/2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科第一次考試（選擇性必修一第一二章）一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分共40分）1.直線的傾斜角是()A.30° B.60° C.120° D.150°2．若直線與平行，則m的值為（

）A．－2 B．－1或－2 C．1或－2 D．13．若向量，，則平面的一個(gè)法向量可以是（

）A． B． C． D．4．圓與圓交于兩點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B．C． D．5．點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)所連線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)軌跡方程為（

）A． B． C． D．6．已知，，，，，則直線到平面的距離為（

）A． B． C． D．7．曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的范圍是（）A． B． C． D．8．如圖，在正方體中，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則平面與底面所成角的余弦值的最大值是（

）. B． C． D．多選題(每小題6分，部分選對(duì)無錯(cuò)選得2分，共18分）9．給出下列命題，其中正確的有（

）A．空間任意三個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C．已知是空間向量的一個(gè)基底，則也是空間向量的一個(gè)基底D．A、B、M、N是空間四點(diǎn)，若、、不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A、B、M、N共面10．已知圓與直線，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則（

）A．圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2B．圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2C．D．從點(diǎn)向圓引切線，切線長的最小值是11．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（）A．B．C．異面直線與所成角的余弦值為D．點(diǎn)到直線的距離是填空題(每小題5分，共15分）12．圓：與圓的公切線條數(shù)是．13．已知向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為.14．若直線m被兩平行直線與所截得的線段長為，則直線m的傾斜角大小為.四、解答題（15題13分，16，17題15分，18、19題17分，共77分）15．（1）已知直線，．若，求的值；（2）已知直線，點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；16．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求直線與平面所成角的余弦值．17．已知直線：，圓：.(1)若不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍；(2)當(dāng)圓心到直線的距離最大時(shí)，求此時(shí)直線的方程.18．如圖，在直三棱柱中，所有棱長均為4，D是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面的距離．19．已知圓，過圓內(nèi)的點(diǎn)的弦長的最大值為4，最小值為.(1)求圓的方程.(2)點(diǎn)是軸上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，且對(duì)于圓上任意一點(diǎn)為定值.（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）點(diǎn)，求的最小值.《2025年10月11日高中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案題號(hào)12345678910答案CCCDADAABCDBC題號(hào)11答案BD1.C2．C【分析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，可得或.經(jīng)驗(yàn)證不重合，滿足題意，故選：C.3．C【分析】設(shè)平面的法向量為，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求解可得答案.【詳解】解：設(shè)平面的法向量為，因?yàn)橄蛄浚?，所以，取，得，故選：C.4．D【分析】利用兩圓相交的性質(zhì)，將兩個(gè)圓方程相減，得到公共弦方程即可.【詳解】因?yàn)閳A與圓，所以的一般方程為，的一般方程為，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，且對(duì)兩個(gè)圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，所以的方程為，化簡得，故D正確.故選：D5．A【分析】設(shè)點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而代入即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，即，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在圓上，所以，則，即，則點(diǎn)軌跡方程為.故選：A.6．D【分析】首先證明平面，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】，，，，顯然，所以，而平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．設(shè)平面的法向量為，則,令，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以直線到平面的距離是．故選：D7．A【分析】作出表示的曲線，而表示經(jīng)過定點(diǎn)的一條動(dòng)直線，利用斜率數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意得，即，其表示以為圓心，為半徑的圓的上半部分，而表示經(jīng)過定點(diǎn)的一條動(dòng)直線，如下圖所示，當(dāng)直線與半圓相切于點(diǎn)時(shí)，由得，又點(diǎn)，則，由圖可知，即.故選：A.8．A【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面EFB的法向量，由向量的夾角公式求解二面角的余弦值的取值范圍，由此判斷求解即可.【詳解】設(shè)平面與底面所成的二面角的平面角為θ，由圖可得θ不為鈍角.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，又底面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，則，，則，則當(dāng)時(shí)，分母取到最小值，此時(shí)，則A選項(xiàng)正確.故選：A.9．BCD【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，結(jié)合向量的共面定理，空間點(diǎn)共面的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，空間任意的三個(gè)不共面的向量才可以作為一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，則、與任何向量都共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若共面，則，則共面，這與為空間的一個(gè)基底相矛盾，故可以構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則共面，又過相同的點(diǎn)B，則A、B、M、N四點(diǎn)共面，故D正確．故選：BCD.10．BC【分析】求出圓的圓心及半徑，求出點(diǎn)到直線的距離判斷AB；利用圓的性質(zhì)及切線性質(zhì)求出最小值判斷CD.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，對(duì)于AB，圓心到直線的距離，則，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由切線的性質(zhì)，得切線長為，D錯(cuò)誤.故選：BC11．BD【分析】首先根據(jù)選項(xiàng)分別求向量的坐標(biāo)，再代入數(shù)量積，模長和向量夾角公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，，，故A錯(cuò)誤；，所以，故B正確；，設(shè)異面直線與所成角為，則，故C錯(cuò)誤；到直線的距離為，故D正確．故選：BD12．3【分析】分析圓心距和兩圓半徑的關(guān)系，可知兩圓外切，即可得到兩圓公切線條數(shù).【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑．因?yàn)?，所以兩圓外切，所以圓與圓的公切線有3條．【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：兩圓的位置關(guān)系與公切線條數(shù)的關(guān)系13．【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，利用投影向量的公式即可計(jì)算結(jié)果.【詳解】由題意得，，，，所以在上的投影向量為.故答案為：.14．或【分析】設(shè)直線m與兩平行直線所夾的銳角或直角為，求出兩平行直線的距離，得到，所以，求出直線傾斜角為30°，從而求出直線m的傾斜角.【詳解】設(shè)直線m與兩平行直線所夾的銳角或直角為，兩平行直線與間的距離，因?yàn)橹本€m被兩平行直線與所截得的線段長為，所以，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以其傾斜角為30°，所以直線m的傾斜角可以是或.

