專題03函數(shù)

目錄

明晰學(xué)考要求.............................................................................................................................................................1

基礎(chǔ)知識(shí)梳理.............................................................................................................................................................1

考點(diǎn)精講講練.............................................................................................................................................................3

考點(diǎn)一：求函數(shù)的定義域、值域........................................................................................................................3

考點(diǎn)二：函數(shù)（分段函數(shù)）求值........................................................................................................................6

考點(diǎn)三：函數(shù)的三種表示法................................................................................................................................8

考點(diǎn)四：函數(shù)單調(diào)性的判斷..............................................................................................................................12

考點(diǎn)五：函數(shù)的最值.......................................................................................................................15

考點(diǎn)六：函數(shù)的奇偶性......................................................................................................................................17

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練......................................................................................................................................20

明晰學(xué)考要求

1、了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域、值域、解析式；

2、了解函數(shù)的三種表示方法及各自的優(yōu)缺點(diǎn)；

3、能運(yùn)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；

4、能借助函數(shù)圖象理解函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增(或遞減)的概念；

5、了解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義；

6、了解函數(shù)奇偶性的定義，掌握判斷和證明函數(shù)奇偶性的方法；

基礎(chǔ)知識(shí)梳理

1、函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)

概念x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和

它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

三對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A

要定義域x的取值范圍A

素值域與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}

①一次函數(shù)的定義域是R，值域也是R，對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)際上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；

4ac－b2

y≥

②二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，當(dāng)a>0時(shí)，它的值域是y|4a；當(dāng)a<0時(shí)，

4ac－b2

y≤

它的值域是y|4a，對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)際上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

kk

③反比例函數(shù)f(x)＝(k≠0)的定義域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，對(duì)應(yīng)關(guān)系是f(x)＝(k≠0)．

xx

2、函數(shù)的三種表示方法

表示法定義

解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖象法用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

列表法列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

3、分段函數(shù)

分段函數(shù)求值時(shí)，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間；然后代入該段的解析式求值，

直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

4、函數(shù)的單調(diào)性

（1）①基本概念

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI.如果x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2

條件時(shí)??

都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)

結(jié)論f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減

圖示

②當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是增函數(shù)；當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞

減時(shí)，稱它是減函數(shù).

③定義中x1，x2有三個(gè)特征：①x1，x2屬于同一個(gè)區(qū)間；②任意性，x1與x2不能用D上的特殊

值代替；③有序性，通常規(guī)定x1<x2.

(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.

①函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域內(nèi)的某一個(gè)區(qū)間，故討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須先確定函數(shù)的定

義域.

②若函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上都是單調(diào)遞增(或遞減)的，這兩個(gè)單調(diào)區(qū)間不能用并集符號(hào)“∪”連接.

5、函數(shù)的最值

最大值最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足

條件x∈I，都有f(x)≤Mx∈I，都有f(x)≥M

?x0∈I，使得f(x0)＝M?

結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x?)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值

f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐

幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)

標(biāo)

①最值首先是一個(gè)函數(shù)值，即存在一個(gè)自變量x0，使得f(x0)等于最值.

②對(duì)于定義域內(nèi)的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”兩個(gè)字不可省略.

5、函數(shù)的奇偶性

(1)定義及圖象特征

①設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

如果x∈I，都有－x∈I，且f(－x?)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

②圖?象特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.反之，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定是偶函數(shù).奇函

數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.反之，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是奇函數(shù).

（2）如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.

①奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函

數(shù)是非奇非偶函數(shù).

②若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.

考點(diǎn)精講講練

考點(diǎn)一：求函數(shù)的定義域、值域

【典型例題】

1

例題1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)fxlgx1的定義域是（）

x2

A．1,B．1,

C．1,22,D．1,22,

【答案】A

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與含分式的函數(shù)定義域，構(gòu)成不等式組求解即可.

1x10

【詳解】因?yàn)閒xlgx1，所以定義域滿足，

x2x20

解得x1，

故選：A.

