試題試題清單01集合及其運(yùn)算（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】元素與集合1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果是集合的元素，就說屬于，記作.(2)不屬于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.特別說明：表示一個(gè)元素，表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：.2集合元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.（2）互異性（考試?？继攸c(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性）：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的無序性.【清單02】集合的表示方法（1）自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時(shí)注意：①元素與元素之間必須用“，”隔開．②集合中的元素必須是明確的．③集合中的元素不能重復(fù)．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定義：一般地，設(shè)表示一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號或分號代替豎線．具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．（4）（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖?！厩鍐?3】子集一般地，對于兩個(gè)集合，，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個(gè)集合是它本身的子集，即.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單04】真子集的含義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個(gè)集合都不是是它本身的真子集.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單05】并集一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合稱為集合與集合的并集，記作（讀作：并）.記作：.并集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語言【清單06】交集一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.交集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語言【清單07】全集與補(bǔ)集全集：在研究某些集合的時(shí)候，它們往往是某個(gè)給定集合的子集，這個(gè)給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.補(bǔ)集：設(shè)是全集，是的一個(gè)子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補(bǔ)集，記作，即.補(bǔ)集的性質(zhì)：,,.【考點(diǎn)題型一】元素與集合的關(guān)系【解題方法】緊抓屬于（）和不屬于（）兩個(gè)關(guān)系【例1-1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知，則實(shí)數(shù)．【變式1-1】（23-24高一上·四川·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【例1-2】（23-24高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）非空集合A具有下列性質(zhì)：（1）若x、y∈A，則∈A；（2）若x、y∈A，則x+y∈A，下列判斷一定成立的是（

）①﹣1?A；②∈A；③若x、y∈A，則xy∈A；④若x、y∈A，則x﹣y?A．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【變式1-2】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知集合，且．（1）判斷是否為中元素（2）設(shè)，求證：（3）證明：若，則是偶數(shù)；【例1-3】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合中的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出中其他所有元素．(2)0是不是集合中的元素？請你取一個(gè)實(shí)數(shù)，再求出中的元素．【變式1-3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）（1）如果集合，，證明：．（2）如果集合，整數(shù)互素，那么是否存在x，使得x和都屬于B？若存在，請寫出一個(gè)；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)題型二】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【解題方法】緊抓屬于（）和不屬于（）兩個(gè)關(guān)系，同時(shí)注意回代檢查集合元素的互異性【例2-1】（23-24高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）設(shè)集合，若，則的值的集合為.【變式2-1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）已知集合A中的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？【例2-2】（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）集合，若且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型三】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【解題方法】分類討論+判別法【例3-1】（23-24高三上·黑龍江雙鴨山）已知集合，若中只有一個(gè)元素，則的值是（

）A． B．0或 C．1 D．0或1【變式3-1】（23-24高一上·山西朔州·階段練習(xí)）已知集合.若集合A中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3-2】（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知集合．（1）若中只有一個(gè)元素，求的值；（2）若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.【變式3-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若A中只有一個(gè)元素，求集合A；（2）若A中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍．【考點(diǎn)題型四】集合中元素的特性【解題方法】集合的互異性，確定性，無序性，特別注意互異性【例4-1】（多選）（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）由，，4組成一個(gè)集合A，且集合A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值不可能是（

）A．1 B．?2 C． D．2【變式4-1】（24-25高一上·全國·課堂例題）設(shè)集合中含有三個(gè)元素1，，，若，則.【例4-2】（23-24高一上·黑龍江·階段練習(xí)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值集合．【變式4-2】（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的值．【考點(diǎn)題型五】列舉法，描述法【解題方法】抓住集合表示方法的定義【例5-1】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）對集合用描述法來表示，其中正確的是（

