1.會用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)生活中的最短路徑問題.2.會用數(shù)學(xué)知識、思想、方法描述最短路徑問題，把最短路徑問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.3.會通過邏輯推理解決最短路徑問題.小亮走得更短.兩點(diǎn)之間，線段最短.

從村莊A到村莊B有三條路，小明、小亮和小剛分別騎自行車從村莊A出發(fā)，沿不同的路去村莊B，誰走得路程短？為什么？

如圖，河岸上有一點(diǎn)P，現(xiàn)需過點(diǎn)

P

建造一座跨河大橋.為了節(jié)約建造成本，應(yīng)該選擇哪條線路？為什么？選擇PC

.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

日常生活中經(jīng)常會遇到最短路徑問題，從數(shù)學(xué)的角度看，這類問題抽象為幾何問題后，常常是求線段和的最小值問題.在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道，“兩點(diǎn)之間，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等，接下來我們對最短路徑問題進(jìn)行探究.1.查閱資料，列舉生活中的最短路徑問題.2.了解光行最速原理：光線所行進(jìn)的“光程”最短，即光行進(jìn)的時(shí)間最短.活動準(zhǔn)備活動一

牧民飲馬問題活動任務(wù)任務(wù)1

如圖，牧民從

A地出發(fā)，到一條筆直的河邊

l飲馬，然后到

B地.牧民到河邊的什么地方飲馬可使所走的路徑最短?lBA你能用數(shù)學(xué)語言描述這個(gè)問題嗎？

上面的問題可以轉(zhuǎn)化為:

如圖，如果把河邊

l

近似地看成一條直線，C為直線

l

上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在

l

的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小.ABlC思考

1.如圖，如果點(diǎn)A，B是直線

l

異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在

l

上找一點(diǎn)C，使AC與CB的和最小.連接A、B兩點(diǎn)，交直線

l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求的位置，可以使AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短.BlAC思考

2.在任務(wù)1中，點(diǎn)A，B在直線

l的同側(cè)，你能利用軸對稱，把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為1中的問題嗎?ABlC

如果我們能夠把點(diǎn)B移到

l的另一側(cè)B′處，同時(shí)對直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)在直線兩側(cè)的情況”.如何利用軸對稱找到點(diǎn)B'呢?作法如圖，(1)作出點(diǎn)B關(guān)于

l的對稱點(diǎn)B′；(2)連接AB′，與直線

l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．B′ABlC由軸對稱可知CB=CB'.任務(wù)2

證明你在任務(wù)1中得到的結(jié)論.CB′ABlC′證明：如圖，在直線l上另外任取一點(diǎn)C′(不與點(diǎn)C重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+BC′.方法總結(jié)

此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對稱點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，再根據(jù)已知條件求解.任務(wù)3

舉出類似上述數(shù)學(xué)模型的其他現(xiàn)實(shí)問題并加以解決.

兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點(diǎn)A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時(shí)，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點(diǎn)的位置.解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，連接D′C交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求.D′E活動二

牧民飲馬問題的拓展任務(wù)1

如圖，牧民從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，最后回到A處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短?A草地河你能用數(shù)學(xué)語言描述這個(gè)問題嗎？

上面的問題可以轉(zhuǎn)化為:

如圖，在直線

l1和直線

l2上分別找到點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長最小.l1l2A利用軸對稱知識，你知道怎么找到點(diǎn)M，N嗎?作法如圖.(1)分別作出點(diǎn)A關(guān)于直線l1，l2的對稱點(diǎn)A1，A2；l1l2AA1NA2M通過軸對稱把周長最小值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離最短的問題.△AMN周長的最小值為AM+MN+AN=A1A2.(2)連接A1A2，分別交直線l1，l2于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N即為所求.任務(wù)2

如圖，牧民從

A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短?A草地河B你能用數(shù)學(xué)語言描述這個(gè)問題嗎？

上面的問題可以轉(zhuǎn)化為:

如圖，在直線

l1和直線

l2上分別找到點(diǎn)M，N，使得四邊形AMNB的周長最小.l2l1BAB1MA1N作法如圖.(1)分別作點(diǎn)A，B關(guān)于直線l1，l2的對稱點(diǎn)A1，B1；(2)連接A1B1分別交直線l1，l2于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N即為所求.作圖依據(jù)：通過軸對稱把周長最小問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離最短問題，四邊形AMNB的周長的最小值為AM+MN+NB+AB=A1B1+AB.依據(jù)是兩點(diǎn)之間，線段最短.l2l1BAB1MA1N任務(wù)3

如圖，牧民每天從生活區(qū)的邊沿A處出發(fā)，先到草地邊的B處牧馬，再到河邊C處飲馬，然后回到A處.如何確定A，B，C的位置，使從A處出發(fā)，到B處牧馬，再到C處飲馬，最后回到A處所走的路徑最短?草地河生活區(qū)你能用數(shù)學(xué)語言描述這個(gè)問題嗎？

上面的問題可以轉(zhuǎn)化為:

