試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁吉林省長春市第八十七中學2025-2026學年九年級上學期數(shù)學開學考試試題（大班）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若分式的值為0，則x的值為（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，，AD＝4，BD＝2，AE＝3，則AC的長是（）A． B．6 C． D．3．關(guān)于拋物線，下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線開口向上 B．當時，隨的增大而減小C．拋物線的對稱軸是直線 D．函數(shù)的最大值為24．如圖，已知兩點A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，則點C的坐標為（

）A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3）5．在中，，已知，，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．86．如圖，的邊與相交于C，D兩點，且經(jīng)過圓心O，邊與相切，切點為B．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．如圖，四邊形的頂點，，都在上，，，，則的弧長為（

）A． B． C． D．8．如圖，在4×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，則tan∠ACB的值為（

）A． B． C．2 D．3二、填空題9．若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則k的值為．10．已知點在一次函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值等于．11．已知點都在一次函數(shù)的圖像上，那么m與n的大小關(guān)系是．12．甲、乙兩人進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)均是8.5環(huán)，方差分別是：，，則射擊成績較穩(wěn)定的是（填“甲”或“乙”）.13．如圖，在中，是的平分線，，，則．14．如圖，在正方形外取一點E，連接．過點A作的垂線交于點P．若，．下列結(jié)論：①；②；③點B到直線的距離為；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號是．三、解答題15．用適當?shù)姆椒ń夥匠?1)；(2)；(3)；(4)．16．先化簡：，再從1，2，3中選擇一個合適的數(shù)作為的值代入求值．17．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點．僅用無刻度直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．(1)在圖①、圖②中，以線段為對角線，分別畫一個平行四邊形和矩形．（要求兩個四邊形不全等）(2)在圖③中，以點為頂點，另外三個頂點也在格點上，畫一個面積最大的正方形．18．如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)圖象的兩個交點．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)直接寫出不等式的解集為______．(3)直接寫出的面積為______．19．如圖，在矩形中，延長到D，使，延長到E，使，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，求的長．20．2024年4月25日，神舟十八號載人飛船計劃成功發(fā)射，激發(fā)了同學們的愛國熱情．某校為了解七、八年級學生對“航空航天”知識的掌握情況，對七、八年級學生進行了測試．現(xiàn)從七、八年級各隨機抽取了15名學生的測試成績進行了以下數(shù)據(jù)的整理與分析：【數(shù)據(jù)收集】七年級：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98；八年級：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94；【數(shù)據(jù)分析】年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級83a85八年級8388b根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)______，______；(2)請推斷哪個年級的測試成績較好，并說明理由（寫出一條理由即可）；(3)測試成績在分的學生可以獲得獎勵，若該校七年級有600名學生，八年級有660名學生，估計七、八年級可以獲得獎勵的學生總?cè)藬?shù)為多少？21．，兩地相距，甲、乙兩車分別從地和地同時出發(fā)相向而行．他們距地的路程和出發(fā)后的時間（）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．(1)分別求出甲、乙兩車距地的路程與時間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求甲乙兩車相遇的時間；(3)直接寫出兩車相距千米時的值；22．綜合探究綜合與實踐課上，智慧星小組三位同學對含角的菱形進行了探究．【背景】在菱形中，，作，，分別交邊，于點P，Q．(1)【感知】如圖1，若點P是邊的中點，小智經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)了線段與之間的數(shù)量關(guān)系，請你直接寫出這個關(guān)系為________．