故答案為：或15．（1）或；（2）；（3）存在，，三角形面積的最小值為8【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直列出方程即可求解；（2）設(shè)，結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)列方程組求解即可；（3）先求出直線恒過定點(diǎn)，直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為，結(jié)合題意即可求得的范圍，再表示出，進(jìn)而結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）由，得，解得或；（2）設(shè)，則，解得，即.16．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）通過取的中點(diǎn)為，再利用線線平行即可證明線面平行；（2）利用空間向量法可直接求出二面角的余弦值；（3）利用空間向量法可先求出線面角的正弦值，再利用同角關(guān)系求出余弦值即可.【詳解】（1）

取的中點(diǎn)為，又由于為棱的中點(diǎn)，則在正方體中可得：則四邊形是平行四邊形，所以；又由于為棱的中點(diǎn)，又可得則四邊形是平行四邊形，所以；由平行的傳遞性可知：，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，在棱長為2的正方體中，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，由于平面與軸垂直，則平面的法向量可取，所以，由圖可看出二面角一定是銳角，所以可設(shè)它為，則，所以二面角的余弦值為；（3）由（2）得，平面的法向量可取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以即直線與平面所成角的余弦值為．17．(1)；(2).【分析】（1）化直線的方程為斜截式，再由已知列出不等式求解.（2）求出圓的圓心及直線所過的定點(diǎn)，借助幾何意義確定圓心到直線的距離最大的條件，進(jìn)而求出直線方程.【詳解】（1）直線：化為，由不經(jīng)過第三象限，得，解得，所以的取值范圍是.（2）圓：的圓心，直線：恒過定點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)直線的斜率，直線的斜率，直線的方程.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用直三棱柱的性質(zhì)結(jié)合線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算．【詳解】（1）

直三棱柱中，所有棱長均為4，上下底面為邊長為4的正三角形，側(cè)面為邊長為4的正方形，連接,交于點(diǎn)，則為,的中點(diǎn)，在中，分別為邊的中點(diǎn)，，又平面,平面，平面．（2）取中點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，為上的點(diǎn)，平面，到平面的距離即為直線與平面的距離，，直線與平面的距離為：．19．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根據(jù)圓的弦長性質(zhì)（過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦，直徑最長，垂直于圓心與該點(diǎn)連線的弦最短），結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解參數(shù)；（2）（i）：通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)、利用距離公式和圓的方程，結(jié)合“定值”的代數(shù)意義（系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別相等）求解點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）（