人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第16章二次根式

一、二次根式的定義

形如畫（^>0）的式子叫做二次根式.其中叫做二次根號(hào)，巴叫做被開方數(shù).

（1）二次根式有意義的條件是蛆之?dāng)?shù)為韭負(fù)數(shù).據(jù)此可以確定字母的取值范圍；

（2）判斷一個(gè)式子是否為二次根式,應(yīng)根據(jù)以下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)判斷：

①是否含有二次根號(hào)

②被開方數(shù)是否為韭負(fù)量.

若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都符合，則是二^根式;若只符合其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，則不是二次根式.

（3）形如2?（^>0）的式子也是二次根式，其中土叫做二次根式的星數(shù),它表示的是：（。川）；

（4）根據(jù)二次根式有意義的條件，若二次根式dA-B與y/B-A都有意義，則有A=3.

二、二次根式的性質(zhì)

（1）雙重非負(fù)性:'K）,“汕（主要用于字母的求值）

（2）回歸性：（、份）（。對(duì)）；（主要用于二次根式的計(jì)算）

后=冏=卜（心⑴

（3）轉(zhuǎn)化性:（主要用于二次根式的化簡(jiǎn)）

三、重要結(jié)論：

（1）若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為。，則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.

若MI+B2+兀=0.則A=0,8=0,C=0.

應(yīng)用與書寫規(guī)范:V|A|+fi2+Vc=0,|A|>0,B2>0,Vc>0

:.4=0,3=0,C=0.

該性質(zhì)常與配方法結(jié)合求字母的值.

（2）&A_B）2=|A—B|=-j?；主要用于二次根式的化簡(jiǎn).

I15—ASU）

,、r-[J-2.8（A>0）

（3）Ay/B=\__L，其中BK）；

[-ylA2B（A<0）

該結(jié)論主要用于某些帶系數(shù)的二次根式的化簡(jiǎn):可以考慮把二次根號(hào)外面的系數(shù)根據(jù)符號(hào)以平方的形式移到根號(hào)內(nèi),

以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

（4）（A標(biāo)）2=A??B,其中B>0.該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算.

第17章勾股定理

一、勾股定理

文字語言符號(hào)語言圖示變式應(yīng)用

如果直角三角形的兩條

直角三角形兩c=\/a2+b2\

a2=c2-

B

直角邊長(zhǎng)分別為。力，斜

直角邊的平方廣/a勾

b2;b2=a=c2—b2;

邊長(zhǎng)為C,那么

和等于斜邊的A^-_________If

b弦c2-a2.22

平方b=\Jc-a.

二、勾股定理的逆定理與勾股定理的聯(lián)系與區(qū)別

勾股定理勾股定理的逆定理

條件在RtAABC中，“=90。二在AABC中，”2+從=。2：

結(jié)論a2+及=/ZC=90°

勾股定理以“一個(gè)三角形是直角三角勾股定理的逆定理以“一個(gè)三角形的三邊滿

形”為條件，進(jìn)而得到數(shù)量關(guān)系

區(qū)別足H+b2=。2”為條件，進(jìn)而得到“這個(gè)三角

222,,

“a+b=ct即由“形”到“數(shù)”形是直角三角形”，即由"數(shù)''到"形

聯(lián)系兩者都與三角形的三邊有關(guān)系

【延伸】

設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為"/c（C為最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)）.如果/+從入2,那么這個(gè)三角形是直角三角形；如果“2+弁

那么這個(gè)三角形是迪魚三角形；如果/+從,C?,那么這個(gè)三角形是銀魚三角形.

第18章平行四邊形

一、平行四邊形的性質(zhì)

tltt、、/、=.

性質(zhì)數(shù)學(xué)語百圖示

邊平行四邊形的對(duì)四邊形ABCD是平行四邊形，AD

邊相等/.AD=BC,AB=CD口

BC

角平行四邊形的對(duì)四邊形ABC。是平行四邊形，

角相等.\ZA=ZC,ZB=ZD

對(duì)角線平行四邊形的對(duì)四邊形ABCD是平行四邊形，AD

角線互相平分：.OA=OC^^AC,OB^OD=^BD

BC

【拓展延伸】

（1）證明平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，一般通過作對(duì)角線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解答.

（2）平行四邊形的性質(zhì)為證明線段堊行或相箜、角相等提供了理論依據(jù).

（3）平行四邊形的每條對(duì)角線都將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形.

2

（4）平行四邊形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形的醛相等，每個(gè)小三角形的面積都等于平行四邊形面積亞.；相

鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)叁的絕對(duì)值等于平行四邊形兩鄰邊之差的絕對(duì)值.