）A． B．C． D．【變式5-1】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）集合，用列舉法表示集合．【例5-2】（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）用列舉法表示下列集合：(1)(2)．【變式5-2】（23-24高一上·陜西榆林·階段練習(xí)）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型六】子集（真子集）個(gè)數(shù)【解題方法】可以用公式計(jì)算或者直接列舉【例6-1】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式6-1】.（23-24高一上·上海嘉定）若集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)；【例6-2】（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）已知集合.（1）若集合A的子集只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若集合A中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值.【變式6-2】.（23-24高一上·貴州·階段練習(xí)）滿足的集合有個(gè).【考點(diǎn)題型七】根據(jù)集合關(guān)系求參數(shù)【解題方法】數(shù)軸法，列舉法，注意不要忽視空集【例7-1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合，，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式7-1】（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）設(shè)集合，，若，則（

）A． B．1 C．2 D．3【例7-2】（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）已知集合，，（1）若A為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若B是A的真子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【變式7-2】.10．（23-24高一上·廣東東莞）設(shè)集合.(1)當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；(2)若，求的取值范圍.【例7-3】（23-24高一上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知，，且，求的取值范圍.【變式7-3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a為常數(shù)}，若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)題型八】集合的綜合運(yùn)算【解題方法】并交補(bǔ)定義【例8-1】（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B．C． D．【變式8-1】（23-24高三上·湖南株洲）設(shè)全集，集合，，則（）A． B．C． D．【例8-2】（23-24高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知集合，或，當(dāng)時(shí).求：(1)；(2).【變式8-2】（23-24高一上·陜西寶雞）設(shè)集合，，求，，.【考點(diǎn)題型九】根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【解題方法】根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果，推出包含關(guān)系，借助數(shù)軸或通過列舉求參數(shù)【例9-1】（23-24高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知集合，.(1)若時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式9-1】.（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）設(shè)集合．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例9-2】（23-24高一上·湖南·階段練習(xí)）已知集，，，.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.【變式9-2】（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期中）已知集合或，集合．（1）若求和；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)題型十】實(shí)際問題中的集合問題【解題方法】利用圖解【例10-1】（24-25高一上·河南駐馬店·開學(xué)考試）學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（1）班共有28名學(xué)生參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，只參加一項(xiàng)比賽的有（）人．A．3 B．9 C．19 D．14【變式10-1】（2024·北京東城·模擬預(yù)測）高二一班共有學(xué)生50人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇三門課程進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理、化學(xué)、生物的學(xué)生各有至少20人，這三門課程都不選的有10人，這三門課程都選的有10人，在這三門課程中選擇任意兩門課程的都至少有13人，物理、化學(xué)只選一科的學(xué)生都至少6人，那么選擇物理和化學(xué)這兩門課程的學(xué)生人數(shù)至多（

）A．16 B．17 C．18 D．19【例10-2】（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）七寶中學(xué)2020年的“藝術(shù)節(jié)”活動(dòng)正如火如荼準(zhǔn)備中，高一某班學(xué)生參加大舞臺和風(fēng)情秀兩個(gè)節(jié)目情況如下：參加風(fēng)情秀的人數(shù)占該班全體人數(shù)的八分之三；參加大舞臺的人數(shù)比參加風(fēng)情秀的人數(shù)多3人；兩個(gè)節(jié)目都參加的人數(shù)比兩個(gè)節(jié)目都不參加的學(xué)生人數(shù)少7人，則此班的人數(shù)為.【變式10-2】（23-24高一上·江西南昌）某班參加數(shù)?理?化競賽時(shí)，有24名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名同學(xué)參加物理競賽，19名同學(xué)參加化學(xué)競賽，其中三科競賽都參加的有7人，只參加數(shù)?理兩科的5人，只參加物?化兩科的3人，只參加數(shù)?化兩科的4人，若該班學(xué)生共50名，則沒有參加任何一科競賽的學(xué)生有人【考點(diǎn)題型十一】集合中的新定義題（解答題）【例11-1】（23-24高一上·上海黃浦）設(shè)，若，則稱A為集合M的元“好集”．(1)寫出實(shí)數(shù)集的一個(gè)二元“好集”；(2)請問正整數(shù)集上是否存在二元“好集”？說明理由；(3)求出正整數(shù)集上的所有三元“好集”．【變式11-1】.（23-24高一上·上海黃浦·階段練習(xí)）已知集合具有性質(zhì)：對任意，（），與至少一個(gè)屬于.(1)分別判斷集合，與是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)證明：；(3)具有性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，求集合.【例11-2】（23-24高一上·北京）給定數(shù)集A，若對于任意a，，有，，則稱集合A為閉集合.(1)判斷集合，是否為閉集合，并給出證明；(2)若集合C，D為閉集合，則是否一定為閉集合？請說明理由；(3)若集合C，D為閉集合，且，，證明：.【變式11-2】（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）對于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”.(1)判斷集合與是否為“和諧集”（不必寫過程）；(2)求證：若集合是“和諧集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)；(3)若集合是“和諧集”，求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值.提升訓(xùn)練一、單選題1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知集合，且，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·河南南陽·階段練習(xí)）集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（21-22高一上·江西贛州·周測）已知集合中至多含有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．4．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）設(shè)集合，，若，則（

