試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北京市延慶區(qū)第五中學2025-2026學年高三上學期三模數(shù)學練習學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知，，則的元素個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．已知復數(shù)，則在復平面上對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知直線與圓相交于兩點，且為等腰直角三角形，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．雙曲線的一個焦點為，則（

）A． B． C．3 D．5．若的展開式中，二項式系數(shù)和為64，則展開式的常數(shù)項為（

）A．-240 B．240 C．15 D．-156．已知，那么在下列不等式中，不成立的是A． B． C． D．7．今年高三的“節(jié)”活動引用了漫畫《龍珠》.在原著中卡林塔上的貓仙人種植了一種仙豆，可以幫助主角療傷和增長戰(zhàn)斗力.仙豆共有7顆，從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構成一個遞增的等差數(shù)列.在下一場挑戰(zhàn)前，主角將7顆仙豆全部吃掉，增加21000的戰(zhàn)斗力，擊敗了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的戰(zhàn)斗力，那么最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為（

）A．1800 B．2100 C．3600 D．39008．某同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為2的正方形，，，，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直，則該包裝盒的容積為（

）A． B． C． D．209．已知等比數(shù)列單調遞減，各項均為正數(shù)，前項的乘積記為.則“”是“有唯一的最大值”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件10．在平面直角坐標系中，，是直線上的兩點，且．若對于任意點，存在，使成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知，則的導函數(shù)為.12．在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前4項的和為.13．在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于直線對稱.若，則的最小值為.14．剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術，是中國古老的民間藝術之一．已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為1的圓形紙片，記為，在內作內接正方形，接著在該正方形內作內切圓，記為，并裁剪去該正方形內多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復上述裁剪操作n次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結束后所得的面積為；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為．

15．不相同的數(shù)列與，且都不為常數(shù)數(shù)列，，給出下列個結論：①若數(shù)列均為無窮等差數(shù)列且公差相等，則中可能恰有一個元素；②若數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列為遞減數(shù)列，則中恰有一個元素；③若數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則中至多有三個元素；④若數(shù)列為公比不相等的等比數(shù)列，則中至多有兩個元素.其中所有錯誤結論的序號是.三、解答題16．設函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．17．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，平面平面，點為線段的中點，，直線與平面所成的角為.

(1)若點為線段的中點，求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求點到平面的距離．18．年國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童降世》自上映以來斬獲億票房，六年后，《哪吒之魔童鬧?！氛鸷成嫌?，再次掀起觀影熱潮，票房最終或達億，刷新多項紀錄，成為中國電影的驕傲.下圖是兩部電影第一天至第十三天上映期間的綜合票房（億元）及綜合票房占比.其中條形圖表示綜合票房占比，折線圖為綜合票房（億元）.《哪吒之魔童降世》綜合票房及占比

