專題01一元一次不等式重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（14大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一不等式的定義題型二不等式的解集題型三不等式的基本性質(zhì)題型四一元一次不等式的定義題型五求一元一次不等式的解集題型六求一元一次不等式的整數(shù)解題型七求一元一次不等式解的最值題型八解|x|≥a型的不等式題型九列一元一次不等式題型十用一元一次不等式解決實(shí)際問題題型十一用一元一次不等式解決幾何問題題型十二在數(shù)軸上表示不等式的解集題型十三由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求不等式的解集題型十四根據(jù)兩條直線的交點(diǎn)求不等式的解集【知識梳理】知識點(diǎn)1一元一次不等式定義只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1．系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．注：其標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．知識點(diǎn)2解一元一次不等式解一元一次不等式步驟：（1）去分母；去分母時，每一項(xiàng)都要乘同一個數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)去括號；（2）去括號：移項(xiàng)時不要忘記變號；（2）移項(xiàng)；移項(xiàng)時不要忘記變號；（3）合并同類項(xiàng)；（4）化系數(shù)為1．說明：解一元一次不等式和解一元一次方程類似．不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變，這是解不等式時最容易出錯的地方．知識點(diǎn)一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0(a、b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量相應(yīng)的取值范圍?！窘?jīng)典例題一不等式的定義】【例1】（22-23八年級下·遼寧沈陽·期中）給出下列數(shù)學(xué)式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．1【變式訓(xùn)練】1．（22-23九年級下·吉林松原·期中）用不等式表示：的倍與的的和不大于，正確的是（

）A． B． C． D．2．（21-22八年級上·湖南婁底·期末）對于下列結(jié)論：①x為自然數(shù)，則；②x為負(fù)數(shù)，則；③x不大于10，則；④m為非負(fù)數(shù)，則，正確的有．3．（22-23八年級上·全國·課時練習(xí)）根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式：(1)x的7倍減去1是正數(shù)．(2)y的與的和不大于0．(3)正數(shù)a與1的和的算術(shù)平方根大于1．(4)y的20%不小于1與y的和．【經(jīng)典例題二不等式的解集】【例2】（22-23七年級下·湖南衡陽·期中）下列說法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個解C．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個 D．不等式的正整數(shù)解有4個【變式訓(xùn)練】1．（20-21七年級下·湖北恩施·期末）據(jù)悉，我國設(shè)計(jì)制造的天舟二號貨運(yùn)飛船，在2021年5月29日順利升空，將6噸多物資運(yùn)送到天和核心艙，若用a表示貨運(yùn)飛船的載貨質(zhì)量，則對a的取值理解最準(zhǔn)確的是（）（單位：噸）A． B． C． D．2．（22-23八年級下·山西太原·期中）在，，，四個數(shù)中，是不等式的解．3．（20-21八年級下·江西景德鎮(zhèn)·期中）關(guān)于x的兩個不等式x+1<7?2x與?1+x<a．(1)若兩個不等式解集相同，求a的值；(2)若不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，求a的取值范圍．【經(jīng)典例題三不等式的基本性質(zhì)】【例3】（23-24七年級上·吉林長春·期末）下列不等式的變形正確的是（

）A．若，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，則【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級上·浙江杭州·期中）下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（23-24八年級上·浙江紹興·期末）已知，且，，若，則m的取值范圍是．3．（22-23七年級下·山東煙臺·階段練習(xí)）（1）比較與的大小關(guān)系：①當(dāng)時，__________；②當(dāng)時，__________；③當(dāng)時，__________．（2）根據(jù)上述結(jié)果請你猜想與的大小關(guān)系：__________，并進(jìn)行驗(yàn)證．【經(jīng)典例題四一元一次不等式的定義】【例4】（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）若是關(guān)于的一元一次不等式，則該不等式的解集是(

)A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·湖南婁底·階段練習(xí)）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2021下·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于18．（2023九年級·全國·專題練習(xí)）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則k＝．2．（22-23八年級下·江西撫州·階段練習(xí)）已知不等式是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為多少？并解這個一元一次不等式．【經(jīng)典例題五求一元一次不等式的解集】【例5】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的有（）①不是不等式的解；②不等式的解集是；③不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個；④不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·江蘇淮安·期末）若關(guān)于、的方程組的解滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·河北·一模）若不等式有解，則實(shí)數(shù)的最小值是.3．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）已知關(guān)于的方程．(1)若該方程的解滿足，求的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的的負(fù)整數(shù)解，求的值．【經(jīng)典例題六求一元一次不等式的整數(shù)解】【例6】（22-23七年級下·四川眉山·期中）關(guān)于x、y的二元一次方程的正整數(shù)解有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·四川遂寧·期末）定義一種新運(yùn)算：．例如：，那么不等式的正整數(shù)解是（）A． B．1 C．0和1 D．22．（22-23七年級下·山東濟(jì)寧·期末）對于任意實(shí)數(shù)，，定義一種新運(yùn)算，其運(yùn)算法則為，例如：，請根據(jù)上述定義解決問題：求不等式的非負(fù)整數(shù)解．3、（22-23七年級下·北京東城·期末）先閱讀絕對值不等式和的解法，再解答問題．①因?yàn)?，從?shù)軸上（如圖1）可以看出只有大于而小于6的數(shù)的絕對值小于6，所以的解集為．②因?yàn)椋瑥臄?shù)軸上（如圖2）可以看出只有小于的數(shù)和大于6的數(shù)的絕對值大于6．所以的解集為或．