）A．2 B． C．1 D．6．（24-25高一上·河南駐馬店·開學(xué)考試）已知集合A滿足，，則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．8個(gè)7．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）某班班主任對全班女生進(jìn)行了關(guān)于對唱歌、跳舞、書法是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項(xiàng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書法，同時(shí)喜歡唱歌和跳舞的有12人，同時(shí)喜歡唱歌和書法的有6人，同時(shí)喜歡跳舞和書法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為（

）A．27 B．23 C．25 D．298．（24-25高二上·山西太原·開學(xué)考試）已知集合，，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·貴州黔南·二模）已知非空集合，，均為的真子集，且.則（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·湖北荊州·期末）給定集合P，Q，定義且，若，，則（

）A． B．C． D．三、填空題11．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）若集合，則．12．（21-22高一上·云南文山·期末）已知集合且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．四、解答題13．（24-25高一上·福建漳州·開學(xué)考試）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，求滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合．14．（23-24高一下·上海楊浦·期中）已知集合，集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)若，求實(shí)數(shù)的值15．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）已知為實(shí)數(shù)，，．(1)當(dāng)時(shí)，求的取值集合；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值集合.16．（22-23高一上·北京平谷·期末）設(shè)A是正整數(shù)集的非空子集，稱集合，且為集合A的生成集．(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；(2)若A是由5個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；(3)判斷是否存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．清單01集合及其運(yùn)算（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】元素與集合1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果是集合的元素，就說屬于，記作.(2)不屬于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.特別說明：表示一個(gè)元素，表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：.2集合元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.（2）互異性（考試?？继攸c(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性）：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的無序性.【清單02】集合的表示方法（1）自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時(shí)注意：①元素與元素之間必須用“，”隔開．②集合中的元素必須是明確的．③集合中的元素不能重復(fù)．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定義：一般地，設(shè)表示一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號或分號代替豎線．具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．（4）（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。【清單03】子集一般地，對于兩個(gè)集合，，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個(gè)集合是它本身的子集，即.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單04】真子集的含義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個(gè)集合都不是是它本身的真子集.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單05】并集一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合稱為集合與集合的并集，記作（讀作：并）.記作：.并集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語言【清單06】交集一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.交集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語言【清單07】全集與補(bǔ)集全集：在研究某些集合的時(shí)候，它們往往是某個(gè)給定集合的子集，這個(gè)給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.補(bǔ)集：設(shè)是全集，是的一個(gè)子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補(bǔ)集，記作，即.補(bǔ)集的性質(zhì)：,,.【考點(diǎn)題型一】元素與集合的關(guān)系【解題方法】緊抓屬于（）和不屬于（）兩個(gè)關(guān)系【例1-1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知，則實(shí)數(shù)．【答案】，或【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、判斷元素與集合的關(guān)系【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系列方程，再驗(yàn)證互異性即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?），解得或，當(dāng)時(shí)，與集合的互異性矛盾，舍去；（2），解得或；（3），解得，與集合的互異性矛盾，舍去；綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值可以為或或；故答案為：，或【變式1-1】（23-24高一上·四川·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】集合為一個(gè)點(diǎn)集，根據(jù)元素與集合的關(guān)系得到答案.【詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，從而點(diǎn)在拋物線上，即.故選:C.【例1-2】（23-24高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）非空集合A具有下列性質(zhì)：（1）若x、y∈A，則∈A；（2）若x、y∈A，則x+y∈A，下列判斷一定成立的是（