【規(guī)律方法】

（1）平行四邊形的鄰角互補(bǔ)；

（2）若一條直線經(jīng)過平行四邊形兩條對(duì)角線的交直，則該直線堊分平行四邊形的整和面積.

二、平行四邊形的判定方法

判定方法數(shù)學(xué)語百圖形

兩組對(duì)邊分別堊行的四邊AD//BQAB//CD,

形是平行四邊形.（定義）四邊形ABCQ是平行四邊形.

兩組對(duì)邊分別相箜的四邊AD=BC,AB=CD,

邊

形是平行四邊形.四邊形ABCD是平行四邊形.

一組對(duì)邊平行且相等的四AD//BC（或4他CD）,

邊形是平行四邊形.口

四邊形ABCD是平行四邊形.

ZDAB=ZDCB,ZABC=

兩組對(duì)角分別粗箜的四邊

角ZADC,

形是平行四邊形.

四邊形ABCD是平行四邊形.

對(duì)

對(duì)角線互相平分的四邊形OA=OC,OB=OD,

角

是平行四邊形.四邊形ABC。是平行四邊形.

線

三、三角形的中位線

A

DE〃BCn

中位線所截得的三角形與原三角形

中位線

DE=-BC相似，其相似比為b2,面積比為L(zhǎng)4

2

BLA--------

四、兩條平行線之間的距離

1.兩條平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意二直到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.

2.性質(zhì)：如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相箜，即平行線間的距離處處夠.

五、矩形的定義及其性質(zhì)

1.矩形：有一個(gè)角是直魚的生疝四邊形叫做矩形.

【注意】

（1）矩形是特殊的西四邊形，但王任四邊形不一定是矩形.

（2）矩形必須具備兩個(gè)條件：①是平行四邊形;②有一個(gè)角是直魚.這兩個(gè)條件缺一不可.

（3）矩形的定義可以作為判定一個(gè)四邊形是矩形的方法.

2.矩形的性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有自身獨(dú)特的性質(zhì)（見下表）.

性質(zhì)數(shù)學(xué)語占圖形

矩形的四個(gè)角都是直四邊形ABC。是矩形，D

角

角

:.ZA=ZB=ZC=ZD=90°AB

四邊形ABC。是矩形，

對(duì)角線矩形的對(duì)角線相差DC

.\AC=BDX

對(duì)稱性矩形是軸對(duì)稱圖形,它有兩條對(duì)稱軸

【注意】

（1）矩形的性質(zhì)可歸結(jié)為三個(gè)方面.①邊：矩形的對(duì)邊平行且相等，鄰邊互相垂直.②角：矩形的四個(gè)角都是直角.③對(duì)

角線：矩形的對(duì)角線互相平分且相等.

（2）矩形的兩條對(duì)稱軸分別是兩對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線，對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn).

（3）矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，這四個(gè)三角形的面積相等.

六、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)

wr—i—

性質(zhì)數(shù)學(xué)語占主要應(yīng)用圖示

如圖所示，在中，

直角三角形斜邊

ZACB=9Qo,AD=BD,證明線段倍

上的中線等于斜

(或CD=AD分、相等關(guān)系

邊的一半2

=BD)

【拓展】該性質(zhì)的逆命題“如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形''仍然成立,

它可以用來判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形.

矩形的判定

4〃、、，XT-、

判定方法數(shù)學(xué)語百圖形

在ABCD中，

有一個(gè)角是直魚的平行四L

ZABC=90°,

邊形是矩形（定義）

角AfiCZ)是矩形.

有三個(gè)角是直魚的四邊形在四邊形中，

B------------7■?

是矩形?.NA=N8=NC=90。，

..四邊形A8CD是矩形.

在ABCD41.AD

對(duì)角線相簽的堊行四邊形

對(duì)角線AC=BD,

是矩形

MABC。是矩形區(qū)

BC

七、菱形的定義及其性質(zhì)

1.菱形：有一組鄰邊相等平行四邊形叫做菱形.

【注意】

(1)菱形必須具備兩個(gè)條件：①是堊如四邊形；②是有一組鄰邊相簽.這兩個(gè)條件缺一不可.

(2)菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的判定方法.

2.菱形的性質(zhì)：菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有自身獨(dú)特的性質(zhì)，總結(jié)見下表.

山，、、，XT-,4.

性質(zhì)數(shù)學(xué)語百圖形

菱形的四條邊都四邊形ABC。是菱形，

邊

相等:.AB=BC=CD=AD.A

菱形的兩條對(duì)角四邊形ABC。是菱形，

巷互相垂直,并且:.BD±AC,

對(duì)角線5令。

每一條對(duì)角線平Z.DAC=ABAC,ZACD=NAC仇

分一組對(duì)角ZABD=/CBD,ZADB=ZCDB.c

對(duì)稱性菱形是軸對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸

【注意】

(1)菱形的兩條對(duì)稱軸分別是兩條對(duì)角線所在直線.