(2)【探究】如圖2，當點P為上任意一點時，請說明（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并寫出理由．(3)【應(yīng)用】若菱形紙片中，，，在邊上取一點P，連接，在菱形內(nèi)部作，交于點Q，當時，請直接寫出線段的長．23．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB的角平分線交邊CD于點E．點P在射線AE上以每秒個單位長度的速度沿射線AE方向從點A開始運動；過點P作PQ⊥AB于點Q，以PQ為邊向右作平行四邊形，點N在射線AE上，且AP=PN．設(shè)P點運動時間為t秒．（1）PQ=（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當點M落在BC邊上時，求t的值．（3）設(shè)平行四邊形PQMN與矩形ABCD重合部分面積為S，當點P在線段AE上運動時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．（4）直接寫出在點P、Q運動的過程中，整個圖形中形成的三角形存在全等三角形時t的值（不添加任何輔助線）．24．在平面直角坐標系中，函數(shù)，其中為常數(shù)，該函數(shù)的圖象記為．(1)當時，①若點在圖象上，則的值為；②若點在圖象上，則的值為；③當時，求該函數(shù)的最小值；(2)圖象過點時，求圖象與軸交點的坐標；(3)已知點，點，當圖象與線段只有一個交點時，求的取值范圍；(4)當時，函數(shù)的最大值記為，最小值記為，當時，求的取值范圍；(5)當時，函數(shù)圖象與直線和分別交于兩點，當為等腰三角形時，求的值答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《吉林省長春市第八十七中學2025-2026學年九年級上學期數(shù)學開學考試試題（大班）》參考答案題號12345678答案ADCADCAC1．A【分析】本題考查了分式值為的條件，根據(jù)分式的值為0的條件是分子為0且分母不為0，即可求解．【詳解】解：依題意，解得；故選：A．2．D【分析】先證明再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程即可.【詳解】解：，AD＝4，BD＝2，AE＝3，經(jīng)檢驗符合題意；故選D【點睛】本題考查的相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”是解本題的關(guān)鍵.3．C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其開口方向、對稱軸、最值后即可確定正確的選項，能夠確定二次函數(shù)的開口方向、頂點坐標、對稱軸是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：中，，開口向下，故選項A錯誤，不符合題意；，對稱軸為直線，故C正確，符合題意；函數(shù)有最大值，故D錯誤，不符合題意，當時，隨的增大而增大，選項B錯誤，不符合題意；故選：C．4．A【分析】根據(jù)已知條件，易證△AOC∽△BOA．運用相似三角形的性質(zhì)求OC即得解【詳解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC∴△AOC∽△BOA即∴OC=1∴點C的坐標是（0，1）．故選A【點睛】求點的坐標的問題可以轉(zhuǎn)化為求線段的長度的問題，本題利用了三角形的相似的性質(zhì)．5．D【分析】本題考查了余弦的定義，畫出圖形，根據(jù)余弦的定義計算即可得解，熟練掌握余弦的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：，∵在中，，，，∴，∴，故選：D．6．C【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角等，掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由等腰三角形的判定及性質(zhì)得，由直角所對的圓周角為直角得，由切線的性質(zhì)得，即可求解．【詳解】解：連接，，，是的直徑，，，邊與相切，，，；故選：C．7．A【分析】求出∠BAC，利用弧長公式計算即可．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠BAD=140°，∴∠ABC=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠BAC=180°-80°=100°，∴的長=，故選：A．【點睛】本題考查弧長公式，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．8．C【分析】根據(jù)勾股定理求出△ABC的各邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義計算即可．【詳解】解：∵每格小正方形的邊長都是1，∴AB＝2，AC＝，BC＝，則AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ACB＝＝2，故選：C．【點睛】本題考查了求三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是確定△ABC是直角三角形，利用勾股定理和三角函數(shù)的定義求解．9．【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，把點的坐標代入已知函數(shù)解析式，計算即可得出答案．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴，故答案為：．10．2【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，把點P的坐標代入一次函數(shù)解析式，得出，代入即可．