）①﹣1?A；②∈A；③若x、y∈A，則xy∈A；④若x、y∈A，則x﹣y?A．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】C【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】對于①：假設(shè)，令，由已知推出矛盾，可判斷①；對于②：由題意知，，再得，，從而判斷②；對于③：由，得，，結(jié)合性質(zhì)可判斷③；對于④：，由，，可判斷④.【詳解】解：對于①：假設(shè)，則令，則，，令，則，令，不存在，即，矛盾，所以，故①對；對于②：由題意知，，則，，故②正確；對于③：，，故③正確；對于④：，若，則，故④錯(cuò)誤，所以一定成立的是①②③，故選：C.【變式1-2】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知集合，且．（1）判斷是否為中元素（2）設(shè)，求證：（3）證明：若，則是偶數(shù)；【答案】（1）不是集合中元素；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)集合元素的屬性判斷；（2）根據(jù)，由化簡，由集合元素的屬性判斷；（3）根據(jù)，由化簡判斷.【詳解】（1）因?yàn)?，此時(shí)：，不滿足，所以不是集合中元素.（2）因?yàn)?，則，，，因?yàn)槎际钦麛?shù)，所以.（3）因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以為偶?shù)即為偶數(shù).【例1-3】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合中的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出中其他所有元素．(2)0是不是集合中的元素？請你取一個(gè)實(shí)數(shù)，再求出中的元素．【答案】(1)中其他所有元素為，，2；(2)0不是的元素，當(dāng)，中的元素是：3，，，．【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、判斷元素與集合的關(guān)系【分析】（1）根據(jù)定義直接計(jì)算即可得到中其他所有元素；（2）先假設(shè)，依定義判斷即可；取，根據(jù)定義直接計(jì)算即可得到中其他所有元素．【詳解】（1）由題意可知：，則，，，，所以中其他所有元素為，，2．（2）假設(shè)，則，而當(dāng)時(shí)，不存在，假設(shè)不成立，所以0不是的元素，取，則，，，，所以當(dāng)，中的元素是：3，，，．【變式1-3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）（1）如果集合，，證明：．（2）如果集合，整數(shù)互素，那么是否存在x，使得x和都屬于B？若存在，請寫出一個(gè)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）（答案不唯一）.【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】(1)設(shè)，，，計(jì)算即可得．(2)設(shè)（整數(shù)m，n互素），則有，由題意可得當(dāng)時(shí)，且，只需m，n取互素的整數(shù)即可.【詳解】解:（1）證明：因?yàn)?，所以可設(shè)，，其中，，，，則．由，，，，可知，，因此．（2）設(shè)，則（整數(shù)m，n互素），所以．若，則與是互素的整數(shù)．又m與n互素，所以，所以當(dāng)m，n互素，且時(shí)，且．如取，，得，．綜上，存在x，使得x與都屬于集合B，如．（注：x的取值不唯一．）【考點(diǎn)題型二】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【解題方法】緊抓屬于（）和不屬于（）兩個(gè)關(guān)系，同時(shí)注意回代檢查集合元素的互異性【例2-1】（23-24高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）設(shè)集合，若，則的值的集合為.【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】運(yùn)用元素與集合之間的關(guān)系，分類討論計(jì)算即可【詳解】若，即時(shí)，，不滿足互異性，若，即或時(shí)，同理可驗(yàn)證時(shí)不滿足互異性，成立，若，即或，驗(yàn)證都不滿足互異性.綜上，.故答案為：【變式2-1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）已知集合A中的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？【答案】(1)A中其他所有元素為，，2(2)0不是A的元素【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)元素與集合的關(guān)系得出其他元素；（2）利用反證法結(jié)合元素與集合的關(guān)系求解即可.【詳解】（1）由題意可知：，則，，，，所以A中其他所有元素為，，2．（2）假設(shè)，則，而當(dāng)時(shí)，不存在，假設(shè)不成立，所以0不是A的元素.【例2-2】（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）集合，若且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)元素與集合的從屬關(guān)系列出限制條件可得答案.【詳解】因?yàn)榍遥郧?，解?故選：B.【變式2-2】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】利用元素與集合的關(guān)系，列式求解即得.【詳解】依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【考點(diǎn)題型三】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【解題方法】分類討論+判別法【例3-1】（23-24高三上·黑龍江雙鴨山）已知集合，若中只有一個(gè)元素，則的值是（

）A． B．0或 C．1 D．0或1【答案】B【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】集合只含有一個(gè)元素，說明方程只有一個(gè)解.時(shí)，方程為一元一次方程，只有一個(gè)解，符合條件；時(shí)，方程為一元二次方程，若方程只有一個(gè)解，需判別式，所以解出即可，這樣的值就都求出來了.【詳解】集合中只含有一個(gè)元素，也就意味著方程只有一個(gè)解；（1）當(dāng)時(shí)，方程化為，只有一個(gè)解；（2）當(dāng)時(shí)，若只有一個(gè)解，只需，即；綜上所述，可知的值為或.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一個(gè)解的充要條件，屬于中檔題.【變式3-1】（23-24高一上·山西朔州·階段練習(xí)）已知集合.若集合A中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】因集合是方程的解集，欲使集合至多有一個(gè)元素，只須此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或沒有實(shí)數(shù)根，或只有一個(gè)實(shí)根，下面對進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：集合至多有一個(gè)元素，分類討論：①當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)元素，符合題意；②當(dāng)時(shí)，要至多有一個(gè)元素，則必須方程：有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或沒有實(shí)數(shù)根，，得：，，綜上所述：或．故選：．【點(diǎn)睛】本小題主要元素與集合關(guān)系的判斷、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．【例3-2】（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知集合．（1）若中只有一個(gè)元素，求的值；（2）若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)以及方程的解即可確定的取值范圍.【詳解】解：（1）若中只有一個(gè)元素，則當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋藭r(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，，即，故當(dāng)或時(shí)，原方程只有一個(gè)解；（2）中至少有一個(gè)元素，即中有一個(gè)或兩個(gè)元素，由得綜合（1）當(dāng)時(shí)中至少有一個(gè)元素；（3）中至多有一個(gè)元素，即中有一個(gè)或沒有元素當(dāng)，即時(shí)原方程無實(shí)數(shù)解，結(jié)合（1）知當(dāng)或時(shí)中至多有一個(gè)元素.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是理解集合中的元素與方程的根之間的關(guān)系.【變式3-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若A中只有一個(gè)元素，求集合A；（2）若A中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍．【答案】（1）a＝0時(shí)，A＝{}，當(dāng)a＝時(shí)，A＝{}；（2）.