(2)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，且把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形.把菱形的性質(zhì)與勾股定理相聯(lián)系，可得對(duì)角線

與邊之間的關(guān)系，即邊長(zhǎng)的平方等于兩條對(duì)角線一半的平方和.

(3)如果菱形的一個(gè)內(nèi)角為60。，那么菱形的兩條邊與較短的對(duì)角線構(gòu)成的三角形為等邊三角形.

3.菱形的面積

Uft、、/、=、，

公式由來文字語言數(shù)學(xué)語百圖示

菱形是平行菱形的面積=

菱形S菱形ABCD=BC.AE/D

四邊形.底乂局.

的面

菱形的面積=

積公菱形的對(duì)角

對(duì)角線長(zhǎng)的S菱形AB。。=5A。?BD

式線互相垂直BEC

乘積的一半

【拓展】對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.

八、菱形的判定

、、，、T-、

判定方法數(shù)學(xué)語百圖示

有一組鄰邊相等的在，ABCD,

軍任四邊形是菱形AB=BC,

A

(定義)..?“ABCD是菱形.

邊

在四邊形A8CO中，

四條邊粗箜的四邊

AB=BC=CD=AD,C

形是菱形.

..四邊形ABC。是菱形.

在中，/

對(duì)角對(duì)角線互相垂直的

ACYBD,P_____

線西四邊形是菱形

,?,(A8CD是菱形.(r

九、正方形的定義及其性質(zhì)

1.正方形：有一組鄰邊相箜且有一個(gè)角是直魚的西四邊形叫做正方形.

【注意】

(1)正方形必須具備三個(gè)條件：①是平行四邊形;②有一組鄰邊相等；③有一個(gè)角是直魚.這三個(gè)條件缺一不可.

(2)正方形的四條邊都相等，說明正方形時(shí)特殊的菱形；正方形的各個(gè)角都是直角，說明正方形時(shí)特殊的短形.即正方

形不僅是特殊的平行四邊形，也是特殊的翅形和菱形.

2.正方形的性質(zhì)

正方形具有平行四邊形、矩形和菱形的所有性質(zhì).

元素性質(zhì)

邊對(duì)邊平行,四條邊都相等

角四個(gè)角都是直魚

對(duì)角線兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)通

對(duì)稱性是軸對(duì)稱圖形,有四條對(duì)稱軸

【注意】

(1)矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，它們之間的關(guān)系如圖所示.

(2)正方形的面積=邊長(zhǎng)的平方=兩條對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半.

(3)正方形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解決問題時(shí)常用到等腰三角形和直角三

角形的性質(zhì).

十、正方形的判定

1.先證明是矩形，再從矩形出發(fā)：(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形;(2)對(duì)角線互相垂直的維是正方形.

2.先證明是菱形，再從菱形出發(fā)：(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;(2)對(duì)角線擔(dān)差的菱爬是正方形.

【注意】

(1)由上面的判定方法可以得到判定一個(gè)四邊形為正方形的一般順序?yàn)椋合扰卸ㄋ倪呅问瞧叫兴倪呅?，再判定該平?/p>

四邊形是矩形或菱形，最后判定該矩形或菱形是正方形.

第19章一次函數(shù)

一、一次函數(shù)的概念及性質(zhì)

概念一般地，形如丫="+6_(幺，是常數(shù)，*#01_的函數(shù),叫做一次函數(shù)(特別

地，當(dāng)％=0時(shí),y=一是正比例函數(shù))

k的作用k的符號(hào)O函數(shù)增減性或圖象的傾斜方向;內(nèi)o直線的傾斜程度

/2的作用b的符號(hào)o直線與y軸交點(diǎn)的位置

圖象女>0k<0

y[b>0

吃

經(jīng)過的象b>Qb=0b<Qb>0b=0b<0

限\-------一、三、四一、二、四二、ra二、三、四

增減性y隨的增大而增大y隨的增大而減小

與坐標(biāo)軸令廣。，求對(duì)應(yīng)的值，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為2;

的交點(diǎn)

令x=0,求對(duì)應(yīng)的y值，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為”.

