2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)中的微分幾何理論考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代表字母填在答題紙上。）1.設(shè)$M$是一個(gè)$n$維流形，$p\inM$，則$p$的切空間$T_pM$的維數(shù)是？A.1B.$n$C.$n+1$D.02.下列哪個(gè)量不是向量場(chǎng)？A.曲率張量B.軌跡曲率C.切向量場(chǎng)D.斜率3.設(shè)$\omega=f\,dx^1\wedgedx^2$是一個(gè)2-形式，其中$f$是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，則$\omega$的外導(dǎo)數(shù)$d\omega$是？A.$f\,dx^1\wedgedx^2$B.$f_x\,dx^1\wedgedx^2$C.$f_{xx}\,dx^1\wedgedx^2$D.04.設(shè)$\gamma(t)$是一條測(cè)地線，則其測(cè)地線曲率$k_g$滿足？A.$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}=0$B.$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}=k_g\dot{\gamma}$C.$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}=0$且$k_g=0$D.$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}=\nabla_{\dot{\gamma}}\nabla_{\dot{\gamma}}\gamma$5.高斯-博內(nèi)定理適用于？A.任何流形B.任何緊致流形C.任何緊致、無邊界流形D.任何光滑流形6.里奇曲率張量$Ric(X,Y)Z$是？A.一個(gè)向量B.一個(gè)2-形式C.一個(gè)3-形式D.一個(gè)標(biāo)量7.調(diào)和曲線是指？A.測(cè)地線B.切向量場(chǎng)恒為零的曲線C.哈密頓向量場(chǎng)對(duì)應(yīng)的曲線D.滿足$\Delta\gamma=0$的曲線8.設(shè)$M$是一個(gè)具有度量張量$g$的流形，則$g$的反度量張量$g^{}$滿足？A.$g^{}=g^{-1}$B.$g^{}=g$C.$g^{}=-g$D.$g^{}=g^{T}$9.歐拉-黎曼公式建立了曲率張量與度量張量之間的關(guān)系，它適用于？A.任何流形B.任何緊致流形C.任何具有度量的流形D.任何光滑流形10.微分幾何在以下哪個(gè)領(lǐng)域沒有應(yīng)用？A.廣義相對(duì)論B.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)C.代數(shù)幾何D.數(shù)據(jù)分析二、填空題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題紙上。）1.設(shè)$M$是一個(gè)$n$維流形，$p\inM$，則$p$的切空間$T_pM$的對(duì)偶空間$T_p^*M$的維數(shù)是________。2.設(shè)$\alpha=dx^1+x^2\,dx^2$是一個(gè)1-形式，則$\alpha$的對(duì)偶向量場(chǎng)$X_\alpha$在點(diǎn)$(1,1)$處的值是________。3.設(shè)$\gamma(t)=(t,t^2,t^3)$是$\mathbb{R}^3$中的一條曲線，則$\gamma(t)$在$t=1$處的切向量是________。4.設(shè)$M$是一個(gè)具有度量張量$g$的流形，則$g$的度量為________。5.設(shè)$\omega=dx^1\wedgedx^2$是一個(gè)2-形式，則$\omega$在點(diǎn)$(1,2)$處的值是________。6.設(shè)$\gamma(t)$是一條測(cè)地線，則其測(cè)地線曲率$k_g$的定義是________。7.設(shè)$M$是一個(gè)具有度量張量$g$的流形，則$g$的張量階數(shù)是________。8.設(shè)$\nabla$是$M$上的一個(gè)聯(lián)絡(luò)，則$\nabla$滿足的對(duì)稱性條件是________。9.設(shè)$M$是一個(gè)具有度量張量$g$的流形，則$g$的行列式記為________。10.微分幾何中研究的最基本的對(duì)象是________。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分。請(qǐng)將詳細(xì)的計(jì)算過程和答案寫在答題紙上。）1.設(shè)$\gamma(t)=(t,t^2,t^3)$是$\mathbb{R}^3$中的一條曲線，計(jì)算$\gamma(t)$在$t=1$處的法向量。