【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】（1）方程只有一個(gè)根，對二次項(xiàng)系數(shù)a是否為0，進(jìn)行分類討論即可求解；（2）二次項(xiàng)系數(shù)a是否為0，進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】(1)因?yàn)榧螦是方程ax2－3x＋2＝0的解集，則當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{}，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2－3x＋2＝0應(yīng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此時(shí)A＝{}，符合題意．綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{}，當(dāng)a＝時(shí)，A＝{}．(2)由(1)可知，當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{}符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程ax2－3x＋2＝0有實(shí)數(shù)根，則Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.所以a≤綜上所述，若集合A中至少有一個(gè)元素，則a的取值范圍為.【考點(diǎn)題型四】集合中元素的特性【解題方法】集合的互異性，確定性，無序性，特別注意互異性【例4-1】（多選）（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）由，，4組成一個(gè)集合A，且集合A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值不可能是（

）A．1 B．?2 C． D．2【答案】ABD【知識點(diǎn)】利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】將四個(gè)選項(xiàng)逐一代入驗(yàn)證是否滿足集合的三個(gè)特性即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的值分別為，元素不滿足互異性，不能構(gòu)成集合，A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的值分別為，元素不滿足互異性，不能構(gòu)成集合，B錯(cuò)；當(dāng)a=?1時(shí)，對應(yīng)的值分別為，元素滿足的互異性，能構(gòu)成集合，C對；當(dāng)a=2時(shí)，對應(yīng)的值分別為，元素不滿足互異性，不能構(gòu)成集合，D錯(cuò).故選：ABD【變式4-1】（24-25高一上·全國·課堂例題）設(shè)集合中含有三個(gè)元素1，，，若，則.【答案】或5【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】根據(jù)題意可得，或，求出后，再由集合中的元素具有互異性分析判斷即可.【詳解】因?yàn)榧现泻腥齻€(gè)元素1，，，且，所以，或，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)集合中含有三個(gè)元素1，4，25，符合題意，當(dāng)時(shí)，得或，當(dāng)時(shí)，集合中只有兩個(gè)元素1，4，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，集合中含有三個(gè)元素1，4，，符合題意，綜上，或.故答案為：或5【例4-2】（23-24高一上·黑龍江·階段練習(xí)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值集合．【答案】【知識點(diǎn)】利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】讓集合中每個(gè)元素等于1，求出值，然后檢驗(yàn)是否符合互異性即可得【詳解】解：因?yàn)?，所以①若，解得，此時(shí)集合為，元素重復(fù)，所以不成立，即②若，解得或，當(dāng)時(shí)，集合為，滿足條件，即成立．當(dāng)時(shí)，集合為，元素重復(fù)，所以不成立，即③若，解得或，由①②知都不成立．所以滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合為【變式4-2】（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】.【知識點(diǎn)】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系，列方程求解并驗(yàn)證作答.【詳解】集合，因，則或，解得：，此時(shí)，矛盾，即，解得：，則有，當(dāng)時(shí)，，符合題意，則，所以實(shí)數(shù)a的值是.【考點(diǎn)題型五】列舉法，描述法【解題方法】抓住集合表示方法的定義【例5-1】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）對集合用描述法來表示，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】描述法表示集合、列舉法表示集合【分析】根據(jù)給定的集合的公共屬性及各選項(xiàng)中集合表示的數(shù)的特征判斷即得.【詳解】集合是不超過5的正整數(shù)的倒數(shù)形成的集合，對于AB，集合AB中的有負(fù)數(shù)，AB不是；對于C，集合中沒有，C不是；對于D，滿足對集合的描述，D是.故選：D【變式5-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）集合，用列舉法表示集合．【答案】【知識點(diǎn)】列舉法表示集合、描述法表示集合【分析】理解“且”連接的是需要同時(shí)滿足，求出條件下的取值，再選出滿足即可．【詳解】解：∵，∴，即．∵，∴．【例5-2】（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）用列舉法表示下列集合：(1)(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】列舉法表示集合、描述法表示集合【分析】根據(jù)題意，分別用列舉法表述即可．【詳解】（1），∴或，；（2），，．【變式5-2】（23-24高一上·陜西榆林·階段練習(xí)）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】列舉法表示集合【分析】首先解不等式組，再用列舉法表示即可.【詳解】由，解得，所以.故選：C【考點(diǎn)題型六】子集（真子集）個(gè)數(shù)【解題方法】可以用公式計(jì)算或者直接列舉【例6-1】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)集合有7個(gè)真子集，由集合中包含3個(gè)元素求解.【詳解】解：因?yàn)榧嫌?個(gè)真子集，所以集合中包含3個(gè)元素，所以，解得.故選：A【變式6-1】.（23-24高一上·上海嘉定）若集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)；【答案】0或2或18【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)、判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】集合有且僅有兩個(gè)子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是單元素集合，即方程只有一個(gè)根或兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，分和兩種情況求出實(shí)數(shù)即可.【詳解】∵集合有且僅有兩個(gè)子集,∴集合中有且僅有一個(gè)元素,即方程有一個(gè)根或者兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,滿足題意;當(dāng)時(shí),令,解得或.綜上,或或.故答案為：0或2或18.【例6-2】（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）已知集合.（1）若集合A的子集只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若集合A中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）；（2）0或1.【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)、空集的性質(zhì)及應(yīng)用、判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】(1)根據(jù)給定條件可得，再借助一元二次方程根的判別式列式作答；(2)根據(jù)給定條件確定方程只有一個(gè)根或者有兩個(gè)等根即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榧螦的子集只有一個(gè)，則，即方程無實(shí)數(shù)根，于是得，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）因?yàn)榧螦中有且只有一個(gè)元素，則方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根或者兩個(gè)相等實(shí)根，當(dāng)時(shí)，集合滿足題意，則，當(dāng)時(shí)，則，，集合滿足題意，即，所以實(shí)數(shù)a的值為0或1.