《哪吒之魔童鬧海》綜合票房及占比(1)從電影《哪吒之魔童鬧?！飞嫌澈蟮氖熘须S機選取一天，求該天電影綜合票房比前一天增多的概率；(2)從上映后的十三天中隨機選取天，設為兩部電影綜合票房占比均超過％的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；(3)設《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童鬧海》兩部電影第一天至第十三天上映期間綜合票房的平均數(shù)分別為和，方差分別為和，試比較和，和的大小（只需寫出結論）.19．已知橢圓的短軸長為2，左右焦點分別為，，M為橢圓C上一點，且軸，(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線且與橢圓C交于A，B兩點，點A關于原點的對稱點為、關于x軸的對稱點為，直線與x軸交于點D，若與的面積相等，求m的值.20．已知函數(shù)，(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(3)若在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.21．已知數(shù)集具有性質:對任意的，，使得成立.(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質，并說明理由;(2)求證;(3)若，求數(shù)集中所有元素的和的最小值.(4)請寫出解三角形、三角函數(shù)、立體幾何和概率統(tǒng)計模塊中任意2個公式.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《北京市延慶區(qū)第五中學2025-2026學年高三上學期三模數(shù)學練習》參考答案題號12345678910答案DDCABDBCBC1．D【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的性質確定集合，再根據(jù)集合的運算確定即可.【詳解】因為，即，解得，所以，又因為，所以，所以的元素個數(shù)為.故選：D2．D【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義求出復數(shù)對應的點即可求解.【詳解】對應的點為，在復平面上對應的點在第四象限.故選：D3．C【分析】由題意得，從而得圓心O到直線的距離，再結合點到直線距離公式即可求解.【詳解】由題意，所以圓心O到直線的距離為，故選：C4．A【分析】由雙曲線中的平方關系即可得出答案.【詳解】由題意得，所以．故選：A.5．B【分析】根據(jù)已知條件確定值，再根據(jù)二項式展開式的通項確定常數(shù)項為第幾項，即可求解.【詳解】根據(jù)題意有，解得，故二項式展開式的通項公式為：，令，求得，則展開式的常數(shù)項為：.故選：B6．D【分析】利用作差法可判斷A、B選項的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】，則，，又、，，.可得：ABC成立，D不成立.故選：D.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用作差法來進行判斷，同時也要注意正弦、余弦有界性的應用，考查推理能力，屬于中等題.7．B【分析】將顆仙豆從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力看成一個遞增的等差數(shù)列，結合題意可知，，由此可以解出即為答案.【詳解】由題干可知顆仙豆從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構成一個遞增的等差數(shù)列，不妨設為，則，顆仙豆可增加的戰(zhàn)斗力之和記為，由等差數(shù)列的前項和公式可知，所以數(shù)列的公差，故，即最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為.故選：B.8．C【分析】將幾何體補全為長方體，包裝盒的容積為，進而可得.【詳解】如圖，把幾何體補全為長方體，則，，所以該包裝盒的容積為，故選：C9．B【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的性質，結合充分條件，必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列單調遞減，各項均為正數(shù)，設等比數(shù)列的公比為，則，若，根據(jù)等比數(shù)列的性質，可得，解得，又由且，因為且，所以，此時與無法比較，所以不能推出有唯一的最大值，所以充分性不成立；反之：若有唯一的最大值，可得，因為，所以，根據(jù)等比數(shù)列的性質，知，所以成立，即必要性成立，綜上可得，是有唯一的最大值的必要不充分條件.故選：B.10．C【解析】可得P是圓上任意一點，且需存在，，使點P又在以為直徑的圓上，故只需滿足圓上點到直線的最遠距離小于等于5即可求出.【詳解】設，則，滿足，則點P在圓上，又存在，使成立，則點P又在以為直徑的圓上，P是圓上任意一點，，是直線上的兩點，則應滿足圓上點到直線的最遠距離小于等于5，原點到直線的距離為，則只需滿足，解得.故選：C.【點睛】本題考查只需與圓的位置關系，解題的關鍵是得出圓上點到直線的最遠距離小于等于5.11．【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式及運算法則求解即可.【詳解】由，則.故答案為：.12．【解析】利用等差數(shù)列基本量關系求通項.利用等差數(shù)列前項和公式求出.【詳解】設等差數(shù)列的公差為.，，，，，（2）.故答案為：【點睛】本題考查解決等差數(shù)列通項公式及前項和.（1）等差數(shù)列基本量計算問題的思路：與等差數(shù)列有關的基本運算問題，主要圍繞著通項公式和前項和公式，在兩個公式中共涉及五個量：，已知其中三個量，選用恰當?shù)墓?，利用方?組)可求出剩余的兩個量．13．【分析】作出符合題意得圖形，從而得到的取值范圍，再由三角函數(shù)的性質得到最小值.【詳解】由題意，畫出圖形，得，

函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，∴當且僅當時等號成立，即的最小值為.故答案為：.14．/【分析】設的半徑為，分析正方形邊長與半徑的關系可得，進而可得的面積為，從而得到的面積；再分析第次裁剪操作的正方形邊長與在該正方形的圓半徑，進而可得每次操作減去的面積，再求和即可.【詳解】設的半徑為，則，則第次裁剪操作得到的正方形邊長為，的半徑為，即，故，的面積為，故的面積為.又第次裁剪操作的正方形邊長為，在該正方形的圓半徑為，故第次裁剪操作裁剪掉的面積為，所以第次裁剪操作裁剪掉的面積之和為.故答案為：；15．①②④【分析】①由等差數(shù)列的函數(shù)觀點來分析；②舉出反例即可；③由數(shù)列的函數(shù)觀點，分析曲線的交點個數(shù)即可，④舉出反例即可；【詳解】①函數(shù)觀點看數(shù)列，公差相等，則代表等差數(shù)列的兩直線平行，所以無公共項，錯誤；②舉反例：，則中沒有元素，錯誤；③函數(shù)觀點看數(shù)列，當且時，代表數(shù)列的兩曲線至多有三個交點，如圖：所以中至多有三個元素；④舉反例：看數(shù)列取值規(guī)律，當兩等比數(shù)列首項相等，公比相反時，有無數(shù)公共項，比如數(shù)列和，故④錯誤，故答案為：①②④16．(1).(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡，根據(jù)在上的單調性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．【詳解】（1）因為所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以的最大值為，最小值為.若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因為在上單調遞增，且，所以,所以,,所以，又因為，所以，所以，所以，因為，所以.所以，；若選條件③：因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取的中點，根據(jù)題意作出圖形，由中位線和平行四邊形的性質證明四邊形為平行四邊形，從而得到線線平行，然后證明線面平行；（2）由線面角的定義，及已知線段長求得長.由線面垂直的性質得到，，由面面垂直的性質得到，然后建立空間直角坐標系，結合線段長得到點的坐標，從而得到平面內向量的坐標，由空間向量的數(shù)量積求得面的法向量，再由空間向量的夾角求得二面角的余弦值.（3）由空間向量的投影即可得點到面的距離.【詳解】（1）取的中點，連接，；因為分別為的中點，所以，．因為四邊形是平行四邊形，G為線段的中點，所以，，所以，．所以四邊形為平行四邊形，所以．因為所以平面．

