專題02不等式

目錄

明晰學(xué)考要求.............................................................................................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理.......................................................................................................................................1

考點(diǎn)精講講練.......................................................................................................................................3

考點(diǎn)一：比較數(shù)或式的大小................................................................................................................................3

考點(diǎn)二：利用基本不等式求代數(shù)式的最值.......................................................................................................4

考點(diǎn)三：一元二次不等式的解法........................................................................................................................4

考點(diǎn)四：不等式恒成立問題................................................................................................................................5

考點(diǎn)五：基本不等式與一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用.......................................................................................6

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練.......................................................................................................................................7

明晰學(xué)考要求

1、理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)；

2、掌握基本不等式，能用基本不等式解決最值問題；

3、了解一元二次不等式；

4、能夠從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識方程和不等式；

5、了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系

基礎(chǔ)知識梳理

1、不等式中的基本事實(shí)

a>ba－b>0；

依據(jù)a＝b?a－b＝0；

a<b?a－b<0

結(jié)論要比?較兩個實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小

①由上述基本事實(shí)可知，要比較兩個數(shù)或式的大小，只需要比較這兩個數(shù)或式的差與0的大小，一般將差

化為完全平方的形式或多個因式的積的形式．

②對于兩個正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大?。?/p>

③對于某些問題也可能采用取中間值的方法比較大小．

2、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意

1a>bb<a

2a>b，b?>ca>c不?可逆

3a>ba＋c?>b＋c可逆

a>b，c>0?ac>bc

4c的符號

a>b，c<0?ac<bc

5a>b，?c>da＋c>b＋d同向

6a>b>0，c>?d>0ac>bd同向

7a>b>0an>bn(n∈?N，n≥2)同正

11

①若a＞b＞0，則0＜＜；?

ab

11

②若a＜b＜0，則0＞＞.

ab

bb1

③若ab0，則.

aa1

3、基本不等式

a＋ba＋b

（1）不等式ab≤（a,b0）稱為基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．其中，叫做正數(shù)a，

22

b的算術(shù)平均數(shù)，ab叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．所以兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．

2

a2b2ab

（2）當(dāng)a,bR時，ab，ab，以上兩式均在a＝b時取等號.

22

（3）最值定理：已知x，y都為正數(shù)，則：如果積xy等于定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值

1

2P；如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值S2.簡記為：積定和最小，和定積最

4

大．

（4）應(yīng)用基本不等式的三個關(guān)鍵點(diǎn)：一正、二定、三相等．

①一正：各項(xiàng)必須為正；

②二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值；

③三相等：必須驗(yàn)證取等號時的條件是否具備．

4、一元二次不等式的概念

一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，

定義

稱為一元二次不等式

一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)

5、一元二次不等式的解法

（1）二次函數(shù)零點(diǎn)的概念：一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．

（2）三個二次的關(guān)系

判別式

Δ>0Δ＝0Δ<0

Δ＝b2－4ac

二次函數(shù)y＝ax2＋bx

＋c(a>0)的圖象

有兩個相等的實(shí)數(shù)根

一元二次方程ax2＋有兩個不相等的實(shí)數(shù)沒有

b

bx＋c＝0(a>0)的根根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－實(shí)數(shù)根

2a

2

ax＋bx＋c>0(a>0)的b

{x|x<x1，或x>x2}x≠－R

解集x|2a

ax2＋bx＋c<0(a>0)的

{x|x1<x<x2}??

解集

①零點(diǎn)不是點(diǎn)，只是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

②不等式的解集必須寫成集合的形式.若不等式無解，則應(yīng)說解集為空集．

考點(diǎn)精講講練

考點(diǎn)一：比較數(shù)或式的大小

【典型例題】

例題1．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）已知ab，cR，則下列不等式恒成立的是（）

11

A．a(chǎn)cbcB．a(chǎn)cbcC．a(chǎn)2b2D．

ab

例題2．已知x，y是實(shí)數(shù)，則“xy0”是“xy”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

例題3．已知b克糖水中含有a克糖ba0，再添加m克糖（m0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.能

