/數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．?dāng)?shù)據(jù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位數(shù)是（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．43．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．80 B．40 C． D．4．已知雙曲線：（，）的焦距為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．5.定義在上的奇函數(shù)滿足：，且，，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線分別交于（除原點(diǎn)外）兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A．4 B．2 C． D．7．已知三棱錐P-ABC中，平面平面，且平面ABC是邊長為的等邊三角形，，，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（

）A．52π B．39π C．26π D．13π8．若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法中正確的有（

）A．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，4，5，6的上四分位數(shù)為B．若隨機(jī)變量，則C．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則D．已知x，y之間存在關(guān)系式，設(shè)，若x，z之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且與之對應(yīng)的線性回歸方程為，則10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．直線與相切C． D．11.在三棱錐中，，點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，直線與平面所成的角分別為，則（

）A．點(diǎn)的軌跡長度為B．的取值范圍是C．三棱錐的體積的最小值是D．當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且，，則的最小值為.13．已知橢圓C:的焦點(diǎn)為，，第一象限點(diǎn)P在C上，且，則的內(nèi)切圓半徑為.14.初等數(shù)論中的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是.（用數(shù)字作答）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答過程寫出文字說明、證明過程或者演算過程．15．甲、乙兩人各有一個(gè)乒乓球袋，袋內(nèi)均裝有10個(gè)規(guī)格相同的乒乓球，其中4個(gè)黃球、6個(gè)白球，兩人從各自袋中摸球．(1)甲無放回摸出兩個(gè)球，用表示摸出黃球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：甲無放回摸球，乙有放回摸球，若兩人各自都摸兩次，每次摸出一個(gè)球，誰摸出的黃球個(gè)數(shù)多誰就獲勝，判斷誰獲勝的概率較大，并說明理由．16．設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且⑴求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；⑵證明：.17.某中學(xué)為了解高二年級學(xué)生對“數(shù)學(xué)建模競賽”的參與意愿與性別是否有關(guān)，現(xiàn)從學(xué)校中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別愿意參與不愿意參與合計(jì)男生女生合計(jì)(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“愿意參與數(shù)學(xué)建模競賽與性別有關(guān)聯(lián)”？(2)從樣本中“愿意參與”的學(xué)生中按性別采用比例分別的分層抽樣的方法抽取11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人作為競賽種子選手，記3人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，上存在點(diǎn)到和的距離都等于．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，直線與相交于另一點(diǎn)，直線與相交于另一點(diǎn)．（i）求證：；（ii）求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．19.已知正方體的棱長為2．

(1)證明：平面；(2)動點(diǎn)滿足，且點(diǎn)，，，在同一球面上．設(shè)該球面的球心為，半徑為．①求的取值范圍；②當(dāng)最大時(shí)，求二面角的余弦值．?dāng)?shù)學(xué)參考答案題號1234578910答案DCDADADBCBC題號11答案ABD13、14、2815、【詳解】（1）的可能取值為0，1，2.因此，的分布列為012的數(shù)學(xué)期望.（2）用表示乙摸出黃球的個(gè)數(shù)，因乙有放回摸球，且每次摸出黃球的概率為，則，.設(shè)事件：甲獲勝，則．則設(shè)事件乙獲勝，則．則因?yàn)椋约撰@勝的概率較大.16、解:⑴ 令，其對稱軸為。 由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根， 其充要條件為，得 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)； ⑵由⑴知， 由得， 設(shè)， 則 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減。 所以， 故．17、【詳解】（1）零假設(shè)：愿意參與數(shù)學(xué)建模競賽與性別無關(guān).根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們沒有充分的證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為愿意參與數(shù)學(xué)建模競賽的意愿與性別無關(guān).（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：愿意參與的學(xué)生中男生與女生的比例為.因此選出人中，男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為人由題意可知：，服從超幾何分布，，.，，所以這3人中女生人數(shù)的概率分布列為：18、【詳解】（1）如圖，作出符合題意的圖形，

由題意得，則，而，可得在的中垂線上，故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式得，解得，而點(diǎn)在上，則，即，解得，故拋物線的方程為．（2）（i）如圖，設(shè)直線的方程為，并記點(diǎn)，

聯(lián)立方程組，消去得，易知，則，，而，則，可知，即．（ii）由題意，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，并記點(diǎn)，聯(lián)立方程組，消去得，則，由三點(diǎn)共線，可得，得到，將代入化簡，得，所以，而，可知，同理可得，則，解得，故直線的方程為，過定點(diǎn)．19、【詳解】（1）解法一：如圖所示：

在正方體中，連結(jié)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，又因?yàn)?，，平面，所以平面．解法二：以為原點(diǎn)，的正方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，，，，．因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，平面，平面，所以平面．?）解法一：①如圖所示：

，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，依題意得：球心在直線上．因?yàn)?，所以，即，延長至，使得，連結(jié)．因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，．同理得：，，所以，，故，所以點(diǎn)在線段上．設(shè)，則，則．易得，則有，所以，故有．所以，整理得：，由，得：．所以，所以的取值范圍是．②當(dāng)最大時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合．因?yàn)?，，，，平面，所以平面．因?yàn)椋矫?，所以，，所以即為二面角的平面角．在中，，，，，所以，所以二面角的余弦值?．解法二：①