（2）因為平面，所以即為直線與平面所成的角，由題意可知：，又，所以，因為平面，所以，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，所以且，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸如圖建立空間直角坐標系，則，，，，則，，，

設平面的法向量為，平面的法向量為，則有，也即，令，則；則有，也即，令，則，則，由圖可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.（3）因為所以點到平面的距離.18．(1)(2)，，，(3)<，【分析】（1）由圖得出電影《哪吒之魔童鬧?！飞嫌澈箅娪熬C合票房比前一天增多的天數(shù)結合古典概型即可求解；（2）先由圖得出兩部電影綜合票房占比均超過％的天數(shù)，接著得隨機變量的取值，再由古典概型即可計算各個取值的概率，結合數(shù)學期望公式計算期望即可得解；（3）由圖中數(shù)據(jù)大小分布情況即可得解.【詳解】（1）由圖電影《哪吒之魔童鬧?！飞嫌澈箅娪熬C合票房比前一天增多的天數(shù)有7天，所以從電影《哪吒之魔童鬧?！飞嫌澈蟮氖熘须S機選取一天，該天電影綜合票房比前一天增多的概率為；（2）由圖可知兩部電影綜合票房占比均超過的天數(shù)共有4天，所以的取值有，所以的分布列為，所以的分布列數(shù)學期望；（3）因為，，又由圖可知《哪吒之魔童降世》除個別數(shù)據(jù)外綜合票房數(shù)據(jù)大小比較變化幅度較小，所以，所以，.19．(1)(2)【分析】（1）短軸長為2得，由橢圓定義可得，，由即可求得，進而寫出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程利用韋達定理得到，，從而得到，，求出的中點坐標代入直線方程可得答案.【詳解】（1）因為短軸長為2，所以，因為，所以，，又因為軸，所以，則，且，解得，則橢圓的標準方程為.（2）設，則，，聯(lián)立，整理得，則，，則，直線：，令，得，故，，，則的中點坐標為，由于與的面積相等，故到直線的距離相等，因此的中點在上，可得，，則，解得，又，所以.20．(1)(2)單調遞減區(qū)間為單調遞增區(qū)間為(3)【分析】（1）代入得到函數(shù)解析式，求出切點坐標.求函數(shù)的導數(shù)得到切線斜率，然后寫出切線方程；（2）代入得到函數(shù)解析式，求函數(shù)的導數(shù)，令，再求的導數(shù)，從而知道的單調性，由此得到對應區(qū)間內，從而得到函數(shù)的單調區(qū)間.（3）由解析式分析得到函數(shù)在上存在零點，則.求函數(shù)導數(shù)，由（2）可知且.然后分類討論：①，證明當，，且，得到結論；②時，使得，得到，通過換元后求導，證明，由零點存在性可知存在零點，故得到結果.【詳解】（1）當時，，，切點為，，∴，∴切線方程為：（2）當時，，令，，令，得到，∴時，，∴在單調遞增，即在單調遞增；∴時，，∴在單調遞減，即在單調遞減；∵，且時，恒成立，∴變化時，的變化情況如下表：0極小值∴的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間為，（3），∵時，，，∴，若，則恒成立，∵在上存在零點，∴；，由（2）可知在單調遞增，在單調遞減.∴，∵，∴，①若，即，時，，，，，∴，，∴在單調遞增，∴，∴無零點.②若，即，時，∵，使得，當時，，∴變化時，的變化情況