(1)的解集為___________，的解集為___________；(2)已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，其中是負(fù)整數(shù)，求的值．【經(jīng)典例題七求一元一次不等式解的最值】【例7】（2022·江蘇南通·二模）已知關(guān)于x的不等式組的解集中至少有5個整數(shù)解，則整數(shù)a的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）按照下面給定的計(jì)算程序，當(dāng)時，輸出的結(jié)果是______；使代數(shù)式的值小于20的最大整數(shù)x是（）．A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，2．（19-20七年級下·福建泉州·期末）已知實(shí)數(shù)，，．若，則的最大值為．3．（21-22七年級下·海南儋州·期中）已知有關(guān)x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一個解，求滿足條件的整數(shù)a的最小值．【經(jīng)典例題八解|x|≥a型的不等式】【例8】（2023春·河北保定·八年級校考階段練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【變式訓(xùn)練】1．（2022春·安徽蕪湖·九年級?？甲灾髡猩┤絷P(guān)于x的方程有三個整數(shù)解，則的值是(

)A．0 B．1 C．2 D．32．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）不等式的解集是．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知不等式的解是，則a＝．4．（2023春·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期中）先閱讀下面是的解題過程，然后回答下列問題．例：解絕對值方程：．解：分情況討論：①當(dāng)時，原方程可化為，解得；②當(dāng)時，原方程可化為，解得．所以原方程的解為或．根據(jù)材料，解下列絕對值方程：(1)理解應(yīng)用：；(2)拓展應(yīng)用：不等式的解集為______．【經(jīng)典例題九列一元一次不等式】【例9】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）?次生活常識競賽共有20題，答對一題得5分，不答得0分，答錯一題扣2分．小濱有1題沒答，競賽成績不低于80分，設(shè)小聰答錯了x題，則(

)A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建漳州·七年級統(tǒng)考期中）一輛汽車從地出發(fā)，要在之前到達(dá)距離地的地，設(shè)平均車速為，根據(jù)題意可列不等式為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）在通過橋洞時，往往會看到如圖所示的標(biāo)志：這是限制車高的標(biāo)志，表示車輛高度不能超過，通過橋洞的車高應(yīng)滿足的不等式為．

3．（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年卡塔爾世界杯正如火如荼地進(jìn)行著，其小組賽賽制為：每隊(duì)勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．若某強(qiáng)隊(duì)想要在小組賽中確保出線，就必須在3場中保持不敗并且積分不少于7分，則該隊(duì)至少勝多少場？設(shè)該隊(duì)勝x場，則列出的不等式為．4．（2023春·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）為了加強(qiáng)對校內(nèi)外的安全監(jiān)控，創(chuàng)建“平安校園”，某學(xué)校計(jì)劃增加15臺監(jiān)控?cái)z像設(shè)備，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備，其中價(jià)格、有效監(jiān)控半徑如表所示：甲型乙型價(jià)格（單位：元/臺）450600有效監(jiān)控半徑（單位：米/臺）100150(1)若購買該批設(shè)備的資金不超過7200元，請你寫出購買的甲型設(shè)備數(shù)量x（臺）應(yīng)滿足的不等式；(2)若要求有效監(jiān)控半徑覆蓋范圍大于1600米，請你寫出購買的甲型設(shè)備數(shù)量x（臺）應(yīng)滿足的不等式．【經(jīng)典例題十用一元一次不等式解決實(shí)際問題】【例10】（2022春·貴州·八年級校聯(lián)考期末）小穎準(zhǔn)備用元錢買筆和筆記本，已知每枝筆元，每本筆記本元，她買了個筆記本，其余的錢用來買筆，那么她最多能買（）枝．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·安徽合肥·七年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┧拿莱袖N售某品牌紙杯，商家按照進(jìn)價(jià)的提價(jià)銷售，隨著合肥“限塑令”頒布，該紙杯的進(jìn)價(jià)增加了，現(xiàn)商家為增加獲利，且使利潤率不低于，應(yīng)把售價(jià)在原售價(jià)的基礎(chǔ)上至少提高（