2.設(shè)$M$是一個(gè)具有度量張量$g=dx^1^2+2x^1x^2+dx^2^2$的流形，計(jì)算$M$在點(diǎn)$(1,1)$處的切空間基底的度量。3.設(shè)$\omega=x^1\,dx^1-x^2\,dx^2$是一個(gè)1-形式，計(jì)算$\omega$的外導(dǎo)數(shù)$d\omega$。4.設(shè)$\gamma(t)=(t,t^2)$是$\mathbb{R}^2$中的一條曲線，計(jì)算$\gamma(t)$的測(cè)地線曲率。四、證明題（每小題10分，共20分。請(qǐng)將詳細(xì)的證明過程寫在答題紙上。）1.證明：如果一條曲線是測(cè)地線，則其切向量場(chǎng)沿著曲線是常數(shù)。2.證明：高斯曲率$K$可以用里奇曲率張量表示為$K=\frac{Ric(X,Y)(X,Y)-Ric(Y,X)(X,Y)-Ric(X,X)(Y,Y)+Ric(Y,Y)(X,X)}{g(X,X)g(Y,Y)-g(X,Y)^2}$，其中$X,Y$是兩個(gè)切向量場(chǎng)。試卷答案一、選擇題1.B2.A3.D4.A5.C6.A7.D8.A9.C10.C二、填空題1.$n$2.$(1,-1)$3.$(1,2,3)$4.$g_{ij}\,dx^i\otimesdx^j$5.26.$\frac{||\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}||}{||\dot{\gamma}||^3}$7.28.$\nabla_XY=\nabla_YX$9.$\det(g_{ij})$10.流形三、計(jì)算題1.解：$\gamma'(t)=(1,2t,3t^2)$，$\gamma''(t)=(0,2,6t)$。在$t=1$處，$\gamma'(1)=(1,2,3)$，$\gamma''(1)=(0,2,6)$。法向量$N$滿足$N\cdot\gamma'(1)=0$，即$N\cdot(1,2,3)=0$。設(shè)$N=(a,b,c)$，則$a+2b+3c=0$。又因?yàn)?N$與$\gamma''(1)$垂直，即$N\cdot\gamma''(1)=0$，即$N\cdot(0,2,6)=0$。則$2b+6c=0$，即$b+3c=0$。解得$b=-3c$，$a=7c$。取$c=1$，則$N=(7,-3,1)$。2.解：$M$在點(diǎn)$(1,1)$處的切空間基向量為$\partial_1=(1,0)$，$\partial_2=(0,1)$。度量在基向量上的值為$g_{11}=1+2\cdot1\cdot1=3$，$g_{12}=g_{21}=1\cdot1+2\cdot1\cdot1=3$，$g_{22}=1+2\cdot1\cdot1=3$。因此，度量在基底$\{\partial_1,\partial_2\}$下的矩陣為$\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}$。3.解：$d\omega=d(x^1\,dx^1-x^2\,dx^2)=dx^1\wedgedx^1+x^1\,d(dx^1)-dx^2\wedgedx^2-x^2\,d(dx^2)=0-x^1\,0-0-x^2\,0=0$。4.解：$\gamma'(t)=(1,2t)$，$\gamma''(t)=(0,2)$。測(cè)地線曲率$k_g$定義為$\frac{||\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}-\dot{\gamma}\wedge\dot{\gamma}||}{||\dot{\gamma}||^3}$。由于$\gamma(t)$是參數(shù)曲線，$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}=0$。因此，$k_g=\frac{||-\dot{\gamma}\wedge\dot{\gamma}||}{||\dot{\gamma}||^3}=\frac{||(-1,0)\wedge(0,2)||}{||\dot{\gamma}||^3}=\frac{2}{(1+4t^2)^{3/2}}$。在$t=0$處，$k_g=\frac{2}{1^{3/2}}=2$。四、證明題1.證明：設(shè)$\gamma(t)$是一條測(cè)地線，則$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}=0$。對(duì)$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}=0$沿著曲線$\gamma(t)$積分，得到$\int\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}\,dt=0$。由鏈?zhǔn)椒▌t，$\fracqeyg6sw{dt}\dot{\gamma}(t)=\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{