答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)湖北省鄂州市2026屆高三第三屆普通高中教師專業(yè)能力測(cè)試（解題大賽）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，且，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．4．在中，已知，則（

）A． B． C． D．5．節(jié)氣是指二十四個(gè)時(shí)節(jié)和氣候，是中國(guó)古代訂立的一種用來(lái)指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)積累的成果和智慧的結(jié)晶．若從立春、雨水、驚蟄、春分、清明這五個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選擇兩個(gè)節(jié)氣，則其中一個(gè)節(jié)氣是立春的概率為（

）A． B． C． D．6．帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小和方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風(fēng)為（

）等級(jí)風(fēng)速大小m/s名稱21.1~3.3輕風(fēng)33.4~5.4微風(fēng)45.5~7.9和風(fēng)58.0~10.1勁風(fēng)A．輕風(fēng) B．微風(fēng) C．和風(fēng) D．勁風(fēng)7．若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)在上最少有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題9．在正三棱柱中，D為中點(diǎn)，則（

）A． B．平面C． D．平面10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的一條直線交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作直線的垂線，垂足為D，過(guò)F且與直線垂直的直線交于點(diǎn)E，則（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)是的一個(gè)零點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．的最大值為2C．若，則的最小值為D．若，則的最大值為三、填空題12．若直線是曲線的一條切線，則.13．若一個(gè)等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為4，前8項(xiàng)和為68，則該等比數(shù)列的公比為.14．在平面直角坐標(biāo)系中，斜率為2的直線與圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角分別為，則.四、解答題15．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為.(1)求C的方程；(2)若直線與C交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，求t的值.17．如圖,在四棱錐中，底面，．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，且點(diǎn)，，，均在球的球面上．（i）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（ⅱ）求直線與所成角的余弦值．18．已知函數(shù).(1)求的極值.(2)已知函數(shù).①若沒(méi)有零點(diǎn)，求的取值范圍；②若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.19．一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)分別為的4個(gè)小球，每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球并記錄編號(hào)后放回袋中，當(dāng)連續(xù)兩次摸出的小球編號(hào)相同時(shí)，停止摸球，設(shè)停止摸球時(shí)已摸球的次數(shù)為.記第次摸到的小球編號(hào)為.(1)求與；(2)設(shè)，求與；(3)當(dāng)時(shí)，為隨機(jī)變量，若是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則，求.《湖北省鄂州市2026屆高三第三屆普通高中教師專業(yè)能力測(cè)試（解題大賽）數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BDDDBABBBDACD題號(hào)11答案ACD1．B【分析】根據(jù)交集結(jié)果得到，得到，利用并集概念求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，令，則，不滿足互異性，舍去，令，則或，顯然不合要求，當(dāng)時(shí)，，滿足要求，又，則故選：B2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故選：D3．D【分析】由題可知雙曲線中的關(guān)系，結(jié)合和離心率公式求解【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，焦距分別為，由題知，，于是，則，即.故選：D4．D【分析】利用正弦定理，角化邊，再利用余弦定理可求角A.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得：，由余弦定理，，又為三角形?nèi)角，所以.故選：D5．B【分析】若從立春、雨水、驚蟄、春分、清明這五個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選擇兩個(gè)節(jié)氣，共種情況，其中一個(gè)節(jié)氣是立春，有種情況，用古典概型概率計(jì)算公式即可.【詳解】記立春、雨水、驚蟄、春分、清明這五個(gè)節(jié)氣分別為、、、、，則樣本空間，記事件表示“其中一個(gè)節(jié)氣是立春”，則，由古典概型可知．故選：B6．A【分析】結(jié)合題目條件和圖寫(xiě)出視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，得出真風(fēng)風(fēng)速的大小，即可由圖得出結(jié)論.【詳解】由題意及圖得，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為：，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為，船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為，∴，船行風(fēng)速：，∴，，∴由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，故選：A．7．B【分析】設(shè)的最小正周期為，可得，結(jié)合最小正周期可求得的最小值.【詳解】設(shè)的最小正周期為，則.因?yàn)?，所以，解得，所以的最小值?故選：B.8．B【分析】首先解關(guān)于的等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?。若，則，即，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，即，因?yàn)?，，，所以由零點(diǎn)存在定理可得，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以有2個(gè)解，即有2個(gè)解，顯然其中1個(gè)解為，若，則，即，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程只有一個(gè)解，即只有一個(gè)解，易得，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.9．BD【分析】法一：對(duì)于A，利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可判斷；對(duì)于B，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷；對(duì)于C，利用反證法即可判斷；對(duì)于D，利用線面平行的判定定理即可判斷；法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】法一：對(duì)于A，在正三棱柱中，平面，

又平面，則，則，因?yàn)槭钦切危瑸橹悬c(diǎn)，則，則又，所以，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵谡庵?，平面，又平面，則，又，平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)樵谡庵?，，假設(shè)，則，這與矛盾，所以不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)樵谡庵?，，又平面平面，所以平面，故D正確.法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正三棱柱的底邊為，高為，