【詳解】解：∵點在一次函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴故答案為：2．11．/【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，通過題中，可判斷隨著x的增大而增大，即可得答案．【詳解】解：，，隨著x的增大而增大，點在一次函數(shù)的圖像上，，，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握，隨著x的增大而增大．12．甲【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵＜，∴成績較穩(wěn)定的是甲【點睛】此題主要考查利用方差判斷穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是熟知方差的性質(zhì).13．【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)四邊形是平行四邊形得到，，得到，根據(jù)角平分線得到，即可得到，得到，即可得到答案【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵，，∴，故答案為：．14．①②⑤【分析】證明，利用“”即可證明，即可判斷結(jié)論①；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明，易得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明，進而確定，即，即可判斷結(jié)論②；首先利用勾股定理解得，的值，過點作，交延長線于點，證明為等腰三角形，進一步由勾股定理解得的值，即可判斷結(jié)論③；連接，利用勾股定理解得，易得，即可判斷結(jié)論⑤；由全等三角形的性質(zhì)可知，然后由進行計算，即可判斷結(jié)論④．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，∵過點A作的垂線交于點P，即，∴，即，∴，在和中，，∴，故結(jié)論①正確；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，故結(jié)論②正確；∵，，∴，∵，，∴，過點作，交延長線于點，如下圖，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，即點B到直線的距離為，故結(jié)論③不正確；連接，如下圖，∵，，∴，∴，即，故結(jié)論⑤正確；∵，，，∴，∴，故結(jié)論④不正確．綜上所述，結(jié)論正確的有①②⑤．故答案為：①②⑤．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正方形和三角形的面積公式、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【分析】（1）利用平方根的定義，將方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．（2）方程，通過移項，然后提取公因式，將方程轉(zhuǎn)化為兩個因式相乘等于的形式，再根據(jù)“若兩個數(shù)的乘積為，則至少其中一個數(shù)為”來求解．（3）利用公式法求解即可．（4）利用公式法求解即可．本題主要考查了一元二次方程的解法，包括直接開平方法、因式分解法、公式法．熟練掌握一元二次方程的不同解法及其適用條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∴或，∴，；（2）解：，，，∴或∴，；（3）解：，，；（4）解：，，，．16．；【分析】本題考查了分式化簡求值；先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后根據(jù)分式有意義的條件，將字母的值代入求解．【詳解】解：∵∴當時，原式17．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．（1）根據(jù)平行四邊形，矩形的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)正方形的定義以及題目要求作出圖形．【詳解】（1）如圖①中，平行四邊形即為所求（答案不唯一）．如圖②中，矩形即為所求；（2）如圖③，正方形即為所求．18．(1)(2)(3)【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．解決問題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．（1）先把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式，即可得到m的值，再把點B的坐標代入反比例函數(shù)解析式，即可求出n的值，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；（2）觀察函數(shù)圖象得到當或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，據(jù)此可得不等式的解集；（3）先求出直線與y軸交點C的坐標，然后利用進行計算．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，∴反比例函數(shù)解析式為，點B的坐標為，把，代入得：，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）借助圖象可得，不等式的解集為；（3）設(shè)直線與y軸交于點C，當時，，∴點C的坐標為，∴．19．