2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——分形幾何及其在生物醫(yī)學(xué)工程中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.下列哪個數(shù)學(xué)特征不是分形幾何的核心特征？(A)自相似性(B)嚴(yán)格歐幾里得意義下的光滑性(C)非整數(shù)維數(shù)(D)復(fù)雜性和不規(guī)則性2.根據(jù)盒計數(shù)維數(shù)的定義，若將空間分割成邊長為ε的立方體，覆蓋一個分形集合所需的最小立方體數(shù)量N(ε)滿足關(guān)系N(ε)∝ε^-D，則該分形集合的盒計數(shù)維數(shù)D是？(A)總是等于拓?fù)渚S數(shù)(B)總是小于拓?fù)渚S數(shù)(C)總是大于拓?fù)渚S數(shù)(D)取決于ε的取值3.謝爾賓斯基三角形通過迭代過程生成，每次迭代將中間三角形去掉，其相似維數(shù)D可以通過公式D=log(3)/log(2)計算得出，這體現(xiàn)了該分形具有：(A)完全隨機性(B)完全自相似性(C)近似自相似性(D)平移不變性4.在醫(yī)學(xué)圖像分析中，分形維數(shù)常被用作衡量圖像紋理復(fù)雜性的指標(biāo)。通常情況下，腫瘤區(qū)域的分形維數(shù)與正常組織相比：(A)一定更低(B)一定更高(C)可能更低，也可能更高，取決于腫瘤類型(D)與組織類型無關(guān)5.血管網(wǎng)絡(luò)通常呈現(xiàn)分叉結(jié)構(gòu)，其分支點處的角度分布和長度分布往往具有分形特征。這主要反映了生物系統(tǒng)的哪種特性？(A)隨機性(B)規(guī)則性(C)分形自相似性(D)線性關(guān)系二、填空題（每空3分，共15分。請將答案填在題中的橫線上）6.分形維數(shù)是描述分形幾何體復(fù)雜性和空間填充能力的指標(biāo)，它通常介于______維和______維之間。7.若一個集合具有嚴(yán)格的自相似性，即任意局部放大后都和整體形狀完全相同，則其相似維數(shù)D等于其______維數(shù)。8.在計算1D科赫曲線的相似維數(shù)時，如果將其看作由3個相似的比例為1/3的科赫曲線段構(gòu)成，則根據(jù)相似維數(shù)公式D=log(N)/log(1/r)，其中N=______，r=______。9.分形插值是一種利用分形原理進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的方法，它在生物醫(yī)學(xué)工程中可用于______或______等信號的平滑處理。10.分形與小波分析相結(jié)合，可以同時提取生理信號中的______（時間頻率）和______（空間/結(jié)構(gòu)）特征。三、計算題（每題10分，共20分）11.給定一個由單位正方形去掉中間1/4部分（即中間的小正方形）后，無限次迭代生成的謝爾賓斯基carpet。試計算其相似維數(shù)。提示：考慮將其分解為多少個相似的小塊，相似比是多少。12.假設(shè)某段血管網(wǎng)絡(luò)呈分形分支，遵循類似科赫曲線的生長規(guī)則，其初始血管長度為L0，每個分支長度是父分支的1/3。若從主干開始，計算到第3代分支（即從主干到最末梢的細(xì)小分支）為止，該血管網(wǎng)絡(luò)的總路徑長度是多少？假設(shè)主干為第0代。四、綜合應(yīng)用題（每題12分，共24分）13.在一項腦部MRI研究中，研究人員對某個特定區(qū)域的腦組織切片圖像進(jìn)行了分析。圖像分析結(jié)果顯示，該區(qū)域內(nèi)部的某些微觀結(jié)構(gòu)（如神經(jīng)元突觸連接或膠質(zhì)纖維網(wǎng)絡(luò)）呈現(xiàn)出近似分形的特點。假設(shè)研究人員計算得到該微觀結(jié)構(gòu)的盒計數(shù)維數(shù)約為1.75。請解釋這一維數(shù)結(jié)果可能意味著什么？并簡要說明盒計數(shù)維數(shù)在此類生物醫(yī)學(xué)圖像分析中的潛在應(yīng)用價值。14.分形幾何被用于模擬腫瘤的血管生成過程。一個簡化的模型假設(shè)腫瘤血管網(wǎng)絡(luò)的增長遵循類似擴散泛化的過程，每次增長都會在現(xiàn)有血管末端隨機分叉，并形成新的分支。這種模型通?？梢杂梅中吻€或分形集來描述。請簡述該模型的基本思想，并討論其描述腫瘤血管生成時可能存在的局限性。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.C5.C二、填空題6.拓?fù)?，無限7.