2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——微分方程與動力系統(tǒng)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.驗證函數(shù)y=e^(-x)+x-1是微分方程y'+y=x的解。2.求微分方程(x-y)dx+(x+y)dy=0的通解。3.求微分方程y''-4y'+3y=0的通解。4.求微分方程y''-2y'+5y=0的通解。二、5.求微分方程y'+y=e^x的通解。6.求微分方程y''-y'-6y=x^2的通解。7.求微分方程y''+y=sin(x)的通解。8.求微分方程組?x'=y+1??y'=-x+2y的通解。三、9.討論微分方程y''+py'+qy=0的解的穩(wěn)定性，其中p,q為常數(shù)，且q>0。分別討論p^2-4q=0,p^2-4q>0,p^2-4q<0三種情形下，方程的奇點類型及其穩(wěn)定性。10.在相平面上，畫出微分方程y'=y(y-1)(y-2)的積分曲線的定性形態(tài)，并指出奇點的類型及其穩(wěn)定性。四、11.證明：如果二階線性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的兩個解y_1(x)和y_2(x)線性無關(guān)，則Wronskian行列式W(y_1,y_2)(x)=y_1y_2'-y_1'y_2在不含奇點的區(qū)間內(nèi)保持不變。12.考慮平面動力系統(tǒng)?x'=y??y'=-x+y-x^2在原點(0,0)附近，判斷原點是穩(wěn)定焦點、不穩(wěn)定焦點、鞍點還是中心點？（提示：考慮線性化系統(tǒng)或直接分析）試卷答案一、1.解：將y=e^(-x)+x-1及其導(dǎo)數(shù)y'=-e^(-x)+1代入方程左邊，得：(-e^(-x)+1)+(e^(-x)+x-1)=x化簡后等于x，等于方程右邊。故y=e^(-x)+x-1是方程的解。2.解：原方程可化為(1-y/x)dx+(1+y/x)dy=0。令u=y/x，則y=ux，dy=udx+xdu。代入得：(1-u)(1+u)dx+(1+u)xdu=0(1-u^2)dx+(1+u)xdu=0分離變量：dx/x=-(1+u)/(1-u^2)du=-(1/2)[du/(1-u)+du/(1+u)]兩邊積分：∫dx/x=-(1/2)∫[du/(1-u)+du/(1+u)]ln|x|=-(1/2)[ln|1-u|-ln|1+u|]+Cln|x|=(1/2)[ln|1+u|-ln|1-u|]+C|x|=e^C*|1+u|/√|1-u^2|代回u=y/x，得通解：|x|=C_1*|x+y|/√|x^2-y^2|（其中C_1=e^C>0，可吸收絕對值）或等價地：x^2-y^2=C(x+y)，其中C=±2C_1^2。3.解：特征方程為r^2-4r+3=0，解得r1=1,r2=3。故通解為y=C1e^x+C2e^(3x)。4.解：特征方程為r^2-2r+5=0，解得r=1±2i。故通解為y=e^x(C1cos(2x)+C2sin(2x))。二、5.解：此為一階線性非齊次微分方程。先求對應(yīng)齊次方程y'+y=0的通解，為y_h=C1e^(-x)。再用常數(shù)變易法，設(shè)特解y_p=u(x)e^(-x)，代入原方程：u'e^(-x)-uxe^(-x)+uxe^(-x)=e^xu'e^(-x)=e^xu'=e^(2x)u=∫e^(2x)dx=(1/2)e^(2x)+C故特解為y_p=[(1/2)e^(2x)+C]e^(-x)=(1/2)e^x+Ce^(-x)。通解為y=y_h+y_p=C1e^(-x)+(1/2)e^x。6.解：對應(yīng)齊次方程y''-y'-6y=0的通解為y_h=C1e^(3x)+C2e^(-2x)。設(shè)非齊次方程的特解為y_p=Ax^2+Bx+C。代入原方程：(2A)-(2Ax+B)-6(Ax^2+Bx+C)=x^2-6Ax^2+(-2A-6B)x+(2A-B-6C)=x^2比較系數(shù)得：-6A=1,-2A-6B=0,2A-B-6C=0。解得A=-1/6,B=1/18,C=-5/54。故特解為y_p=(-1/6)x^2+(1/18)x-5/54。通解為y=y_h+y_p=C1e^(3x)+C2e^(-2x)-(1/6)x^2+(1/18)x-5/54。7.解：對應(yīng)齊次方程y''+y=0的通解為y_h=C1cos(x)+C2sin(x)。設(shè)非齊次方程的特解為y_p=Axsin(x)+Bxcos(x)（因為右端sin(x)與齊次解形式重復(fù)，需乘x）。代入原方程：(Axsin(x)+Bxcos(x))''+(Axsin(x)+Bxcos(x))=sin(x)(2Acos(x)-Bsin(x))+(Axsin(x)+Bxcos(x))=sin(x)(2Acos(x)-Bsin(x)+Axsin(x)+Bxcos(x))=sin(x)(Axsin(x)+(2A+Bx)cos(x)-Bsin(x))=sin(x)比較系數(shù)得：A=0,2A+B=0,-B=1。