1

例題2．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)fx的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

x1

A．,1B．,1C．1,D．1,

【答案】D

1

【分析】函數(shù)定義域滿足0，x10，解得答案.

x1

11

【詳解】函數(shù)fx的定義域滿足：0，x10，解得x1.

x1x1

故選：D

例題3．函數(shù)f(x)1x2的值域是（）

A．(0,1)B．0,1C．0,1D．0,1

【答案】D

【分析】先求出函數(shù)f(x)的定義域；再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷f(x)的單調(diào)性；最后根據(jù)單調(diào)

性即可得出答案.

【詳解】要使函數(shù)f(x)1x2有意義，須使1x20，解得1x1，

即函數(shù)f(x)1x2的定義域?yàn)?,1.

令t1x2，x1,1，

則yt.

因?yàn)楹瘮?shù)t1x2在1,0上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減；yt為0,上的增函數(shù)，

所以f(x)1x2在1,0上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)，

x0fxmax1.

又因?yàn)閒10，f10，

所以函數(shù)f(x)1x2的值域?yàn)?,1.

【即時(shí)演練】

1．下列函數(shù)中，定義域?yàn)镽的是（）

1

A．yB．yxC．ylogx1D．y=x2

x22

【答案】D

【分析】根據(jù)分母不為0即可判斷A；根據(jù)偶次方根被開方數(shù)大于等于0即可判斷B；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大

于0即可判斷C；根據(jù)冪函數(shù)定義域即可判斷D.

【詳解】對(duì)A，其定義域?yàn)?22,，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B，其定義域?yàn)?,，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C，由題意得x10，解得x1，則其定義域?yàn)?,，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D，顯然其定義域?yàn)?，故D正確.

故選：D.?

x

2．函數(shù)y的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

x1

A．xx0且x1B．x|x0且x1

C．xx1D．xx0

【答案】B

【分析】根據(jù)根式、分式的意義直接運(yùn)算求解即可.

x0

【詳解】由題意可得：，解得x0且x1，

x10

x

所以函數(shù)y的定義域?yàn)閤|x0且x1.

x1

故選：B.

2

3.函數(shù)fx6x的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A．RB．0,C．,0D．,00,

【答案】B

【分析】根據(jù)偶次根式有意義的條件求解即可

2

【詳解】函數(shù)fx6x的定義域?yàn)?,，

故選：B

4.函數(shù)f(x)x1的值域是（）

A．(,1)B．(,1]C．(1,)D．[1,+)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)?,且在定義域內(nèi)是增函數(shù)可得答案.

【詳解】函數(shù)f(x)x1的定義域?yàn)?,且在定義域內(nèi)是增函數(shù).

所以f(x)f(0)1

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)二：函數(shù)（分段函數(shù)）求值

【典型例題】

例題1．已知f(x)x，則f(2)的值為（）

A．1B．2C．3D．2

【答案】B

【分析】直接代入求解即可.

【詳解】因?yàn)閒(x)x，則f(2)2，

故選：B.

x22x2,x2

例題2．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)fx，則f3（）

fx2,x2

A．1B．1C．2D．3

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，代入準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

x22x2,x2

【詳解】由函數(shù)fx，則f3f32f1122123.

fx2,x2

故選：D.

x2,x1

例題3．已知函數(shù)fx，則ff1=（）

2x3,x1

A．1B．3C．-3D．-1

【答案】B

【分析】計(jì)算出f13，從而求出ff1.

【詳解】f1123，ff1f3633.

故選：B

x,x0

例題4．已知函數(shù)fx1，若fx02，則x0（）

,x0

x

11

A．B．C．2D．2

22

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求值，即可得答案.

1

【詳解】當(dāng)x0時(shí)，f(x)x0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，

x

11

故由fx02，得2,x0，

x02

故選：A

【即時(shí)演練】

1

1．已知函數(shù)fx，則f4（）

x

111

A．B．C．D．1

432

【答案】A

【分析】直接代入計(jì)算即可.

