第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年北京市海淀區(qū)北京理工大學(xué)附中高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共11小題，每小題3分，共33分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列說法正確的是(

)A.平行于同一直線的兩個平面平行 B.平行于同一平面的兩條直線平行

C.垂直于同一平面的兩個平面平行 D.垂直于同一直線的兩個平面平行2.下列四個命題中為真命題的是(

)A.已知A,B,C,D,E是空間中任意五點(diǎn)，則AB+BC+CD+DE+EA=0

B.若向量AB，CD滿足AB=CD.3.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，下列結(jié)論中正確的是(

)A.若直線m⊥平面α，m//β； B.若平面γ⊥平面α，則γ//β；

C.若平面γ⊥直線l，則γ⊥β； D.若直線m⊥直線l，則m⊥β．4.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2ABB.A1D1//平面AD.BD15.如圖，在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱A1BA.A，A1，C，C1共面 B.E∈平面ACF

C.AE，CF，BB1交于同一點(diǎn) 6.已知平面α，β，直線l?α，直線m?β，l//β，則“l(fā)//m”是“m//α”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.現(xiàn)有一個封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài))，將容器放倒(如圖乙，一個側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時水面所在的平面EE1F1F與各棱的交點(diǎn)分別為其所在棱的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為A.3 B.2 C.338.《九章算術(shù)》是中國古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著．其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”問題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚wPQ?ABCD，下底面ABCD是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即PQ中點(diǎn)R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(長度單位：丈).則楔體PQ?ABCD的體積為(體積單位：立方丈)(

)

A.10 B.8 C.6 D.59.已知平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為45°，30°，過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′，B′，則A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:310.已知矩形ABCD，AB=2，BC=22，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，(

)A.存在某個位置，使得直線BD與直線AC垂直

B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個位置，使得直線BC與直線AD垂直

D.對任意位置，三對直線“AC與BD”“CD與AB”“AD與BC”均不垂直11.如圖所示，甲站在水庫底面α上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面β上的點(diǎn)B處，從A，B到直線l(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為6米和8米，CD的長為21米，AB的長為23米，則水庫底面與水壩斜面所成二面角的余弦值為(

)

A.18 B.?12 C.1二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分。12.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積

13.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為

．14.有一根高為3π，底面半徑為1的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為

．15.在通用技術(shù)教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，VA，VB，VC兩兩垂直，VA=VB=VC=1(單位：dm)，小明同學(xué)計劃通過側(cè)面VAC內(nèi)任意一點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，則該截面面積(單位：dm2)的最大值是

．

三、解答題：本題共4小題，共51分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為棱A1D1，CD的中點(diǎn)，記BC=a，(1)用a,b,c表示(2)求直線AC與EF所成角的余弦值．17.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，Q為棱PD的中點(diǎn)，PA=AB=2．(1)求證：PB//平面ACQ；(2)求直線PC與平面ACQ所成角的正弦值；(3)若點(diǎn)M在線段BC上，且MQ//平面PAB，求證：M是BC的中點(diǎn)．18.已知空間向量m=x,y,1(1)若m//n，求(2)若m⊥n，求y的最小值及此時(3)若m?n=19.如圖1，在平面四邊形PDCB中，PD//BC，BA⊥PD，PA=AB=BC=1，AD=12，將?PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如圖2所示，點(diǎn)Q是線段SC

(1)設(shè)平面SDC與平面SAB的交線為l，求證：BC⊥l；(2)求平面SCD與平面SAB所成角的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)M是線段SA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段SD上，且SNSD=23，判斷直線BQ是否在平面參考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.D

6.D

7.D

8.D

9.A

10.B

11.A

12.813.214.5π

15.216.(1)由圖可知，F(xiàn)E=FE=因?yàn)閎?b?a=所以FE=所以FE=?12a+(2)因?yàn)锳C=AB+所以AC?由(1)得FE=11所以直線AC與EF所成角的余弦值為cosAC

17.(1)由底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD可知，可以以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則由題意可知A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2，Q所以PB=2,0,?2，AC=2,2,0，AQ=0,1,1，設(shè)平面ACQ的法向量為令y=?1，可得n=所以PB?n=0，可得PB⊥n，又PB不在平面ACQ(2)向量PC=2,2,?2，設(shè)直線PC與平面ACQ所成角為θ，則又PC?n=?2，PC=2(3)設(shè)M2,t,0，因?yàn)辄c(diǎn)M在線段BC上，所以0≤t≤2則MQ=又PA⊥底面，AB⊥AD，故AD⊥平面PAB，所以AD=0,2,0為平面由MQ//平面PAB，得MQ?AD=0，即2所以M2,1,0，即M是BC

18.(1)因?yàn)閙//所以m=λ當(dāng)x=0時，m=(0,y,1),所以0=0?λy=?2λ1=0?λ,λ當(dāng)x≠0時，可得xx=y所以x+y=?(2)因?yàn)閙⊥所以x2+(?2y)+2x=0，即所以當(dāng)x=?1時，y的最小值為?(3)m因?yàn)閙?所以0+(y+2)2由(1?2x)2則所求(x?1=?3x?所以當(dāng)x=13時，(x?1

19.(1)依題意，AD⊥AB，因?yàn)镻D//BC，所以BC⊥AB，由于平面SAB⊥平面ABCD，且平面SAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面SAB，因?yàn)閘是平面SDC與平面SAB的交線，所以l?平面SAB，故BC⊥l．(2)由(1)知，BC⊥平面SAB，則AD⊥平面SAB，而SA⊥AB，以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可得A0,0,0，D12,0,0，B0,1,0，C所以SD=12設(shè)平面SCD的一個法向量為n=則n?SD=0n?SC=0易得平面SAB的一個法向量為AD=