2025年大學《系統(tǒng)科學與工程》專業(yè)題庫——數(shù)學建模技術(shù)在物流管理中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述數(shù)學建模在物流管理中的主要作用和意義。二、某公司需要運輸一批貨物從A地到B地，可供選擇的運輸方式有飛機、火車和汽車。不同方式的總運輸時間（包含等待時間）、運輸成本和最大載重量如下表所示（假設(shè)貨物總量為100噸）。|運輸方式|總運輸時間（小時）|運輸成本（元/噸）|最大載重量（噸）||---|---|---|---||飛機|5|3000|20||火車|20|1500|50||汽車|30|2500|10|公司希望最小化總運輸成本，但要求在72小時內(nèi)將全部貨物運達B地。請建立該問題的線性規(guī)劃模型。三、某零售商銷售一種產(chǎn)品，已知其需求服從均值為每周100件的正態(tài)分布。該產(chǎn)品每件的進價為20元，售價為40元，缺貨成本為每件10元（包括潛在利潤損失和聲譽損失），庫存持有成本為每件每年5元。零售商計劃每周訂貨一次，一年按52周計算。請建立該問題的基本經(jīng)濟訂貨批量（EOQ）模型，并寫出計算公式。若允許少量缺貨，請簡述如何在基本EOQ模型的基礎(chǔ)上進行修改以考慮缺貨情況。四、在一個兩節(jié)點（A和B）的配送網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點A有40單位產(chǎn)品需要配送，節(jié)點B需要60單位產(chǎn)品。產(chǎn)品從倉庫C運出，C地到A地的運輸成本為每單位10元，到B地的運輸成本為每單位15元。A地到B地的轉(zhuǎn)運成本為每單位5元（即可以從A地轉(zhuǎn)運一部分產(chǎn)品給B地以降低總成本）。請建立一個模型來決定從C到A、從C到B以及從A到B的運輸量（分別記為x1,x2,x3），以最小化總運輸成本，并寫出該問題的數(shù)學模型。五、假設(shè)一個物流配送中心需要決定其服務區(qū)域的中心位置。配送中心需要服務三個客戶點C1,C2,C3。各客戶點的位置（用坐標表示）及需求量（用權(quán)重表示）如下：|客戶點|坐標(x,y)|需求量（權(quán)重）||---|---|---||C1|(1,2)|3||C2|(4,5)|4||C3|(7,1)|2|請解釋重心法在選址問題中的應用原理，并使用重心法計算該配送中心的最佳坐標位置（假設(shè)供應量等于總需求量，且運輸成本與距離成正比）。六、描述在物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計（如運輸路徑選擇）中，如何應用圖論的基本概念（如節(jié)點、邊、路徑、網(wǎng)絡(luò)等）。假設(shè)一個城市有五個物流樞紐，分別用節(jié)點V1,V2,V3,V4,V5表示。它們之間的直接運輸路線（邊）及其對應的運輸時間（權(quán)值）如下：|邊|起點|終點|時間（小時）||---|---|---|---||E1|V1|V2|3||E2|V1|V3|6||E3|V2|V4|4||E4|V3|V4|2||E5|V3|V5|5||E6|V4|V5|3|若物流車輛需要從一個樞紐出發(fā)，依次訪問V2,V4,V5，再返回出發(fā)樞紐，請使用Dijkstra算法找出最短路徑，并給出該路徑的總時間。七、在供應鏈管理中，不確定性是一個重要因素。請簡述如何在一個數(shù)學模型中引入不確定性因素（例如需求的不確定性、供應的不確定性或提前期的不確定性）。舉例說明可以使用哪些方法（如隨機規(guī)劃、魯棒優(yōu)化、情景分析等）來處理這些不確定性，并簡要說明這些方法的基本思想。八、某物流公司使用車輛路徑規(guī)劃（VRP）軟件為其客戶提供配送服務。該軟件基于遺傳算法進行路徑優(yōu)化。請簡述遺傳算法的基本步驟（選擇、交叉、變異），并說明在將遺傳算法應用于VRP問題時，需要考慮哪些關(guān)鍵參數(shù)和設(shè)計點（如染色體編碼方式、適應度函數(shù)設(shè)計、約束處理等）。試卷答案一、數(shù)學建模通過將物流管理的復雜問題轉(zhuǎn)化為可量化的數(shù)學語言和模型，能夠精確描述物流系統(tǒng)各要素間的相互關(guān)系和運行規(guī)律。它有助于優(yōu)化物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計（如選址、路徑規(guī)劃）、庫存控制、運輸調(diào)度等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而降低物流成本、提高物流效率、增強物流系統(tǒng)的響應速度和靈活性。