【變式6-2】.（23-24高一上·貴州·階段練習(xí)）滿足的集合有個(gè).【答案】【知識點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算求出集合M即可．【詳解】，那么集合M中一定含所有1，2，3這三個(gè)元素，可以得1種.M，那么除去1，2，3這三個(gè)元素，還可以從4，5，6中取1個(gè)元素來構(gòu)成機(jī)構(gòu)集合的有3種，取2個(gè)元素的有3種，所以滿足題意的有種.故答案為：7.【考點(diǎn)題型七】根據(jù)集合關(guān)系求參數(shù)【解題方法】數(shù)軸法，列舉法，注意不要忽視空集【例7-1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合，，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】或【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)題意分和討論，在時(shí)分集合為單元素集和雙元素集兩種討論即可.【詳解】由題意知，若，則，解得，若，，解得或，當(dāng)時(shí)，則方程為，解得，此時(shí)，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，則方程為，解得，，不合題意，舍去，當(dāng)，即，解得或，則由題意知，則1,4為方程兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得，綜上所述的范圍是或.【變式7-1】（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）設(shè)集合，，若，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)子集關(guān)系，分別討論和，并檢驗(yàn)集合元素的互異性即可得結(jié)果．【詳解】由已知得，若，解得，此時(shí),，,1,，成立；若，解得，此時(shí),，,,，不成立；若，解得，此時(shí),，,3,，不成立；綜上所述：．故選：B．【例7-2】（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）已知集合，，（1）若A為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若B是A的真子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【知識點(diǎn)】空集的概念以及判斷、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用空集的意義列式作答；(2)利用集合的包含關(guān)系列出不等式組求解即得.【詳解】（1）因是空集，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（2）且B是A的真子集，則，解得，顯然，a-1=0與2a+1=1不同時(shí)成立，于是得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.【變式7-2】.10．（23-24高一上·廣東東莞）設(shè)集合.(1)當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)254(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】（1）由題得即可解決.（2）根據(jù)得，即可解決.【詳解】（1）由題知，，當(dāng)時(shí)，共8個(gè)元素，的非空真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)；（2）由題知，顯然，因?yàn)椋?，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.【例7-3】（23-24高一上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知，，且，求的取值范圍.【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、描述法表示集合【分析】由，得到或或，分類討論，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，集合，，因?yàn)?，可得或或，?dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，無解.綜上可得，實(shí)數(shù)的范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示方法，以及利用集合的包含關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍問題，其中解答中熟記集合間的包含關(guān)系，合理分類討論求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.【變式7-3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a為常數(shù)}，若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】對集合B分兩種情況：B＝?或B≠?，進(jìn)行討論：當(dāng)B＝?時(shí)，利用判別式直接求解；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)x2－4x＋a＝0根的情況即可求解.【詳解】由已知得A＝{1，2}．若BA，則集合B有兩種情況，B＝?或B≠?當(dāng)B＝?時(shí)，方程x2－4x＋a＝0無實(shí)根，∴，∴a＞4．當(dāng)B≠?時(shí)，若Δ＝0，則有a＝4，B＝{2}?A滿足條件；若Δ＞0，則1，2是方程x2－4x＋a＝0的根，但由根與系數(shù)的關(guān)系知矛盾，故Δ＞0不成立．∴當(dāng)B≠?時(shí)，a＝4．綜上所述，滿足BA時(shí)，a的取值范圍是．【考點(diǎn)題型八】集合的綜合運(yùn)算【解題方法】并交補(bǔ)定義【例8-1】（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算即可求解.【詳解】由，可得，故選：B【變式8-1】（23-24高三上·湖南株洲）設(shè)全集，集合，，則（）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算、并集的概念及運(yùn)算【分析】先求出集合B，結(jié)合補(bǔ)集和并集運(yùn)算即可.【詳解】,.故選：D.【例8-2】（23-24高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知集合，或，當(dāng)時(shí).求：(1)；(2).【答案】(1)或(2)【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算【分析】（1）求出集合A，再根據(jù)交集運(yùn)算即可；（2）先求實(shí)數(shù)上B的補(bǔ)集，再求并集運(yùn)算即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，或，或；（2）或，，.【變式8-2】（23-24高一上·陜西寶雞）設(shè)集合，，求，，.【答案】，，或【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】分別利用交集，并集，補(bǔ)集的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】由集合，，則