夠表示這一事實(shí)的不等式是（）

amabmb

A．B．

bbaa

amabmb

C．D．

bmbama

【即時演練】

1．若ab0，c0，則下列不等式成立的是（）

11

A．B．a(chǎn)cbcC．a(chǎn)2b2D．a(chǎn)cbc

ab

2．已知ab,cd，則下面不等式一定成立的是（）

A．a(chǎn)dbcB．a(chǎn)dbc

C．a(chǎn)dbcD．a(chǎn)dbc

3．已知a0,b0，且ab1，則ab的取值范圍是（）

A．1,0B．0,1C．1,1D．2,2

考點(diǎn)二：利用基本不等式求代數(shù)式的最值

【典型例題】

9

例題1．若x0，則x有（）

x

A．最小值6B．最小值8

C．最大值8D．最大值3

例題2．已知0x4，則x(6x)的最大值為（）

1

A．B．1C．3D．3

2

例題3．已知x0,y0，且xy2，則（）

A．xy的最大值為1B．xy的最小值為1

C．xy的最大值為2D．xy的最小值為2

【即時演練】

26

1.已知a0,b0，且ab2，則的最小值為（）

ab

A．23B．423C．843D．43

2.已知ab1，4a29b2的最小值為．

1

3．若x1，則x的最小值是．

x1

考點(diǎn)三：一元二次不等式的解法

【典型例題】

例題1．不等式x2x20的解集是（）

A．{x|1x2}B．{x|x1或x2}

C．{x|x2或x1}D．{x|2x1}

例題2．已知集合M1,0,1,2,3,Nxx22x30，則MN（）

A．1,0,1B．1,0,1,2,3

C．0,1,2D．1

11

例題3．若不等式ax2bx20的解集為x|x，則ab（）

23

A．1B．12C．28D．14

【即時演練】

1．不等式x1x20的解集為（）

A．x1x2B．x2x1C．{xx2或x1}D．xx1

3xa5

2．關(guān)于x的不等式1的解集為,1，則實(shí)數(shù)a的值為（）

x12

73

A．6B．C．D．4

22

3．一元二次不等式-2x2+5x-2>0的解集是（）

11

A．xxB．xx2C．xx2D．R

22

考點(diǎn)四：不等式恒成立問題

【典例講解】

例題1．若不等式ax24xa30對所有實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍為（）

A．,14,B．,1

C．,14,D．,1

例題2．已知當(dāng)x0時，不等式x2ax160恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

例題3．設(shè)函數(shù)f(x)x2mx.

(1)若m1，求不等式f(x)2的解集；

(2)若x1時，不等式f(x)x220恒成立，求m的取值范圍.

【即時演練】

1．若不等式x2kx40對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）

A．4,4B．4,4

C．,44,D．,44,

2．對任意x1,，不等式m3x2x1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

3．已知關(guān)于x的不等式x22axa0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

考點(diǎn)五：基本不等式與一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用

【典例講解】

例題1．若不計(jì)空氣阻力，豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）滿足關(guān)系

1

式hvtgt2，其中g(shù)10m/s2,v為初速度.向盼歸同學(xué)以v11m/s豎直上拋一個排球，該排球在拋出

0200

點(diǎn)上方2m處及以上的位置最多停留時間為（）

A．1.8sB．2.8sC．3.8sD．4.8s

例題2．某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本．已知購買x

1

臺設(shè)備的總成本為fxx2x800（單位：萬元）．若要使每臺設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購買設(shè)備

200

臺．

【即時演練】

1.某產(chǎn)品的總成本為C萬元，與產(chǎn)量x臺的關(guān)系是C300020x0.1x2，其中x0,240，若每臺售價為

25萬元，那么生產(chǎn)廠家不虧本的最低產(chǎn)量是（）

A．60臺B．90臺C．120臺D．150臺

2．（24-25高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每

天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400

元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（）

A．x15x22B．x15x18

C．x15x20D．x15x24

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練

1．已知ab，則（）

A．3a2bB．a(chǎn)b2C．a(chǎn)1b2D．a(chǎn)a1bb1

2．已知集合Mx3x4，Nxx22x80，則（）

A．MNRB．MNx3x4

C．MNx2x4D．MNx2x4

3．已知x0，y0，xy4，則x2y的最小值為（）．

A．4B．42C．6D．82

4．一元二次不等式144x2x的解集為（）

77

A．x2xB．{x|x2或x}

4