(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再根據(jù)，，即可求證；（2）先通過菱形的性質(zhì)及勾股定理求解到的長，再通過勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，即，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是菱形．（2）解：連接，如圖：∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴．20．(1)(2)八年級的成績較好，理由見解析(3)估計七、八年級可以獲得獎勵的學生總?cè)藬?shù)為380人【分析】本題考查求中位數(shù)和眾數(shù)，利用樣本估計總體：（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的確定方法，求出的值即可；（2）利用中位數(shù)和眾數(shù)進行分析即可；（3）利用樣本估計總體的思想進行求解即可．【詳解】（1）解：七年級位于中間位置的數(shù)據(jù)為：，∴，八年級出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)為：，∴；故答案為：；（2）解：八年級的成績較好，理由如下：兩個年級的平均數(shù)相同，八年級的中位數(shù)和眾數(shù)均比七年級高，所以八年級的成績較好．（3）解：（人）；答：估計七、八年級可以獲得獎勵的學生總?cè)藬?shù)為380人．21．(1)；(2)；(3)或．【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用；（1）：依題意，設(shè)甲車離開地的距離與的關(guān)系式為：，設(shè)乙車離開地的距離與的關(guān)系式為：，待定系數(shù)法求解析式，即可求解．（2）根據(jù)題意，由（1）中的關(guān)系式，令兩車的路程相等，解方程，即可求解；（3）根據(jù)兩車相距千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，設(shè)甲車離開地的距離與的關(guān)系式為：當時，即：，，設(shè)乙車離開地的距離與的關(guān)系式為：觀察圖象可知：時，；時，解得：，乙車離開地的距離與的關(guān)系式為：（2）依題意可得：解得（3）解：依題意，或解得：或22．(1)(2)成立；理由見解析(3)線段的長為或【分析】（1）數(shù)量關(guān)系：．連接，利用菱形的性質(zhì)和等邊三角形的三線合一性質(zhì)證明即可；（2）利用菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明即可；（3）利用菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理求出，，分當點在點的左側(cè)和點在點的右側(cè)兩種情況，可得或3，再利用（2）中的結(jié)論即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：線段與之間的數(shù)量關(guān)系：．理由：如圖，連接，四邊形是菱形，且，，，和都是等邊三角形，，，點是邊的中點，，，，，，，，，在和中，，，故答案為：．（2）證明：成立．理由：如圖，連接，四邊形是菱形，且，，，和都是等邊三角形，，，，，，，，在和中，，，．（3）解：如圖，過點作于，連接，四邊形是菱形，且，，，是等邊三角形，，，，，當點在點的左側(cè)時，，當點在點的右側(cè)（圖中處）時，，或，由（2）知：，，或．線段的長為或．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，運用了分類討論的思想．解題的關(guān)鍵是添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形．23．（1）t；（2）2；（3）當0≤t≤時，；當≤2時，；當≤3時，；（4）2或3或【分析】（1）判斷出ΔAPQ是等腰三角形即可得出結(jié)結(jié)論；（2）由AP=PN判斷出Q為AB的中點，進而求得AQ=2，即可得出結(jié)論；（3）分三種情況討論：①當0﹤t≤時，重合部分是平行四邊形PQMN；②當≤2時，重合部分是五邊形PQMGE，③當≤3時，重合部分是五邊形PQGCE，分別求解即可；（4）也是分三種情況討論：①當點Q是AB的中點時，ΔAPQ≌ΔQMB；②當點P與點E重合時，ΔAPQ≌ΔEAD；③當ΔPEK≌ΔQGB時，分別求解即可.【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90o，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45o，∵PQ⊥AB，∴ΔAPQ是等腰直角三角形，由運動知，AP=t，∴PQ=t；（2）如圖2，當點M落在BC上時，

∵四邊形PQMN是平行四邊形，∴PQ∥MN，即PQ∥BN,∵AP=PN，∴AQ=QB=2．∵∠NAB=45°，∴PQ=AQ=2．∴t=2（3）①當0≤t≤時，如圖4，重合部分是平行四邊形PQMN，；②當≤2時，如圖5，重合部分是五邊形PQMGE，；③當≤3時，如圖6，重合部分是五邊形PQGCE，=，綜上，當0≤t≤時，；當≤2時，；當≤3時，；．（4）①如圖7，當點Q是AB的中點時，ΔAPQ≌ΔQMB，此時；②如圖8，當點P與點E重合時，ΔAPQ≌ΔEAD，，③如圖9，當ΔPEK≌ΔQGB時，由EK=BQ得：t-3=4-t，解得．綜上，t的值為2或3或．【點睛】此題考查的是四邊形的綜合，是綜合性很強的一道題，熟練掌握與四邊形有關(guān)的幾何論證是基礎(chǔ)，分情況討論并畫出相應(yīng)的圖是解答的關(guān)鍵．24．(1)①；②或；③2；(2)圖象G與x軸交點的坐標為或；(3)或；(4)；(5)或或．【分析】（1）當時，函數(shù)，①將代入函數(shù)解析式即可求出a的值；②將代入函數(shù)解析式可得，解方程即可；③根據(jù)函數(shù)的增減性即可取得最小值；（2）當時，根據(jù)題意，得，求出m的值，再令即可求出與x軸的交