，或因此可得或又或，因此或或或.【考點(diǎn)題型九】根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【解題方法】根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果，推出包含關(guān)系，借助數(shù)軸或通過列舉求參數(shù)【例9-1】（23-24高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知集合，.(1)若時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【知識點(diǎn)】根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）先求出集合B，再求；（2）由，對集合B分類討論，求解.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，.所以.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以集合B可能為，，或.當(dāng)時(shí)，只需，解得：；當(dāng)或，則必有，所以或.若，有，不符合題意；若，有，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則1和2是的兩根.所以，無解.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式9-1】.（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）設(shè)集合．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）或或或或.【知識點(diǎn)】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)【分析】（1）由條件可知集合中包含元素2，所以代入求，并驗(yàn)證是否滿足條件；（2）由條件得，分和三種情況討論，得到的取值范圍.【詳解】由題意，（1）由可知，，即是方程的解，所以，即，解得：或，當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，滿足.所以實(shí)數(shù)的值是或；（2），所以，對于方程，①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，滿足條件；②當(dāng)時(shí)，，即，，不滿足條件；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)只需且，將2代入方程得，解得或，將代入方程得，解得，所以且且，綜上可知，的取值范圍是：或或或或【例9-2】（23-24高一上·湖南·階段練習(xí)）已知集，，，.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【知識點(diǎn)】根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)【解析】（1）當(dāng)，在，然后針對與分類討論求解；（2）若，則，，若，則只需或，然后解出的取值范圍.【詳解】解：（1）∵，∴或，∵，則,當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，，解得.綜上所述：.（2）由題可知，，，解得.若時(shí)，則只需:或，解得:.∴當(dāng)，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍問題，難度一般，解答時(shí)，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?，所以解答時(shí)注意空集的特殊性.【變式9-2】（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期中）已知集合或，集合．（1）若求和；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，直接進(jìn)行集合的并集和補(bǔ)集并集計(jì)算即可求解；（2）由題意可得再討論和時(shí)列不等式組，解不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合或，，可得，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)或，可得，綜上所述：或．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【考點(diǎn)題型十】實(shí)際問題中的集合問題【解題方法】利用圖解【例10-1】（24-25高一上·河南駐馬店·開學(xué)考試）學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（1）班共有28名學(xué)生參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，只參加一項(xiàng)比賽的有（）人．A．3 B．9 C．19 D．14【答案】C【知識點(diǎn)】利用Venn圖求集合、容斥原理的應(yīng)用【分析】利用文氏圖，列式求解.【詳解】設(shè)只參加田徑的人數(shù)為，同時(shí)參加田徑和球類比賽的人數(shù)為，只參加球類的人數(shù)為，則由韋恩圖得：，解得，所以只參加一項(xiàng)比賽的有人，故選：C．【變式10-1】（2024·北京東城·模擬預(yù)測）高二一班共有學(xué)生50人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇三門課程進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理、化學(xué)、生物的學(xué)生各有至少20人，這三門課程都不選的有10人，這三門課程都選的有10人，在這三門課程中選擇任意兩門課程的都至少有13人，物理、化學(xué)只選一科的學(xué)生都至少6人，那么選擇物理和化學(xué)這兩門課程的學(xué)生人數(shù)至多（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【知識點(diǎn)】集合的應(yīng)用、利用Venn圖求集合【分析】把學(xué)生50人看出一個(gè)集合，選擇物理科的人數(shù)組成為集合，選擇化學(xué)科的人數(shù)組成集合，選擇生物顆的人數(shù)組成集合，根據(jù)題意，作出韋恩圖，結(jié)合韋恩圖，即可求解.【詳解】把學(xué)生50人看出一個(gè)集合，選擇物理科的人數(shù)組成為集合，選擇化學(xué)科的人數(shù)組成集合，選擇生物顆的人數(shù)組成集合，要使選擇物理和化學(xué)這兩門課程的學(xué)生人數(shù)最多，除這三門課程都不選的有10人，這三門課程都選的有10人，則其它個(gè)選擇人數(shù)均為最少，即得到單選物理的最少6人，單選化學(xué)的最少6人，單選化學(xué)、生物的最少3人，單選物理、生物的最少3人，單選生物的最少4人，以上人數(shù)最少32人，可作出如下圖所示的韋恩圖，所以單選物理、化學(xué)的人數(shù)至多8人，所以至多選擇選擇物理和化學(xué)這兩門課程的學(xué)生人數(shù)至多人.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，畫出集合運(yùn)算的韋恩圖是解答本題的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及分析問題和解答問題的能力.【例10-2】（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）七寶中學(xué)2020年的“藝術(shù)節(jié)”活動(dòng)正如火如荼準(zhǔn)備中，高一某班學(xué)生參加大舞臺和風(fēng)情秀兩個(gè)節(jié)目情況如下：參加風(fēng)情秀的人數(shù)占該班全體人數(shù)的八分之三；參加大舞臺的人數(shù)比參加風(fēng)情秀的人數(shù)多3人；兩個(gè)節(jié)目都參加的人數(shù)比兩個(gè)節(jié)目都不參加的學(xué)生人數(shù)少7人，則此班的人數(shù)為.【答案】40【知識點(diǎn)】利用Venn圖求集合、集合的應(yīng)用【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，結(jié)合韋恩圖即可求解.【詳解】設(shè)為七寶中學(xué)高一某班全體學(xué)生，集合參加大舞臺的學(xué)生，集合參加風(fēng)情秀的學(xué)生，設(shè)兩個(gè)節(jié)目都參加的人數(shù)為，只參加風(fēng)情秀的人數(shù)為，兩個(gè)節(jié)目都不參加的人數(shù)為，只參加大舞臺的人數(shù)為，則由參加風(fēng)情秀的人數(shù)占該班全體人數(shù)的八分之三，得，解得，所以總的人數(shù)為人.故答案為：【變式10-2】（23-24高一上·江西南昌）某班參加數(shù)?理?化競賽時(shí)，有24名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名同學(xué)參加物理競賽，19名同學(xué)參加化學(xué)競賽，其中三科競賽都參加的有7人，只參加數(shù)?理兩科的5人，只參加物?化兩科的3人，只參加數(shù)?化兩科的4人，若該班學(xué)生共50名，則沒有參加任何一科競賽的學(xué)生有人【答案】5【知識點(diǎn)】利用Venn圖求集合【分析】本題首先可根據(jù)題意確定只參加數(shù)學(xué)競賽、只參加物理競賽以及只參加化學(xué)競賽的學(xué)生人數(shù)，然后用學(xué)生總數(shù)減去參加比賽的學(xué)生人數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由Venn圖表示，A，B，C分別代表參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)的人，因?yàn)閰⒓訑?shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科的有5名，只參加數(shù)、化兩科的有4名，只參加物、化兩科的有3名，分別填入Venn圖，又因?yàn)橛?4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名同學(xué)參加物理競賽，19名同學(xué)參加化學(xué)競賽，故只參加數(shù)學(xué)競賽的有名，只參加物理競賽的有名，只參加化學(xué)競賽的有名，則沒有參加任何一科競賽的學(xué)生有名，故答案為：5.