）A． B． C． D．2．（2022春·廣東深圳·八年級?？计谥校┠炒沃R競賽共有20道題，答對一題得10分，答錯或不答均扣5分，小玉得分超過95分，他至少要答對道題．3．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？茧A段練習(xí)）今年校團(tuán)委舉辦了“中國夢，我的夢”歌詠比賽，張老師為鼓勵同學(xué)們，帶了50元錢購買甲、乙兩種筆記本作為獎品．已知甲種筆記本每本7元，乙種筆記本每本5元，每種筆記本至少買3本，則張老師購買筆記本的方案共有種．4．（2022春·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）為了促進(jìn)消費(fèi)，端午節(jié)期間，甲乙兩家商場以同樣的價(jià)格出售同樣的商品，并且又各自推出不同促銷方案：甲商場的優(yōu)惠方案：購物價(jià)格累計(jì)超過元后，超出元部分按付費(fèi)；乙商場的優(yōu)惠方案：購物價(jià)格累計(jì)超過元后，超出元部分按付費(fèi)；若某顧客準(zhǔn)備購買標(biāo)價(jià)為元的商品．(1)在甲商場購買的優(yōu)惠價(jià)為______元，在乙商場購買的優(yōu)惠價(jià)為______元；均用含的式子表示；(2)顧客到哪家商場購物花費(fèi)少？寫出解答過程；(3)乙商場為了吸引顧客，采取了進(jìn)一步的優(yōu)惠：購物價(jià)格累計(jì)超過元后，但不超過元，超出元部分按付費(fèi)；超過元后，超出元部分按付費(fèi)．甲商場沒有調(diào)整優(yōu)惠方案，請直接寫出顧客選擇甲商場購物花費(fèi)少時的取值范圍．【經(jīng)典例題十一用一元一次不等式解決幾何問題】【例11】（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期中）用長為40m的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長度m，要使靠墻的一邊長不小于25m，那么與墻垂直的一邊長x（m）的取值范圍為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）現(xiàn)將體積是125的正方體木塊鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，準(zhǔn)備從中選取n個小正方體木塊，排放在一塊長方形的木板上，已知此長方形木板的長是寬的4倍，面積是36，若只排放一層，n的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2019春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)分別表示數(shù)1、，則數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)應(yīng)落在．（填“點(diǎn)的左邊”、“線段上”或“點(diǎn)的右邊”）3．（2023春·江蘇淮安·七年級校考期末）將長為6，寬為a（a大于3且小于6）的長方形紙片按如圖①所示的方式折疊并壓平，剪下一個邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長方形按如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下邊長等于此時長方形寬的正方形，稱為第二次操作；如此反復(fù)操作下去…若在第n次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則操作終止．當(dāng)時，a的值為．

4．（2021春·上海長寧·六年級上海市延安初級中學(xué)校考期中）十五世紀(jì)杰出的法國數(shù)學(xué)家尼古拉斯·丘凱（Nicolaschuquet）在他的名著《數(shù)學(xué)三章》中提到了“平均數(shù)的規(guī)則”即：已知a、b、c、d都是正整數(shù)，如果，那么，并給出了證明．(1)根據(jù)我們所學(xué)習(xí)過的不等式的性質(zhì)，我們不難證明這個結(jié)論．由，在不等式的兩邊同時乘以________________________，可以得到；由，在不等式的兩邊同時加上______________，可以得到；由，在不等式的兩邊同時除以______________，可以得到；同理可證，所以成立．(2)丘凱在《數(shù)學(xué)三章》中對于“平均數(shù)的規(guī)則”給出了兩種證明，其中一種是用圖形幾何的方式直觀地說明了“平均數(shù)的規(guī)則”成立．

長度1是_______；長度2是_______．（用含有字母的式子表示）【經(jīng)典例題十二在數(shù)軸上表示不等式的解集】【例12】（2023春·安徽滁州·七年級校聯(lián)考期中）在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖南長沙·?？家荒＃啊北硎疽环N運(yùn)算符號，其意義是，例如：．已知關(guān)于x的不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，則k的取值是（）

A．4 B．2 C．0 D．﹣22．（2022春·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如果關(guān)于x的不等式x≥的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，那么a的值為．

3、（2022秋·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的不等式的負(fù)整數(shù)解為，則的取值范圍是．4．（2023春·貴州貴陽·九年級校考階段練習(xí)）整式的值為．