解得A=0,B=-1。故特解為y_p=-xcos(x)。通解為y=y_h+y_p=C1cos(x)+C2sin(x)-xcos(x)。8.解：令X=x,Y=y，則方程組為X'=Y+1,Y'=-X+2Y。對第一個方程求導(dǎo)得X''=Y'，代入第二個方程得X''=-X+2Y=-X+2(X'-1)=-X+2X'-2。整理得X''-2X'+X=-2，即X''-2X'+X+2=0。對應(yīng)齊次方程(X''-2X'+X)=0的特征方程r^2-2r+1=0，解得r=1重根。齊次解為X_h=(C1+C2x)e^x。設(shè)非齊次方程X''-2X'+X=-2的特解為X_p=A。代入得A-0+A=-2，解得A=-1。故X_p=-1。X=X_h+X_p=(C1+C2x)e^x-1。再求Y：Y=X'-1=(C1+C2x)e^x+C2e^x-1=(C1+(C2+C2x))e^x-1。通解為?x=(C1+C2x)e^x-1??y=(C1+(C2+C2x))e^x-1三、9.證明：考慮對應(yīng)齊次方程y''+py'+qy=0的解y=e^(rx)。代入得r^2+pr+q=0。設(shè)根為r。當(dāng)q>0時，若r為實根，則r<0（由p^2-4q<0知r=-p/2，p>0）。此時e^(rx)隨x趨于無窮大而趨于0，解是穩(wěn)定的。若r為復(fù)根r=α±βi，其中α=-p/2,β=√(4q-p^2)/2。由q>0知α<0。此時e^(rx)=e^(αx)(C1cos(βx)+C2sin(βx))。隨x趨于無窮大，e^(αx)趨于0，解是穩(wěn)定的。奇點類型：當(dāng)p^2-4q=0時，為退化節(jié)點；當(dāng)p^2-4q<0時，為焦點；當(dāng)p^2-4q>0時，為鞍點。穩(wěn)定性：由α=-p/2<0知，無論哪種奇點類型，解都隨時間趨于原點，即解是穩(wěn)定的。10.解：令y'=f(y)=y(y-1)(y-2)。令f(y)=0，得y=0,1,2。這些點是奇點。當(dāng)y<0時，f(y)>0，y'>0，曲線上升。當(dāng)0<y<1時，f(y)<0，y'<0，曲線下降。當(dāng)1<y<2時，f(y)>0，y'>0，曲線上升。當(dāng)y>2時，f(y)<0，y'<0，曲線下降。奇點穩(wěn)定性判斷：*y=0：鄰域內(nèi)，若y>0,y'<0；若y<0,y'>0。解趨向于0。為穩(wěn)定節(jié)點（或鞍點，取決于導(dǎo)數(shù)符號變化方向，此處更像是節(jié)點）。*y=1：鄰域內(nèi)，若y<1,y'<0；若y>1,y'>0。解趨向于1。為不穩(wěn)定節(jié)點（或鞍點）。*y=2：鄰域內(nèi)，若y<2,y'>0；若y>2,y'<0。解趨向于2。為穩(wěn)定節(jié)點（或鞍點）。積分曲線定性形態(tài)：*起始于y<0的區(qū)域，向上穿過y=0(穩(wěn)定節(jié)點)。*在y=1(不穩(wěn)定節(jié)點)附近，曲線向下。*在y=2(穩(wěn)定節(jié)點)附近，曲線向上穿過y=2。*當(dāng)y趨于無窮大或負無窮大時，y'趨于0，曲線趨于水平漸近線y=0和y=2。四、11.證明：由y''+p(x)y'+q(x)y=0和y''+p(x)y'+q(x)y=0得：(y1'y2-y1y2')'+p(x)(y1'y2'-y1y2)+q(x)(y1y2)=0y1'y2''-y1'y2'+y1'y2'-y1y2''+p(x)y1'y2'-p(x)y1y2+q(x)y1y2=0(y1'y2''-y1y2'')+(y1'y2'-y1y2')+p(x)(y1'y2'-y1y2)=0y1(y2''-y2')+y2(y1''-y1')+p(x)(y1'y2'-y1y2)=0y1y2'''-y1y2'+y2y1'''-y2y1'+p(x)y1'y2'-p(x)y1y2=0因為y1,y2是解，y1''=-p(x)y1'-q(x)y1,y2''=-p(x)y2'-q(x)y2。代入上式：y1(-p(x)y2'-q(x)y2)-y1y2'+y2(-p(x)y1'-q(x)y1)-y2y1'+p(x)y1'y2'-p(x)y1y2=0-p(x)y1y2'-q(x)y1y2-y1y2'-p(x)y2y1'-q(x)y2y1+p(x)y1'y2'-p(x)y1y2=0-2y1y2'-2q(x)y1y2=0因為q(x)不恒為0，若要上式恒成立，必須有2y1y2'+2q(x)y1y2=0，即y1'y2-y1y2'=0。證畢。（注：此證明假設(shè)W(x)=y1y2'-y1'y2在整個區(qū)間內(nèi)不為0，若W(x)=0，則W'(x)=0恒成立，即W(x)恒為0或恒為常數(shù)。對于二階線性齊次方程，若解線性無關(guān)，W(x)不恒為0，故W(x)恒為常