1

【詳解】f4.

4

故選：A.

1,xP,

2．（2023高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）已知集合P2,4,6,8，定義函數(shù)fx則f2f3（）

1,xP.

A．2B．0C．1D．2

【答案】B

【分析】由2P，3P，結(jié)合分段函數(shù)的解析式可得答案.

【詳解】由題意可知2P，3P，

所以f(2)f(3)1(1)0，

故選：B.

x3,x0

3.（2023高一下·吉林·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)fxx，若fa8，則a的取值為（）

2,x0

A．3B．5C．3D．5

【答案】A

【分析】利用分類討論表示方程求解即可.

【詳解】當(dāng)a0時(shí)，faa38a5，不符合題意，

當(dāng)a0時(shí)，fa2a8a3，符合題意

故選：A.

考點(diǎn)三：函數(shù)的三種表示法

【典型例題】

例題1．已知函數(shù)fxx，則f2x（）

A．2xB．xC．2D．1

【答案】A

【分析】由函數(shù)解析式求解．

【詳解】因?yàn)閒(x)x，所以f(2x)2x，

故選：A

例題2．（2023高二·湖南衡陽·學(xué)業(yè)考試）如圖是周老師散步時(shí)所走的離家距離（y）與行走時(shí)間（x）之間

的函數(shù)關(guān)系的圖象，則周老師散步的路線可能是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根據(jù)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的圖象確定正確答案.

【詳解】根據(jù)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的圖象可知，

周老師先遠(yuǎn)離家，然后有一段時(shí)間和家的距離相同，然后再回家（離家越來越近），

所以D選項(xiàng)對(duì)應(yīng)圖象符合.

故選：D

例題3．（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）某工廠生產(chǎn)零件x件，當(dāng)x10時(shí)，每生產(chǎn)1件的成本為100元，

超過10件時(shí)，每生產(chǎn)1件的成本為150元，當(dāng)x=15時(shí)，生產(chǎn)成本為（）元

A．1000B．1750C．1500D．1300

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出生產(chǎn)成本y與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系，再代入求出函數(shù)值.

【詳解】令生產(chǎn)零件x件的成本為y元，

當(dāng)x10,xN時(shí)，y100x，

當(dāng)x10,xN時(shí)，y10100150(x10)150x500，

100x,x10,xN

因此y，當(dāng)x15時(shí)，y1750，

150x500,x10,xN

所以當(dāng)x15時(shí)，生產(chǎn)成本為1750元.

故選：B

例題4．已知函數(shù)yf(x)用列表法表示如下表，則f[f(2)]

x012

f(x)201

【答案】0

【分析】由表格給出的數(shù)據(jù)有f(2)1，則f[f(2)]f(1)可求出答案.

【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)有f(2)1

所以f[f(2)]f(1)0

故答案為：0

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的列表法求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

【即時(shí)演練】

1．在股票交易過程中，經(jīng)常用兩種曲線來描述價(jià)格變化情況，一種是即時(shí)價(jià)格曲線yf(x)，另一種是平

均價(jià)格曲線yg(x).如f(2)3表示股票開始交易后2小時(shí)的即時(shí)價(jià)格為3元；g(2)3表示2小時(shí)內(nèi)的平

均價(jià)格為3元，下四個(gè)圖中，實(shí)線表示yf(x)的圖象，虛線表示yg(x)的圖象，其中正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象，可得答案.

【詳解】剛開始交易時(shí)，即時(shí)價(jià)格和平均價(jià)格應(yīng)該相等，故A、D錯(cuò)誤；

開始交易后，平均價(jià)格應(yīng)該跟隨即時(shí)價(jià)格變動(dòng)，即時(shí)價(jià)格與平均價(jià)格同增同減，故B錯(cuò)誤.

故選：C.

2．函數(shù)yfx的圖象如圖所示，則f9（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】C

【分析】有圖像可知，當(dāng)x9時(shí)，y3，即可求解f9.