如圖，在直線l1、l2和l3上分別找到點(diǎn)A、B、C，使得△ABC的周長最小.l1l2l3作法如圖.(1)設(shè)直線l1和l2、l1和l3、l2和l3的交點(diǎn)分別為M、N、P；(2)過點(diǎn)M作l3的垂線，交l3于點(diǎn)C；(3)作點(diǎn)C關(guān)于直線l1，l2的對稱點(diǎn)C1，C2；(4)連接C1C2，交直線l1，l2于點(diǎn)A，B，則點(diǎn)A，B即為所求.MNPCC1C2BA作圖依據(jù)：通過軸對稱把周長最小問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離最短問題，△ABC周長的最小值為AB+BC+AC=C1C2.當(dāng)MC最小，即MC⊥l3時(shí)，C1C2最短.依據(jù)是兩點(diǎn)之間，線段最短.l1l2l3MNPCC1C2BA

求三角形周長的最小值，先確定動點(diǎn)所在的直線和固定點(diǎn)，而后作固定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)的連線與動點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為三角形周長最小時(shí)動點(diǎn)的位置.方法總結(jié)任務(wù)4

舉出類似上述數(shù)學(xué)模型的其他現(xiàn)實(shí)問題并加以解決.

如圖，河流AB與公路CD相交于點(diǎn)O，∠BOD＝30°，∠BOD的內(nèi)部有一牧馬點(diǎn)P，且OP＝6km，牧民驅(qū)馬需先將一封信送到公路邊，然后再去河邊飲馬，飲完馬后回到牧馬點(diǎn)，請你幫牧民設(shè)計(jì)出所走的最短路徑，并計(jì)算最短路徑的長.如圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于AB，CD的對稱點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，連接PM，PN，則折線PN－NM－MP即為最短路徑.FENM連接OE，OF，由對稱性可知：OP＝OE＝OF＝6km，MP＝ME，NP＝NF，∠POB=∠EOB，∠POD=∠FOD，∴∠POE＝2∠POB，∠POF＝2∠POD，∴∠EOF＝∠POE＋∠POF＝2∠POB＋2∠POD＝2∠BOD＝60°，又∵OE＝OF＝6km，∴△EOF是等邊三角形，∴EF＝OE＝OF＝6km，∴PN＋NM＋MP＝FN＋NM＋ME＝EF＝6km.FENM任務(wù)一

如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）活動三

造橋選址問題

如圖，我們可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個(gè)動點(diǎn)，MN⊥直線b，交直線a于點(diǎn)M.

上面的問題可以轉(zhuǎn)化為:ABab??MN當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN＋NB最小?由于河寬固定，因此當(dāng)AM＋NB最小時(shí)，AM+MN+BN最小.Bab?A?MN思考1.當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+NB最小?能否通過圖形的變化(軸對稱、平移等)，把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為“牧民飲馬”問題?將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移動到點(diǎn)N，點(diǎn)A移動到點(diǎn)A′，則AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.A′?A?M思考2.當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A′N+NB的值最?。緽ab?A?MNA′?A?M作法如圖.連接A'B，線段A'B與直線b的交點(diǎn)N的位置即為所求.試著證明這個(gè)結(jié)論吧.證明：在直線b上另外任意取一點(diǎn)N′，過點(diǎn)N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N′，N′B.∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，∴A′N+NB<A′N′+BN′.即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′.∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′，即AM+NB+MN的值最小.Bab?A?MNA′?A?MN′M′

在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對稱、平移等圖形變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.方法總結(jié)A1任務(wù)2

舉出類似上述數(shù)學(xué)模型的其他現(xiàn)實(shí)問題并加以解決.

某大學(xué)建立分校，本部與分校隔著兩條平行的小河.

如圖，小河甲的兩岸為l1，l2，小河乙的兩岸為l3，l4，且l1//l2//l3//l4，A為本部大門，B為分校大門.

為了方便兩校區(qū)人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸.

為使A，B兩點(diǎn)間來往路徑最短，試在圖中畫出符合條件的路徑，并標(biāo)明橋的位置.ABl1l2l3l4甲乙解：作法如圖.B1每組選出代表向全班同學(xué)展示本組的研究成果，分享活動經(jīng)驗(yàn)，并反思活動中的不足.①明確分工：使每位成員都有明確的任務(wù).②完成活動任務(wù)，形成研究報(bào)告.組成5～8人一組的研究小組，每位同學(xué)參加其中一個(gè)小組，每個(gè)小組確定一名負(fù)責(zé)人.展示交流組建合作團(tuán)隊(duì)方案構(gòu)思方案實(shí)施討論與交流，集思廣益，形成解決任務(wù)的方案.

通過成果展示與交流，基于各組完成的研究報(bào)告，根據(jù)情況選擇任務(wù)完成表、表現(xiàn)評分表、自我反思表等進(jìn)行評價(jià).與老師和全班同學(xué)一起，通過質(zhì)疑、辯論、評價(jià)，總結(jié)成果，分享體會，分析不足，開展自我評價(jià)、同學(xué)評價(jià)和教師評價(jià)，完成本次綜合與實(shí)踐活動.1.如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E

分別是等邊三角形ABC

中BC、AB

邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F

是AD

邊上的動點(diǎn)，則BF+EF

的最小值為_____.ABCDEF解析：∵點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于直線AD對稱，∴BF=CF.求BF+EF最小值，只需CF+EF最小.連接EC，線段CE

的長即為BF+EF

的最小值.∵D、E

是等邊△ABC

中BC、AB

的中點(diǎn)，∴CE=AD=5.∴BF+EF的最小值為5.52.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，點(diǎn)D在BC上．(1)分別在AB，AC上找點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，DF，使得DF＋EF最??；解：作法如圖.(1)作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′；(2