2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)學在醫(yī)療設備設計中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在括號內。）1.在醫(yī)學影像處理中，為了去除圖像中的高頻噪聲，常用的數(shù)字濾波方法是（）。A.低通濾波B.高通濾波C.帶通濾波D.全通濾波2.心電圖（ECG）信號通常包含較弱的生物電信號和較強的噪聲，使用（）進行信號處理可以有效分離出有用的心電信息。A.傅里葉變換B.小波變換C.拉普拉斯變換D.Z變換3.醫(yī)用輸液泵為了精確控制流速，常采用（）進行閉環(huán)控制。A.邏輯門電路B.PID控制器C.脈沖寬度調制（PWM）D.頻率調制（FM）4.在有限元方法（FEM）應用于生物力學分析時，其基本思想是將復雜的連續(xù)體結構離散為有限個（）的單元組合體。A.桿件B.板殼C.單元D.點5.在評估某種疾病的診斷測試準確性時，使用（）來衡量測試結果與實際病情狀態(tài)是否一致。A.相關系數(shù)B.方差C.聯(lián)合概率D.真實性（Accuracy）二、填空題（每空2分，共20分。請將答案填在橫線上。）6.傅里葉變換可以將一個時間域信號分解為其包含的各種頻率成分及其對應的______。7.在醫(yī)學圖像重建中，CT成像基于拉東變換的______性質。8.生物力學中，描述組織材料應力與應變關系的本構關系模型，如______模型，常用于模擬軟組織的非線性行為。9.醫(yī)學信號處理中，為了在不失真情況下恢復信號，要求濾波器具有良好的______特性。10.使用卡爾曼濾波器估計系統(tǒng)狀態(tài)時，其核心在于通過系統(tǒng)的______模型和測量模型，結合先驗信息和新的測量數(shù)據(jù)，遞歸地估計當前最優(yōu)狀態(tài)。三、簡答題（每小題5分，共15分。）11.簡述使用有限元方法（FEM）分析心臟瓣膜力學性能的主要步驟。12.解釋什么是數(shù)字濾波器的相位失真，并說明在哪些醫(yī)學信號處理場景下需要盡量減少相位失真。13.在醫(yī)學診斷中，什么是假陽性率和假陰性率？它們分別反映了診斷測試的什么方面？四、計算題（每小題10分，共20分。）14.某一簡諧心電信號可以表示為m(t)=1.0*sin(2π*1.0*t)+0.2*sin(2π*10*t)+0.1*sin(2π*100*t)+n(t)，其中n(t)為噪聲。假設采樣頻率為100Hz，請計算該信號在頻率為1Hz、10Hz和100Hz處的幅值（忽略噪聲影響）。請說明計算過程中使用的關鍵公式或方法。15.設某醫(yī)療溫度控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=1/(s+1)，其中溫度誤差信號為e(t)。如果期望的設定值為1（單位階躍輸入），請計算系統(tǒng)在t=5s時的穩(wěn)態(tài)誤差（假設系統(tǒng)是穩(wěn)定的）。請說明計算穩(wěn)態(tài)誤差所依據(jù)的理論或方法。五、綜合應用題（共15分。）16.假設設計一個用于監(jiān)測患者呼吸的簡單機械式呼吸機，其核心任務是根據(jù)設定的目標呼吸頻率（如12次/分鐘）和潮氣量（如500ml），控制氣泵的啟停和通氣量。請簡述該系統(tǒng)中可能涉及到的數(shù)學模型或方法，例如如何計算每個呼吸周期的時間間隔？如何根據(jù)傳感器反饋（如壓力或流量）進行閉環(huán)控制以穩(wěn)定潮氣量？可以討論相關的控制策略（如比例-積分控制）或信號處理技術（如呼吸波形檢測）在其中的作用。試卷答案一、選擇題1.A2.B3.B4.C5.D二、填空題6.幅度（或模長、強度）7.某種角度下的投影8.部分流（或swollen,Neo-Hooke）9.線性（或時不變）10.動態(tài)（或狀態(tài)空間）三、簡答題11.解析思路：首先確定研究區(qū)域（心臟瓣膜）并離散化（劃分單元）；然后，在單元內建立力學平衡方程（通常是虛功原理或最小勢能原理）；接著，組裝全局方程組；最后，施加邊界條件（如瓣膜開合約束、固定位置），求解方程組得到各節(jié)點處的位移、應力、應變分布。12.解析思路：數(shù)字濾波器會改變信號各頻率成分的相位，導致信號波形發(fā)生畸變。相位失真可能影響對信號特征（如心電波形、超聲波形）的識別和測量準確性。在需要保持波形形態(tài)不變的場合，如音頻重建、某些生理信號分析中，應選擇線性相位濾波器。13.解析思路：假陽性率（FalsePositiveRate,FPR）是指實際無病卻被診斷為有病的概率，反映了診斷測試的誤報傾向。假陰性率（FalseNegativeRate,FNR）是指實際有病卻被診斷為無病的概率，反映了診斷測試的漏報傾向。兩者共同衡量了診斷測試的準確性。四、計算題14.解析思路：利用傅里葉變換的性質，信號的頻譜（幅度譜）反映了其各頻率成分的強度。對于給定的簡諧信號m(t)=A1*sin(ω1*t)+A2*sin(ω2*t)+...，其在頻率f=ω/(2π)處的幅值等于各余弦分量系數(shù)的平方和的平方根。計算時，需將頻率換算為Hz（1Hz=2πrad/s），然后根據(jù)公式計算各頻率處的幅值。這里信號在1Hz,10Hz,100Hz處的幅值分別為1.0,0.2,0.1。15.解析思路：計算穩(wěn)態(tài)誤差通常使用終值定理（FinalValueTheorem）或觀察系統(tǒng)在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)響應。對于穩(wěn)定的I型或II型系統(tǒng)，單位階躍響應的穩(wěn)態(tài)值即為穩(wěn)態(tài)誤差。根據(jù)終值定理，穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)=lim(s→0)[s*E(s)]，其中E(s)是誤差傳遞函數(shù)E(s)=1-G(s)=(s+1-1)/(s+1)=s/(s+1)。代入計算lim(s→0)[s*(s/(s+1))]=lim(s→0)[s^2/(s+1)]=0。因此穩(wěn)態(tài)誤差為0。另一種思路是觀察系統(tǒng)單位階躍響應，若系統(tǒng)類型使得輸出在t→∞時趨于1，則誤差趨于0。五、綜合應用題解析思路：首先，根據(jù)目標呼吸頻率（12次/分鐘=0.2次/秒），計算基本呼吸周期時間T=1/0.2=5秒。這是控制氣泵啟停的基礎時間基準。其次，為了控制潮氣量，需要閉環(huán)控制。可以測量氣泵輸出端的壓力或流量，將其與目標潮氣量（或對應的壓力/流量設定值）進行比較，得到誤差信號。然后，使用控制算法（如