【詳解】有圖像可知，當(dāng)x9時(shí)，y3，故f93.

故選：C.

3．已知f(x1)x21，則f(x)的解析式可取為（）

A．x22x1B．x22x1

C．x22xD．x22x

【答案】C

【分析】利用配湊法求得fx的解析式.

2

【詳解】由于f(x1)x21x12x1，

所以fxx22x.

故選：C

4．的面積為10，如果矩形的長為x，寬為y，對(duì)角線為d，周長為l，下列不正確的是（）

2010

A．l2x（x0）B．y（x0）

xx

100

C．l2d220（d0）D．dx2（x0）

x2

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榫匦蔚拿娣e為10，矩形的長為x，寬為y，

1020

所以xy10，得y，所以矩形的周長為l2x（x0），所以A正確，

xx

10

對(duì)于B，由選項(xiàng)A，可知y（x0），所以B正確，

x

對(duì)于C，因?yàn)榫匦蔚拿娣e為10，對(duì)角線為d，長為x，寬為y，

所以x2y2d22xy20，當(dāng)且僅當(dāng)xy10時(shí)等號(hào)成立，

所以x2y22xyd220，(xy)2d220，

因?yàn)閤y0，所以xyd220，所以矩形的周長為l2d220（d25），所以C錯(cuò)誤，

100

對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知x2y2d2，xy10，所以d2x2，

x2

100

因?yàn)閐0，所以dx2（x0），所以D正確，

x2

故選：C.

考點(diǎn)四：函數(shù)單調(diào)性的判斷

【典例講解】

例題1．已知函數(shù)yf(x)在1,2上的圖像如圖，則函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A．B．C．1,2D．

【答案】?B1,00,11,2

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與圖象的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

【詳解】若函數(shù)單調(diào)遞增，則對(duì)應(yīng)圖象為上升趨勢(shì)，

由圖可知：yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1.

故選：B．

例題2．下列函數(shù)中，在區(qū)間0,上單調(diào)遞減的是（）

1

A．fxB．fxex

x

C．fxcosxD．fxlog2x

【答案】A

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

1

【詳解】對(duì)于A：函數(shù)fx在0,上單調(diào)遞減，故A正確；

x

對(duì)于B：函數(shù)fxex在0,上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：函數(shù)fxcosx在0,上不具有單調(diào)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：函數(shù)fxlog2x在0,上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；

故選：A

例題3．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)為增函數(shù)的是（）

x

1

A．yB．ylgx

2

1

C．yD．y=x2

x

【答案】B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

x

1

【詳解】對(duì)于A：函數(shù)y在定義域R上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B：函數(shù)ylgx在定義域上單調(diào)遞增，故B正確；

10,+∞

對(duì)于C：函數(shù)y在,0，上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

x

0,+∞

對(duì)于D：函數(shù)y=x2在,0上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：B0,+∞

【即時(shí)演練】

1．在下列函數(shù)中，在區(qū)間0,上單調(diào)遞減的是（）

x2

fxlog1x

A．fx3B．fxlog2xC．fxxD．

3

【答案】D

【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】對(duì)A：fx3x在R上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：fxlog2x在0,上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：fxx2在,0上單調(diào)遞減，在0,上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：fxlog1x在0,上單調(diào)遞減，故D正確.

3

故選：D.

abfafb

2．（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)fx滿足“對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)a,b，都有f”，

22

則fx可以是（）

A．fxxB．fxx2

C．fx2xD．fxlnx

【答案】A

【分析】根據(jù)解析式代入檢驗(yàn)判斷A，取特殊值檢驗(yàn)判斷BC，根據(jù)解析式及基本不等式可判斷D.

ababfafbab

【詳解】對(duì)A，f，，所以滿足條件，故A正確；

2222

11f(0)f(1)1

對(duì)B，取a0,b1，f,，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；

2422

1f(0)f(1)123

對(duì)C，取a0,b1，f2,，不滿足條件，故C錯(cuò)誤；

2222

ababfafblnalnblnab

對(duì)D，a,b0,，fln，lnab，

22222

abababfafb

由ab知當(dāng)ab時(shí)，ab，故f，故D錯(cuò)誤.