同時，數(shù)學建模支持數(shù)據(jù)驅(qū)動的決策制定，通過模擬和預測不同方案的效果，評估風險，為物流管理者提供科學依據(jù)，提升整體運營績效和競爭力。二、決策變量:x1=從A地到B地飛機運輸?shù)呢浳锪浚▏崳﹛2=從A地到B地火車運輸?shù)呢浳锪浚▏崳﹛3=從A地到B地汽車運輸?shù)呢浳锪浚▏崳┠繕撕瘮?shù):最小化總運輸成本minZ=3000x1+1500x2+2500x3約束條件:1.貨物總量約束:x1+x2+x3=1002.時間約束（72小時內(nèi)運達）:*飛機時間約束:5x1≤72*火車時間約束:20x2≤72*汽車時間約束:30x3≤723.運輸方式能力約束:*飛機能力約束:x1≤20*火車能力約束:x2≤50*汽車能力約束:x3≤104.非負約束:x1,x2,x3≥0數(shù)學模型:minZ=3000x1+1500x2+2500x3s.t.x1+x2+x3=1005x1≤7220x2≤7230x3≤72x1≤20x2≤50x3≤10x1,x2,x3≥0三、基本EOQ模型:設(shè)D為年需求量，S為每次訂貨的固定成本，H為每件產(chǎn)品的年庫存持有成本，Q為每次訂貨量。模型目標是最小化總成本（年訂貨成本+年庫存持有成本）。年總成本=(D/Q)*S+(Q/2)*HQ*=sqrt((2DS)/H)允許缺貨的EOQ模型:在基本EOQ模型基礎(chǔ)上，允許在一定時間內(nèi)發(fā)生缺貨，以減少庫存持有成本。模型需要在缺貨成本和庫存持有成本之間進行權(quán)衡。設(shè)M為最大允許缺貨量，T為補充周期，T1為庫存非空期，T2為缺貨期。模型通常需要同時確定最優(yōu)訂貨量Q*、最優(yōu)補充周期T*、最大庫存量S*和最大缺貨量M*。其數(shù)學表達形式更為復雜，通常涉及非線性規(guī)劃，其基本思想是在一個循環(huán)周期內(nèi)，總成本（訂貨成本+庫存持有成本+缺貨成本）最小化。四、決策變量:x1=從C地到A地的運輸量（單位：單位產(chǎn)品）x2=從C地到B地的運輸量（單位：單位產(chǎn)品）x3=從A地到B地的轉(zhuǎn)運量（單位：單位產(chǎn)品）目標函數(shù):最小化總運輸成本minZ=10x1+15x2+5x3約束條件:1.供應約束:x1+x2=100(倉庫C總供應量為100單位)2.A地需求滿足:x1+x3=40(A地需求量為40單位)3.B地需求滿足:x2+x3=60(B地需求量為60單位)4.非負約束:x1,x2,x3≥0數(shù)學模型:minZ=10x1+15x2+5x3s.t.x1+x2=100x1+x3=40x2+x3=60x1,x2,x3≥0五、重心法原理:重心法是一種用于確定單一物流設(shè)施（如配送中心、倉庫）最優(yōu)地理位置的方法，尤其適用于服務多個已知需求點的均質(zhì)網(wǎng)絡(luò)。其核心思想是選擇一個位置，使得從該位置向所有需求點運送貨物的總運輸成本（通常與距離成正比）最小。計算該位置坐標的原理是將所有需求點對總運輸成本的“貢獻”（與其需求量成正比，與其到設(shè)施的距離成反比）進行加權(quán)平均。在二維平面上，設(shè)施的最佳x坐標是所有需求點x坐標的加權(quán)平均值（權(quán)重為需求量/距離），最佳y坐標是所有需求點y坐標的加權(quán)平均值（權(quán)重為需求量/距離）。計算:設(shè)設(shè)施最佳位置坐標為(xC,yC)?？偣縋=3+4+2=9。xC=(Σ(wi*xi)/Σ(wi*di_x))/PyC=(Σ(wi*yi)/Σ(wi*di_y))/P其中，wi是需求量/權(quán)重，xi,yi是客戶點坐標，di_x,di_y是客戶點到設(shè)施在x,y方向上的距離（此處假設(shè)距離與坐標差成正比，即di_x=|xC-xi|,di_y=|yC-yi|）。計算分母部分（簡化為求和）：Σ(wi*di_x)=3*|xC-1|+4*|xC-4|+2*|xC-7|Σ(wi*di_y)=3*|yC-2|+4*|yC-5|+2*|yC-1|因此，重心坐標(xC,yC)滿足：xC=(3|xC-1|+4|xC-4|+2|xC-7|)/(3*|xC-1|+4*|xC-4|+2*|yC-7|)yC=(3|yC-2|+4|yC-5|+2|yC-1|)/(3*|yC-1|+4*|yC-5|+2*|yC-1|)由于設(shè)施必須位于所有客戶點的凸包內(nèi)，且供應量等于總需求量，理論上重心會落在客戶點構(gòu)成的凸多邊形內(nèi)部或頂點上。對于此例，可以通過代入特定值或數(shù)值方法求解近似值，但精確解析解比較復雜。解析思路如上所示。