第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年江蘇省連云港市和安中學九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A.x+2y=5 B.x2-2x=-1 C.5x2-6y-2=0 D.2.已知⊙O的直徑為4，點O到直線l的距離為4，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無法判斷3.如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠BOD等于（）A.20°

B.30°

C.40°

D.60°4.下列說法中，正確的是（）A.長度相等的弧是等弧

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

C.如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弦相等，所對的圓周角也相等

D.在同圓或等圓中，90°的圓周角所對的弦是這個圓的直徑5.如圖是某地下停車場的平面示意圖，停車場的長為40米，寬為19米，停車場內(nèi)車道的寬度都相等.停車位的占地面積為352平方米.設停車場內(nèi)車道的寬度為x米，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A.（40-2x）（19-x）=352 B.（40+x）（19+x）=352

C.（40-x）（19-x）=352 D.（40-2x）（19-2x）=3526.若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為2，-3，則關(guān)于y的方程a（y-2）2+b（y-2）+c=0的兩根分別為（）A.2，-3 B.4，2 C.1，-3 D.4，-17.魏晉時期劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積.如圖，若用圓內(nèi)接正十二邊形的面積S1來近似估計⊙O的面積S，設⊙O的半徑為1，則S-S1=（）A.π-2

B.π-1

C.π-3

D.2π-38.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3.點P為△ABC內(nèi)一點，且滿足PA2+PC2=AC2.當PB的長度最小時，△ACP的面積是（）A.3

B.3

C.

D.二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。9.已知x=a是方程x2+2x=3的一個根，則代數(shù)式a2+2a+2022的值為

.10.如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，若∠DCE=72°，那么∠BOD的度數(shù)為______．

11.如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，P為切點，若兩圓半徑分別為5cm、13cm,則弦AB的長為

.

12.某中學九年級準備以單循環(huán)（每兩個班之間都進行一次比賽）的形式組織一次籃球比賽，這樣共有15場比賽，則參賽球隊有

個隊.13.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若四邊形OABC為菱形，則∠ADC是

°.

14.若關(guān)于x的一元二次方程（k-3）x2+2kx+k-2=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是

.15.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm,P，Q，M、N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止.已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm,當x=

時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形.

16.如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，過點B作BD⊥BC，且，連接AD，則AD的最大值為

.

三、解答題：本題共9小題，共102分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題20分)

解方程：

（1）；

（2）2x2+x-6=0；（配方法）

（3）2+2x=x2；（公式法）

（4）3（x-2）2=x（x-2）.18.(本小題8分)

如圖，已知△ABC.

（1）利用直尺和圓規(guī)作出△ABC的內(nèi)切圓；

（2）若△ABC的周長為24，面積為24，求它的內(nèi)切圓的半徑.19.(本小題8分)

超市以每件10元的價格購進了一批玩具，定價為20元時，平均每天可售出80個.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，玩具的單價每降1元，每天可多售出40個.如何定價才能使每天的利潤為1400元？20.(本小題10分)

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB=∠CDB．

（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；

（2）若AB=，AD=1，求CD的長度．

21.(本小題10分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有兩個實數(shù)根x1和x2．（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）當x12﹣x22=0時，求m的值．22.(本小題10分)

如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm,點P從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，當點P到達終點后，P、Q兩點同時停止運動.設點P運動的時間為ts.

（1）若AP=2PQ，求t的值；

（2）連接AQ，是否存在時間t,使得S△APQ=4？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.23.(本小題10分)

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，點E為AC的中點，連接DE.

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若∠ABC=30°，DE=5，求BD的長.24.(本小題12分)

如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于點E．

（1）求證：∠ABD=∠BCD；

（2）若DE=13，AE=17，求⊙O的半徑；

（3）DF⊥AC于點F，試探究線段AF、DF、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

???????25.(本小題14分)

某某中學組織有關(guān)圓的學習活動，他們對阿基米德折弦定理進行了深入研究.

【問題呈現(xiàn)】

阿基米德折弦定理：如圖①.AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦）.BC＞AB，點M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=DB+BA.

同學們正在討論如何證明該定理的正確性.他們想到用“截長法”進行證明.下面是部分證明過程.請補充完整.

證明：如圖②，在CD上截取CG=AB，連接MA、MB、MC和MG.

∵M是的中點.

∴MA=______.

又∵∠A=∠C，BA=GC，

∴______≌______.

∴MB=MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD=______.

∴AB+BD=CG+DG.

即CD=DB+BA.

【變式探究】

如圖③，若點M是的中點.【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變.判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明.

【實踐應用】

如圖④，BC是⊙O的直徑，點A是圓上一定點，點D是圓上一動點，且滿足∠DAC=45°.若AB=6，⊙O的半徑為5.求AD的值.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】2025

10.【答案】144°

11.【答案】24cm

12.【答案】6

13.【答案】60°

14.【答案】且k≠3

15.【答案】2或4

16.【答案】

17.【答案】，；

，x2=-2；

，；

x1=2，x2=3

18.【答案】解：（1）如圖，先分別作∠ABC和∠ACB的平分線，相交于點O，再過點O作OD⊥BC于點D，以點O為圓心，OD的長為半徑畫圓，

則⊙O即為所求．

（2）設△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，AC相切于點E，F(xiàn)，連接OE，OF，OA，

∵△ABC的周長為24，

∴AB+BC+AC=24．

∵△ABC的面積為24，OE=OF=OD，

∴S△AOB+S△BOC+S△AOC====24，

∴OD=2，

∴它的內(nèi)切圓的半徑為2．

19.【答案】每件玩具的定價應為15元或17元，能使每天的利潤為1400元．

20.【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，證明過程如下：

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=∠ABC=90°，

∵∠ADB=∠CDB，

∴，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，AB=BC=，

∴AC＝=2，

在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，

???????∴CD＝=．

21.【答案】解：（1）由題意有△=（2m-1）2-4m2≥0，解得，．

即實數(shù)m的取值范圍是．

（2）由得（x1+x2）（x1-x2）=0，

若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得．

∵＞，

∴不合題意，舍去．

若x1-x2=0，即x1=x2，

∴△=0，由（1）知．

故當時，．

22.【答案】t=1；

存在，t=2

23.【答案】如圖，連接OD，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∵DE為Rt△ADC的斜邊AC上的中線，

∴ED=EC，

∴∠ECD=∠EDC，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠ACB=∠ECD+∠OCD=90°，

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

15

24.【答案】（1）證明：∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∵∠ACD=∠ABD，

∴∠ABD=∠BCD；

（2）解：如圖1，過點E作EM⊥AD于點M，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，

∴∠DAB=∠BCD=45°，

∵AE=17，

∴ME=AM=17×=，

∵DE=13，

∴DM===，

∴AD=AM+DM=12，

∴AB=AD=12=24，

∴AO==12；

（3）AF+BC=DF．理由如下：

如圖2，