拓?fù)?.3，39.心電圖，腦電圖10.時頻，空間/結(jié)構(gòu)三、計算題11.解析：將單位正方形去掉中間1/4小正方形，剩下4個同樣大?。ㄟ呴L為√2/2）的小正方形。這些小正方形與原正方形相似，相似比為√2/2。根據(jù)相似維數(shù)公式D=log(N)/log(1/r)，其中N=4，r=√2/2。計算得D=log(4)/log(2/(√2/2))=log(4)/log(2/√2)=log(4)/log(√2)=log(4)/log(2^(1/2))=log(4)/((1/2)log(2))=(2*log(2^2))/(1/2*log(2))=(2*2*log(2))/(1/2*log(2))=4。所以相似維數(shù)D=4。注意：此題按標(biāo)準(zhǔn)答案思路計算結(jié)果為4，但實際謝爾賓斯基carpet的相似維數(shù)應(yīng)為log(4)/log(√2)=2。此處按題目給定的公式和參數(shù)計算結(jié)果為4，可能題目設(shè)定或提示有誤。若按標(biāo)準(zhǔn)模型，維數(shù)應(yīng)為log(4)/log(√2)=2。答案：2(按標(biāo)準(zhǔn)模型計算)或4(按題目提示參數(shù)計算12.解析：初始血管長度L0。第一代分支有2個，每個長度為L0/3，總長度L1=2*(L0/3)=2L0/3。第二代分支在每個第一代分支末端再分叉，共有2*2=4個，每個長度為(L0/3)*(1/3)=L0/9，總長度L2=4*(L0/9)=4L0/9。第三代分支在每個第二代分支末端再分叉，共有2*4=8個，每個長度為(L0/9)*(1/3)=L0/27，總長度L3=8*(L0/27)=8L0/27?？偮窂介L度=L0+L1+L2+L3=L0+2L0/3+4L0/9+8L0/27。求和=L0*(1+2/3+4/9+8/27)=L0*(27/27+18/27+12/27+8/27)=L0*(65/27)=65L0/27。答案：65L0/27四、綜合應(yīng)用題13.解析：盒計數(shù)維數(shù)約為1.75，大于1但小于2。這表明該微觀結(jié)構(gòu)比一維線狀結(jié)構(gòu)（維數(shù)=1）更復(fù)雜，但比二維平面結(jié)構(gòu)（維數(shù)=2）復(fù)雜程度要低。在生物醫(yī)學(xué)圖像分析中，較高的分形維數(shù)通常與更復(fù)雜的組織結(jié)構(gòu)或更豐富的空間細(xì)節(jié)相關(guān)。例如，在腦組織中，較高的維數(shù)可能意味著更密集的神經(jīng)元連接網(wǎng)絡(luò)或更復(fù)雜的膠質(zhì)纖維排列。潛在應(yīng)用價值包括：可以作為量化指標(biāo)，用于區(qū)分不同類型的組織（如正常與腫瘤、不同等級的病變）、評估組織的病理狀態(tài)或損傷程度、監(jiān)測疾病進(jìn)展或治療效果（如藥物對組織結(jié)構(gòu)的影響）、或者用于自動識別和分割具有特定分形特征的微觀結(jié)構(gòu)。答案：該維數(shù)表明微觀結(jié)構(gòu)具有比簡單線條更復(fù)雜的空間填充特性，但仍非完全平面。在生物醫(yī)學(xué)圖像分析中，此維數(shù)可作為反映組織結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的量化指標(biāo)，用于疾病診斷、分級、監(jiān)測等。14.解析：該模型的基本思想是利用分形幾何的自相似性和遞歸性來模擬生物系統(tǒng)（如腫瘤血管網(wǎng)絡(luò)）的復(fù)雜形態(tài)形成過程。它假設(shè)從初始的少數(shù)血管開始，通過重復(fù)的、局部的、類似自我復(fù)制的過程（如隨機分叉），逐漸構(gòu)建出具有統(tǒng)計自相似性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這種模型試圖捕捉到生物血管網(wǎng)絡(luò)在宏觀和微觀尺度上表現(xiàn)出的相似模式。局限性包括：模型通?；诤喕募僭O(shè)（如完全隨機分叉、均勻介質(zhì)），可能無法完全反映腫瘤血管生成的生物學(xué)細(xì)節(jié)（如特定分子信號的調(diào)控、血管內(nèi)皮細(xì)胞行為的異質(zhì)性、力學(xué)環(huán)境的復(fù)雜性等）；分形模型描述的是統(tǒng)計特性或形態(tài)模式，可能難以精確預(yù)測特定位置的血管形態(tài)或流量；模型的參數(shù)（如分叉概率、分支角度）往往需要根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合