六、圖論應用:在物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計中，圖論是基礎(chǔ)工具。節(jié)點可以表示物流樞紐、倉庫、配送點、交叉路口等；邊可以表示運輸路線、管道、道路等連接。邊的權(quán)值可以表示運輸時間、成本、容量限制、距離等。圖論幫助分析和優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，例如尋找最短路徑（如配送路線）、最小生成樹（如網(wǎng)絡(luò)布線）、最大流（如運輸網(wǎng)絡(luò)容量）等。在路徑選擇問題中，圖論提供了一種系統(tǒng)化的方法來表示可選路徑及其屬性，并利用算法（如Dijkstra、Floyd-Warshall）來找到滿足特定優(yōu)化目標（如最短時間）的路徑。Dijkstra算法求解:1.初始化:設(shè)置起點為V1，終點為V5。令V1的臨時距離為0，其他節(jié)點臨時距離為無窮大。創(chuàng)建一個未訪問節(jié)點集合U包含所有節(jié)點（V1,V2,V3,V4,V5），創(chuàng)建一個已訪問節(jié)點集合S初始為空。2.循環(huán):當U不為空時：a.在U中找到臨時距離最小的節(jié)點，記為當前節(jié)點（初始為V1）。將當前節(jié)點從U移到S。更新V1為已訪問。b.對于當前節(jié)點（V1）的所有鄰接節(jié)點（V2,V3），檢查：*如果鄰居節(jié)點在S中，忽略。*如果鄰居節(jié)點在U中，計算經(jīng)過當前節(jié)點到達鄰居節(jié)點的距離（新距離=當前節(jié)點臨時距離+邊的權(quán)值）。*如果新距離小于鄰居節(jié)點的當前臨時距離，更新鄰居節(jié)點的臨時距離為新距離，并記錄前驅(qū)節(jié)點為當前節(jié)點。c.從U中選出臨時距離最小的節(jié)點作為下一個當前節(jié)點，重復步驟b。3.路徑重建:當終點V5被加入S時，算法結(jié)束。從V5出發(fā)，根據(jù)記錄的前驅(qū)節(jié)點，回溯路徑：V5←V4←V2←V1。這就是最短路徑。路徑與時間:根據(jù)Dijkstra算法執(zhí)行過程（此處需實際執(zhí)行或模擬執(zhí)行），找到從V1到V5經(jīng)過V2和V4的最短路徑。計算總時間：路徑為V1→V2→V4→V5?？倳r間=3(V1-V2)+4(V2-V4)+3(V4-V5)=10小時。七、引入不確定性:在數(shù)學模型中引入不確定性因素的方法通常包括：1.隨機變量:將需求、供應、提前期等參數(shù)定義為隨機變量，并使用其概率分布（如正態(tài)分布、三角分布、均勻分布）來描述不確定性。2.情景分析:設(shè)定幾種可能的不確定性情景（如樂觀、悲觀、最可能），針對每種情景求解模型，分析不同結(jié)果。3.敏感性分析:分析關(guān)鍵參數(shù)的變化對模型結(jié)果的影響程度。4.魯棒優(yōu)化:目標是在所有可能的參數(shù)值（在給定的不確定范圍內(nèi)）下，模型結(jié)果都能滿足要求（如成本最小、服務水平保證）。處理方法示例:*隨機規(guī)劃:建立一個包含隨機參數(shù)的優(yōu)化模型。目標通常是期望值最優(yōu)（如期望總成本最?。?，或者在最壞情況下的目標值最優(yōu)（如保證一定服務水平）。求解方法可能涉及期望值替換、隨機規(guī)劃松弛等。*魯棒優(yōu)化:在模型中引入不確定性集（如參數(shù)的可能范圍），目標是在最壞的不確定性發(fā)生時，模型結(jié)果仍然最優(yōu)或可行。例如，在供應鏈中，魯棒優(yōu)化可以用來確定倉庫位置或庫存水平，以保證在需求或運輸時間超出預期時，仍能滿足服務水平。八、遺傳算法步驟:1.初始化種群:隨機生成一組潛在解（個體），每個個體表示一個可能的車輛路徑（染色體編碼）。2.適應度評估:計算每個個體的適應度值（通?；诼窂娇傞L度、時間窗遵守情況等目標函數(shù)值，值越小越好）。3.選擇:根據(jù)適應度值，以一定概率選擇一部分個體作為下一代的父代，優(yōu)良個體被選中的概率更高（如輪盤賭選擇、錦標賽選擇）。4.交叉（雜交）:將選中的父代個體兩兩配對，按照一定的概率交換部分基因片段，生成新的子代個體（后代）。5.變異:對子代個體，按照一定的概率隨機改變其基因片段（如交換路徑中兩個城市的順序）。6.新種群:將子代個體加入新一代種群，通常與父代種群混合，并可能進行種群大小控制（如精英保留策略）。7.迭代:重復步驟2-6，直到達到終止條件（如達到最大迭代次數(shù)、找到滿足要求的解、適應度值不再顯著提升等）。VRP問題關(guān)鍵參數(shù)與設(shè)計點:*染色體編碼:如何表示一條路徑（如順序列表、矩陣、圖結(jié)構(gòu)