2222

故選：A

3．下列函數(shù)中，在區(qū)間0,上為增函數(shù)的是（）

x

1221

A．fxlnB．fxC．fxx3xD．fx

xx2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性即可．

1

【詳解】對(duì)于A，函數(shù)ylnt在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)t在區(qū)間0,上單調(diào)遞減，

x

1

所以函數(shù)fxln在區(qū)間0,上為減函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

x

2

對(duì)于B，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，fx在區(qū)間0,上為增函數(shù)，B選項(xiàng)正確；

x

233

對(duì)于C，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，fxx3x在0,上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

x

1

對(duì)于D，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，fx在區(qū)間0,上為減函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2

故選：B

考點(diǎn)五：函數(shù)的最值

【典例講解】

例題1．已知函數(shù)fxx22x,x2,5，則函數(shù)的最大值為（）

A．15B．10C．0D．1

【答案】A

【分析】根據(jù)給定函數(shù)的單調(diào)性，求出在指定區(qū)間上的最大值作答.

22

【詳解】函數(shù)f(x)x2x在[2,5]上單調(diào)遞增，則f(x)maxf(5)52515，

所以函數(shù)f(x)的最大值為15.

故選：A

9

例題2.已知函數(shù)fxxx0，則fx的最小值是（）

x

A．2B．3C．6D．10

【答案】C

【分析】方法一：運(yùn)用基本不等式可求得最小值.

方法二：求出函數(shù)fx在(0,)上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值.

99

【詳解】方法一：當(dāng)x0時(shí)，fxx2x6，

xx

9

所以fxxx0得最小值是6.

x

9

方法二：因?yàn)楹瘮?shù)fxxx0在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,)上單調(diào)遞增，

x

所以fminxf(3)336.

故選：C

例題3.用定義證明函數(shù)f(x)2x3在R上的單調(diào)性，并求在x1,2上的最值.

【答案】證明見解析，f(x)max7，f(x)min5

【分析】取x1x2，計(jì)算f(x1)f(x2)0得到證明，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值得到答案.

【詳解】任取x1x2，則x1x20.

f(x1)f(x2)(2x13)(2x23)2(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，

故函數(shù)f(x)2x3在R上是增函數(shù)，

x1,2，故f(x)maxf27，f(x)minf15.

【即時(shí)演練】

1．下列函數(shù)中，存在最小值的是（）

A．fxx1B．fxx22xC．fxexD．fxlnx

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及值域分別判斷最小值即可.

【詳解】fxx1單調(diào)遞減值域?yàn)镽,無最小值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

在,1單調(diào)遞減，在1,單調(diào)遞增，當(dāng)取得最小值，B選項(xiàng)正確；

2

??=??2??=1

fxex單調(diào)遞增，值域?yàn)?,，無最小值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

單調(diào)遞增，值域?yàn)镽,無最小值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

?故?選:=B.ln?

2．已知函數(shù)f(x)2x24x3，則f(x)在[1,1]上的最大值為（）

A．9B．8C．3D．1

【答案】A

【分析】先通過對(duì)稱軸確定單調(diào)性，進(jìn)一步可求最大值.

【詳解】函數(shù)f(x)2x24x3的對(duì)稱軸為x1，

所以函數(shù)f(x)2x24x3在[1,1]上單調(diào)遞減，

f(x)maxf12439.

故選：A.

3

3.函數(shù)y在區(qū)間[3,5]上的最小值為a，最大值為b，則ab

x2

【答案】2

【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得.

333

【詳解】由y在[3,5]上單調(diào)遞減，故a1，b3，

x25232

即ab132.

故答案為：2.

考點(diǎn)六：函數(shù)的奇偶性

【典例講解】

例題1.已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，則f1f1（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】B

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f1f1，即f1f10.

