14.3.1角的平分線(xiàn)的性質(zhì)

人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)1.三角形全等的判定方法有哪些？2.什么是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離？點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度3.什么是角的平分線(xiàn)SASASAAASSSSHL(直角三角形專(zhuān)用）

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)叫做這個(gè)角的角平分線(xiàn)復(fù)習(xí)導(dǎo)入如圖，是一個(gè)角平分儀，其中OA=OB，BC=AC.將點(diǎn)O放在角的頂點(diǎn)，OA和OB沿著角的兩邊放下，沿OC畫(huà)一條射線(xiàn)，進(jìn)而射線(xiàn)OC就是角平分線(xiàn)，你能說(shuō)明它的道理嗎?OBC(E)A其依據(jù)是SSS，證明兩三角形全等，進(jìn)而對(duì)應(yīng)角相等.角平分儀的介紹

如果沒(méi)有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實(shí)現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO請(qǐng)大家找到用尺規(guī)作角的平分線(xiàn)的方法，并說(shuō)明作圖方法與儀器的關(guān)系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過(guò)程呢?(3)在平分角的儀器中，AC=BC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過(guò)程呢？(4)你能說(shuō)明為什么OC是∠AOB的平分線(xiàn)嗎？做一做探究1AI時(shí)刻ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線(xiàn).仔細(xì)觀察步驟

作角平分線(xiàn)是最基本的尺規(guī)作圖，大家一定要掌握噢!作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）作射線(xiàn)OC.射線(xiàn)OC即為∠AOB的平分線(xiàn).半徑小于MN或等于MN，可以嗎？尺規(guī)作圖1.操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB

，點(diǎn)D,E為垂足，測(cè)量PD,PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線(xiàn)段PD與PE的大小關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)果：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDEOC是∠AOB的平分線(xiàn)，P是射線(xiàn)OC上的任意一點(diǎn).猜想：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線(xiàn)的性質(zhì)探究2已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.驗(yàn)證猜想性質(zhì)定理：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.九字小口決：（1）一平分；（2）兩垂直；（3）得相等.定理的作用：

證明線(xiàn)段相等.符號(hào)語(yǔ)言：∵OP是∠AOB的平分線(xiàn)，∴PD=PE推理的理由有三個(gè)，必須寫(xiě)完全，不能少了任何一個(gè).PD⊥OA，

PE⊥OB，BADOPEC筆記時(shí)刻判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），

∴

=

，()在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵如上右圖，

DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.

∴

=

，

()在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC缺少“垂直距離”這一條件缺少“角平分線(xiàn)”這一條件小試牛刀例1已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線(xiàn)，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，

∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和

Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.角平分線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用例題精講例2如圖，AM是∠BAC的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D,E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4提示：存在兩條垂線(xiàn)段——直接應(yīng)用.利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度挑戰(zhàn)提升ABCP如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，

AB=14.

則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)______.D4提示：存在一條垂線(xiàn)段——構(gòu)造應(yīng)用.遷移拓展（2024·江蘇常州中考）如圖，在紙上畫(huà)有∠AOB，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，則（）A．d1與d2一定相等 B．d1與d2一定不相等C．l1與l2一定相等 D．l1與l2一定不相等A直擊中考角平分線(xiàn)尺規(guī)作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握作圖方法性質(zhì)定理一平分：一條角平分線(xiàn)；二垂直：點(diǎn)到角兩邊作垂直；得相等：兩條垂線(xiàn)段相等輔助線(xiàn)添加過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段為證明線(xiàn)段相等提供了又一途徑談?wù)勈斋@1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.PC＝PDB.OC＝OD

C.∠CPO＝∠DPOD.OC＝PCD2.如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