二、一次函數(shù)圖象的平移

平移情況解析式變化情況【溫馨提示】

向上平移"(〃>0)個(gè)單位y=kx+b^>y=kx+b^n(1)簡(jiǎn)記為“左加右減自變量,上加下

向下平移〃(〃>0)個(gè)單位y=kx+h=>y=kx+b—n減常數(shù)項(xiàng)”;

向左平移m(m>0)個(gè)單位y=kx+b=>y=k(x+in)+b(2)直線y=fcr+b可以看作由直線

向右平移向加>0）個(gè)單位y=kX+b^y=k{x-m）+b,=履向上或向下平移回個(gè)單位得到

【拓展】

同一平面直角坐標(biāo)系中兩直線4：y=ktx+bt（kt*0）,/2：y=&川+久（內(nèi)片0）的位置關(guān)系

%,右,々也的關(guān)系4與的關(guān)系

k\*42/,與/，相交

/,與/,相交于軸上的一點(diǎn)

k、—k-,,b、手Zz,/國堊任

三、一次函數(shù)的解析式

（1）謾：設(shè)所求一次函數(shù)的解析式為y=^+〃;

（2）代：將圖象上的點(diǎn)4（西,乂）,8（巧,坊）的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別代換x,y,

待定系數(shù)法

得到方程組「=一+?

的步驟

[必=KX2+b;

（3）解：解關(guān)于幺〃的值代入尸質(zhì)+8中，從而得到函數(shù)解析式

（1）兩點(diǎn)型：直接運(yùn)動(dòng)技鰥數(shù)法求解；

常見類型（2）平移型：由平移前后”不變,設(shè)出平移后的函數(shù)解析式，再代入已知點(diǎn)

坐標(biāo)即可

四、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系

1.一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系

（1）從“數(shù)''上看：函數(shù)丫=日+次女*0）中，當(dāng)y=0時(shí)，的值。方程.+Z?=°（.x°）的解.

（2）從“形”上看：函數(shù)v=fcr+仇1巨0）的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)o方程"+°=°僅70）的解

2.利用一次函數(shù)的圖象解一元一次方程的步驟

（1）轉(zhuǎn)化：將一元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)

（2）畫圖象：畫出一次函數(shù)的圖象

（3）找交直：找出一次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，則交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即一元一次方程的解.

【注意】

對(duì)于一次函數(shù)y="+8,已知的值，求y的值，或已知y的值求的值，就是把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于，或的一元一次方程來求

解.

【拓展】

方程履+〃=n（kxO）的解=函數(shù)y=kx+l?{kNO）中，y=〃時(shí)的值；方程Ax+Z>="（A豐0）的解o函數(shù)y=kx+b[k#0）的

圖象與直線y=〃的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

五、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

因?yàn)槿魏我粋€(gè)以為未知數(shù)的一元一次不等式都可以變形為"+6>0或反+b<0（/*0）的形式，所以解一元一次不等式

可以看成求一次函數(shù)丫=依+）的函數(shù)值大于0或小于0時(shí)，自變量的取值范圍.

一次函數(shù)>=履+匕與一元一次不等式Ax+6>0（或Ax+%<0）的關(guān)系如下：

不等于kx+b>0（A:H0）的解集O在函數(shù)y=Ax+b（kw0）中，

y>°時(shí)的取值范圍

數(shù)的角度

不等式Ax+〃vO（Aw0）的解集O在函數(shù)y=Ax+〃（AwO）中，

一次函數(shù)與

里1時(shí)的取值范圍

一元一次不

等式的關(guān)系不等式立+Z?>0（%。0）的解集O直線y=履+〃（女工0）在x

軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的的取值范圍

形的角度

不等式丘+6<0（4片0）的解集Q直線y=心:+仇4=0）在x

軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的的取值范圍

【拓展】

直線X=￡x+4與直線=k2x+b2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程勺x+4=42*+2的解；不等

式凹>力（或乂<%）的解集就是直線乂=匕》+々在直線N=&x+么上（或下）方部分對(duì)

應(yīng)的的取值范圍.如圖所示，方程A[x+偽=k2x+b2的解為x=a；不等式勺x+4>k2x+b2的

解集為x>a；不等式k]x+bl<k2x+b2的解集為x<a.

六、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系

------------------------相互轉(zhuǎn)化—LT——―---------------

一次函數(shù)一A"，屋V----~~?二兀一次方程Ih-/〃工川

一次函數(shù)U+h（A40）圖——對(duì)應(yīng)：二元一次方程I二

象上點(diǎn)的坐標(biāo)<’的解

2.二元一次方程組,"4,巴也都不為0,且/也,心也,酒都是常數(shù)）的解是一次函數(shù)尸-尹+藁

和）?=_會(huì)詈圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).

b2b2

【注意】每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，也就是對(duì)應(yīng)一條直線，因此每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)二亞

數(shù)，也就是對(duì)應(yīng)兩條直線.

3.用圖象法求二元一次方程組的解的一般步驟

\kx—v4-b—0

(1)變函數(shù)：把方程組J''1一八,化為一次函數(shù)v=4x+々與，=%/+久.

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