故選：B.

例題2.（2024高二下·云南·學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的為（）

A．fxlnxB．fxx3

C．fxsinxD．fxexex

【答案】D

【分析】根據(jù)題意奇偶性的性質(zhì)和定義逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閒xlnx的定義域?yàn)?,，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以fxlnx不具有奇偶性，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)BC：可知fxx3，fxsinx均為奇函數(shù)，故BC錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閒xexex的定義域?yàn)镽，

且fxexexexexfx，所以fxexex為偶函數(shù)，故D正確；

故選：D.

例題3.已知奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．下列函數(shù)圖象中，可以表示奇函數(shù)的有（）

A．B．

C．D．

【答案】BC

【分析】根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱判斷選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱結(jié)合函數(shù)圖象，符合題意是B,C選項(xiàng).

故選：BC.

例題4.（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)fxx3xa3x為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fxx3xa3x為偶函數(shù)，又函數(shù)fxx3xa3x的定義域?yàn)镽，

所以fxfx，即x3xa3xx3xa3x，

所以a13x3xx0對(duì)任意的x恒成立，

又3x3x0，所以a10，解得a1.

故選：B

【即時(shí)演練】

1.（2021高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

1

A．yx1B．ysinxC．yD．yx|x|

x

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等知識(shí)來確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，yx1是非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

B選項(xiàng)，ysinx在,上不是增函數(shù)，不符合題意.

1

C選項(xiàng)，y在,0,0,上單調(diào)遞減，不符合題意.

x

D選項(xiàng)，設(shè)fxxx,fx的定義域是R，

fxxxxxfx，所以fx是奇函數(shù)，f00，

當(dāng)x0時(shí)fxx2，fx單調(diào)遞增，

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知fx在,上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D

2.（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)aexex，若yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)

a.

【答案】1

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，令f00，即可得到答案.

【詳解】∵函數(shù)fxaexex的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

∴為奇函數(shù),

∴?f?0a10，

∴，經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè).

故答?=案?為1：1

3．（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）奇函數(shù)f(x)x3xa，則a．

【答案】0

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)f(0)0，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)f(x)x3xa，可得f(0)0，即a0，

經(jīng)驗(yàn)證：函數(shù)f(x)x3x的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且f(x)(x)3(x)x3xf(x)，符合題意，所以a0.

故答案為：0.

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練

1．函數(shù)f(x)x23x1，則f(1)（）

A．5B．6C．8D．9

【答案】A

【分析】直接根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式可求出結(jié)果.

【詳解】由題意，函數(shù)f(x)x23x1，

所以f(1)1315.

故選：A.

2．函數(shù)fxx2·x5的定義域是（）

A．2,B．5,C．5,2D．,52,

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.

x20

【詳解】依題意，，解得x2，

x50

所以函數(shù)的定義域?yàn)?,.

故選：A

3．對(duì)于函數(shù)yfx，部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

x1234567

y7458134

則ff1值為（）

A．1B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】根據(jù)表格先求f1，再求ff1的值.

【詳解】由表格可得，f17，

所以ff1f74.

故選：C.

2

4．函數(shù)f(x),x[2,6]的值域是（）

x1

12

A．[,2]B．[,2]

35

2

C．[,)D．(,2]

5

【答案】B

【分析】先證明函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

2

【詳解】函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞減.

x1

所以當(dāng)x[2,6]時(shí)，

222

f(x)f(6)，f(x)f(2)2，

min615max21

2

所以f(x)的值域?yàn)閇,2].

5

故選：B

x1

5．設(shè)函數(shù)f(x)，則f(x1)（）

x1

2212

A．1B．1C．1D．1

xxx2x

【答案】D

【分析】根據(jù)題意直接求解即可.

x1(x1)1x22

【詳解】解：因?yàn)閒(x)，所以f(x1)1．

x1(x1)1xx

故選：D．

3x,x0,

6．已知函數(shù)fx則f4等于（）

fx3,x0,

A．6B．2C．4