則，對(duì)于A，，則，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、D，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，則平面，平面，故B、D正確；對(duì)于C，，則，顯然不成立，故C錯(cuò)誤.故選：BD.10．ACD【分析】對(duì)于A，先判斷得直線為拋物線的準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義即可判斷；對(duì)于B，利用三角形相似證得，進(jìn)而得以判斷；對(duì)于C，利用直線的反設(shè)法（法一）與正設(shè)法（法二），聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與焦點(diǎn)弦公式可判斷C；利用利用三角形相似證得，，結(jié)合焦半徑公式可判斷D.【詳解】法一：對(duì)于A，對(duì)于拋物線，則，其準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，則為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，交于點(diǎn)，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，易知，則，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，在與中，，所以，則，即，同理，又，，所以，則，故D正確.故選：ACD.法二：對(duì)于A，對(duì)于拋物線，則，其準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，則為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，交于點(diǎn)，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去，得，易知，則，所以，綜上，，故C正確；對(duì)于D，在與中，，所以，則，即，同理，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，；所以，即；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，，所以，則；綜上，，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】利用奇函數(shù)的定義可判斷A，利用正弦函數(shù)的最值情況看判斷B，求出零點(diǎn)，比較零點(diǎn)的大小可判斷C,D.【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，且時(shí)，，，所以，B不正確；對(duì)于C，由題意，所以或，；當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?，故方程有兩個(gè)正根，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?，故，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，C正確；對(duì)于D，由題設(shè)只需討論時(shí)的最大值即可；當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?，所以且，?dāng)正整數(shù)增大時(shí)，減小，故，所以此時(shí)的最大值為，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?，所以，，?dāng)增大時(shí)，增大，故，此時(shí)此時(shí)的最大值為，綜上可知D正確.故選：ACD12．【分析】法一：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求得切點(diǎn)，進(jìn)而代入曲線方程即可得解；法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算得到關(guān)于切點(diǎn)與的方程組，解之即可得解.【詳解】法一：對(duì)于，其導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)橹本€是曲線的切線，直線的斜率為2，令，即，解得，將代入切線方程，可得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以，即，解得.故答案為：.法二：對(duì)于，其導(dǎo)數(shù)為，假設(shè)與的切點(diǎn)為，則，解得.故答案為：.13．【分析】討論公比是時(shí)，代入題干不成立；公比不是時(shí)，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式列等式組即可得解.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項(xiàng)和，則，設(shè)的公比為，當(dāng)時(shí)，，即，則，顯然不成立，舍去；當(dāng)時(shí)，則，兩式相除得，即，則，解得，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.14．/【分析】利用三角代換結(jié)合兩角和差的正弦、余弦公式可得，故可求的值.【詳解】由題可設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為2，所以.因，可得，，則，解得，故.故答案為：15．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求基本量，進(jìn)而寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用分組求和及等差等比的前n項(xiàng)和公式求和.【詳解】（1）由，得，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)的公比為，所以，得，則，則；（2）記的前項(xiàng)和為，則.16．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，進(jìn)而解出即可求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式表示出的面積，建立方程即可求解.【詳解】（1）由題意，得，解得，則橢圓C的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，得，則，解得，且，所以，點(diǎn)到直線的距離為，

則，解得或，滿足，則或.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【分析】（1）通過(guò)證明，，得出平面，即可證明面面垂直；（2）（i）法一：建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)在同一球面上，在平面中，得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)，計(jì)算出，即可證明結(jié)論；法二：作出的邊和的垂直平分線，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距離相等，得出外心即為，，，所在球的球心，即可證明結(jié)論；（ii）法一：寫(xiě)出直線和的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線為，連接，，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，在中由余弦定理求出，即可求出直線與直線所成角的余弦值.【詳解】（1）由題意證明如下，在四棱錐中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）（i）由題意及（1）證明如下，法一：在四棱錐中，，，，∥，，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴，若，，，在同一個(gè)球面上，則，在平面中，∴，∴線段中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率：，直線的垂直平分線斜率：，∴直線的方程：，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴在立體幾何中，，∵解得：，∴點(diǎn)在平面上.法二：∵，，，在同一個(gè)球面上，∴球心到四個(gè)點(diǎn)的距離相等在中，到三角形三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是該三角形的外心，作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識(shí)得，，，，∴，∴點(diǎn)是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得，∴，∴點(diǎn)即為點(diǎn)，，，所在球的球心，此時(shí)點(diǎn)在線段上，平面，∴點(diǎn)在平面上.（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，，設(shè)直線與直線所成角為，∴.法2：由幾何知識(shí)得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線為，連接，，則，直線與直線所成角即為中或其補(bǔ)角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直線與直線所成角的余弦值為：.18．(1)極大值為，無(wú)極小值；(2)①；②證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.（2）①求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性并求出最大值，進(jìn)而求出的范圍；②由函數(shù)可得，再利用基本不等式推理得證.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在取得極大值，無(wú)極小值.（2）①函數(shù)，求導(dǎo)得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)