為因為上述粒子能量都很小，故可用非相對論公式代入德布羅意公式得（1）爾格，克厘米=1.23（2）爾格，克（3）爾格，克（4）爾格，克4．利用玻爾——索末菲的量子化條件求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。[解]（1）方法一：量子化條件，一維諧振子的能量為可化為上式表明，在相平面中，其軌跡為一橢圓。兩半軸分別為，這個橢圓的面積為故上式表明，一維諧振子的能量是量子化的。方法二：一維諧振子的方程為其解為而而（2）設(shè)磁場方向垂直于電子運動方向，電子受到的洛侖茲力作為它作圓周運動的向心力，于是有故這時因為沒有考慮量子化，因此R是連續(xù)的。應(yīng)用玻耳—索末菲量子化條件這時，我們把電子作圓周運動的半徑轉(zhuǎn)過的角度作為廣義坐標(biāo)，則對應(yīng)的廣義動量為角動量其中可見電子軌道的可能半徑是不連續(xù)的。討論：①由本題的結(jié)果看出，玻爾—索末菲軌道量子化條件和普朗克能量量子化的要求是一致的。②求解本題的（1）時，利用方法（一）在計算上比方法（二）簡單，但方法（一）只在比較簡單的情況，例如能直接看出相空間等能面的形狀時才能應(yīng)用。而方法（二）雖然比較麻煩，但更有一般性。③本題所得的諧振子能量，與由量子力學(xué)得出的能量相比較，我們發(fā)現(xiàn)由玻爾—索末菲量子化條件不能得出零點能。但能級間的間隔則完全相同。前一事實說明玻爾理論的不徹底性，它是經(jīng)典力學(xué)加上量