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，能否明確題意中給出的各個(gè)條件之間的關(guān)系及用Venn圖表示集合是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力，體現(xiàn)了綜合性，是中檔題.【考點(diǎn)題型十一】集合中的新定義題（解答題）【例11-1】（23-24高一上·上海黃浦）設(shè)，若，則稱A為集合M的元“好集”．(1)寫出實(shí)數(shù)集的一個(gè)二元“好集”；(2)請問正整數(shù)集上是否存在二元“好集”？說明理由；(3)求出正整數(shù)集上的所有三元“好集”．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析；(3).【知識點(diǎn)】集合新定義、判斷元素與集合的關(guān)系【分析】（1）通過對元“好集”的理解寫出實(shí)數(shù)集的一個(gè)二元“好集”；（2）假設(shè)存在，利用作差法與整數(shù)的概念推出矛盾即可得證；（3）記正整數(shù)集上的一個(gè)三元“好集”為，利用條件可推得的值，進(jìn)而求得，從而得到正整數(shù)集上的所有三元“好集”.【詳解】（1）因?yàn)?，所以是?shí)數(shù)集的一個(gè)二元“好集”.（2）假設(shè)是正整數(shù)集上的一個(gè)二元“好集”，則，不妨設(shè)，則有，故，得，因?yàn)?<a1<a2，所以，而所以假設(shè)不成立，故正整數(shù)集上不存在二元“好集”.（3）設(shè)正整數(shù)集上的一個(gè)三元“好集”為，則，不妨設(shè)，則有，故，又因?yàn)榍?，所以，將其代入得，故，所以正整?shù)集上的所有三元“好集”為.【變式11-1】.（23-24高一上·上海黃浦·階段練習(xí)）已知集合具有性質(zhì)：對任意，（），與至少一個(gè)屬于.(1)分別判斷集合，與是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)證明：；(3)具有性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，求集合.【答案】(1)集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)，理由見解析(2)證明見解析(3).【知識點(diǎn)】集合新定義【分析】（1）由性質(zhì)定義判斷，（2）由性質(zhì)定義證明，（3）由（2）得，再由性質(zhì)定義求解，【詳解】（1）集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)理由如下：對集合，由于所以集合具有性質(zhì)；對集合，由于，故集合不具有性質(zhì).（2）由于，則，故，，故得證.（3）由于，故，又，故，又，故，.因此集合.【例11-2】（23-24高一上·北京）給定數(shù)集A，若對于任意a，，有，，則稱集合A為閉集合.(1)判斷集合，是否為閉集合，并給出證明；(2)若集合C，D為閉集合，則是否一定為閉集合？請說明理由；(3)若集合C，D為閉集合，且，，證明：.【答案】(1)不是閉集合，B為閉集合，證明見解析(2)不一定，理由見解析(3)證明見解析【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算、集合新定義【分析】（1）根據(jù)閉集合的定義判斷即可；（2）舉例子，，由，即可求解；（3）利用反證法，假設(shè)，由條件可得存在，，，，可得或，與和為閉集合矛盾，即可求證.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以不是閉集合；任取，，設(shè)，，，，則且，所以，同理，，故B為閉集合；（2）結(jié)論：不一定；不妨令，，則由（1）可知，D為閉集合，同理可證為閉集合，因?yàn)?，3，，因此，不一定是閉集合，所以若集合C，D為閉集合，則不一定為閉集合；（3）不妨假設(shè)，則由，可得存在且，故.同理，存在且，故，因?yàn)?，所以?若，則由C為閉集合且，得，與矛盾.若，則由D為閉集合且，得，與矛盾，綜上，不成立，故.【變式11-2】（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）對于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”.(1)判斷集合與是否為“和諧集”（不必寫過程）；(2)求證：若集合是“和諧集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)；(3)若集合是“和諧集”，求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值.【答案】(1)不是“和諧集”，不是“和諧集”(2)證明見解析(3)7【知識點(diǎn)】集合新定義【分析】（1）由“和諧集”的定義判斷（2）根據(jù)集合中元素總和與單個(gè)元素的奇偶性討論后證明（3）由（2）知為奇數(shù)，根據(jù)的取值討論后求解【詳解】（1）對于，去掉2后，不滿足題中條件，故不是“和諧集”，對于，去掉3后，不滿足題中條件，不是“和諧集”（2）設(shè)中所有元素之和為，由題意得均為偶數(shù)，故的奇偶性相同①若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，易得為奇數(shù)，②若為偶數(shù)，此時(shí)取，可得仍滿足題中條件，集合B也是“和諧集”，若仍是偶數(shù)，則重復(fù)以上操作，最終可得各項(xiàng)均為奇數(shù)的“和諧集”，由①知為奇數(shù)綜上，集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)（3）由（2）知集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)，顯然時(shí)，集合不是“和諧集”，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，若A為“和諧集”，去掉后，得，去掉后，得，兩式矛盾，故時(shí)，集合不是“和諧集”當(dāng)，設(shè)，去掉1后，，去掉3后，，去掉5后，，去掉7后，，去掉9后，，去掉11后，，去掉13后，，故是“和諧集”，元素個(gè)數(shù)的最小值為7提升訓(xùn)練一、單選題1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知集合，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、描述法表示集合【分析】根據(jù)描述法表示的集合元素特征，對選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以所以，故A錯(cuò)誤，B正確；所以，故C錯(cuò)誤；所以，故D錯(cuò)誤；故選：B．2．（23-24高三上·河南南陽·階段練習(xí)）集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【知識點(diǎn)】利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)，取值驗(yàn)證即可得集合中所有元素.【詳解】因?yàn)椋?，所以的可能取值為，分別代入可得，所以集合中共有8個(gè)元素.故選：D3．（21-22高一上·江西贛州·周測）已知集合中至多含有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】原問題轉(zhuǎn)化為方程至多只有一個(gè)根，分，即可求解.【詳解】由題意，原問題轉(zhuǎn)化為方程至多只有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程為，解得，此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，所以，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：D4．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)題意建立不等式求解即可.【詳解】由題意，且，解得，故選：B5．（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）設(shè)集合，，若，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)，可得或，分別確定，再進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)椋?所以或.若，此時(shí)，，不成立，故不合題意；若，此時(shí)，，成立.故.故選：C6．（24-25高一上·河南駐馬店·開學(xué)考試）已知集合A滿足，，則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．8個(gè)【答案】B【知識點(diǎn)】列舉法表示集合、子集的概念【分析】根據(jù)題意得到A中一定包含元素1，2，3，還有可能包含5，一定不包含4和6，從而得到集合A的個(gè)數(shù)為2個(gè).【詳解】集合A滿足，，∴集合A中一定包含元素