(1)當(dāng)時，求的值；(2)若的取值范圍如圖所示，求的非負(fù)整數(shù)值．【經(jīng)典例題十三由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求不等式的解集】【例13】（2023下·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨的增大而增大C．的解集是 D．直線不經(jīng)過第四象限【變式訓(xùn)練】1．（2023上·安徽六安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線和b是常數(shù)且交x軸，y軸分別于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程的解是 B．方程的解是C．不等式的解集是 D．不等式的解集是2．（2022下·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，直線過點(diǎn)，則不等式的解集為．3．（2023上·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)（，為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；(2)畫出該函數(shù)的圖像；(3)不等式的解集為______．【經(jīng)典例題十四根據(jù)兩條直線的交點(diǎn)求不等式的解集】【例14】（2023上·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與交于點(diǎn)，則下列四個結(jié)論：①，；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，．其中正確的結(jié)論有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2024上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，經(jīng)過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．（2024上·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則不等式的解集為．

3．（2023上·安徽六安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平移直線至直線，是常數(shù)且，直線與軸和軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．直線，是常數(shù)且與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．(1)求字母k，b，m，n，a的值；(2)直線與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積；(3)不等式組的解集為__________．【拓展培優(yōu)】1．（21-22七年級下·遼寧盤錦·期末）已知且，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）若關(guān)于x的不等式的解集為，則m的值可以?。ǎ〢．0 B．2 C．4 D．63．（23-24八年級上·浙江衢州·期末）我區(qū)某初中舉行“針圣故里，康養(yǎng)衢江”知識搶答賽，總共道搶答題，對于每一道題，答對得分，答錯或不答扣分，選手小華想使得分不低于分，則他至少答對多少道題（

）A．15 B．18 C．20 D．224．（23-24八年級上·浙江杭州·期中）兩位同學(xué)對兩個一元一次不等式（都不為0）的解提出了自己的想法，甲說：“如果，則兩個不等式的解相同”，乙說：“如果兩個不等式的解相同，則成立”．則他們兩人的說法為（）A．甲對乙錯 B．甲錯乙對 C．甲乙都對 D．甲乙都錯5．（23-24八年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)x，x均能寫成其整數(shù)部分與小數(shù)部分的和，即，其中稱為x的整數(shù)部分，表示不超過x的最大整數(shù)，稱為x的小數(shù)部分．比如，，，，，則下列結(jié)論正確的有（）①；②若是整數(shù)，則或；③若，，，則所有可能的值為6，7，8；④方程的解為；⑤對一切實(shí)數(shù)x均成立．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（22-23七年級下·山東煙臺·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為．7．（23-24八年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）小余用100元錢去購買筆記本和鋼筆共30件，已知每本筆記本2元，每支鋼筆5元，則小余至少能買筆記本本．8．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程無解，則的取值范圍是．9．（22-23七年級下·吉林長春·期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解x，y滿足，則滿足題意的最小整數(shù)a是．10．（2023·浙江杭州·二模）對于任意的，恒成立，則a的取值范圍是．11．（23-24八年級上·湖南湘潭·期末）解不等式：(1)；(2)．12．（22-23七年級下·山東煙臺·階段練習(xí)）若不等式的解集為，求的取值范圍．13．（22-23七年級下·四川巴中·期末）已知關(guān)于、的方程組若的值為非負(fù)數(shù)，的值為正數(shù)．(1)求的取值范圍；(2)在的取值范圍內(nèi)，當(dāng)為何負(fù)整數(shù)時，不等式的解集為．14．（22-23七年級下·四川巴中·期末）定義：對任意一個兩位數(shù)，如果滿足個位數(shù)字比十位數(shù)字大，那么稱這個兩位數(shù)為“慧泉數(shù)”將一個“慧泉數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與的商記為．例如：，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字后得到新的兩位數(shù)為，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，其和與的商為：，所以．根據(jù)以上定義，回答下列問題：(1)______；(2)若，求；(3)如果一個“慧泉數(shù)”的十位數(shù)字是，另一個“慧泉數(shù)”的個位數(shù)字是，且滿足，求、的值．15．（23-24七年級上·湖北武漢·期末）對于任意有理數(shù)x，規(guī)定：當(dāng)時，；當(dāng)時，．(1)填空：______，______，______；(2)若，求m的值；(3)若兩個有理數(shù)，，且a，b異號，滿足，請直接寫出a，b之間可能存在的數(shù)量關(guān)系：專題01一元一次不等式重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（14大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一不等式的定義題型二不等式的解集題型三不等式的基本性質(zhì)題型四一元一次不等式的定義題型五求一元一次不等式的解集題型六求一元一次不等式的整數(shù)解題型七求一元一次不等式解的最值題型八解|x|≥a型的不等式題型九列一元一次不等式題型十用一元一次不等式解決實(shí)際問題題型十一用一元一次不等式解決幾何問題題型十二在數(shù)軸上表示不等式的解集題型十三由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求不等式的解集題型十四根據(jù)兩條直線的交點(diǎn)求不等式的解集【知識梳理】知識點(diǎn)1一元一次不等式定義只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1．系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．注：其標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．知識點(diǎn)2解一元一次不等式解一元一次不等式步驟：（1）去分母；去分母時，每一項(xiàng)都要乘同一個數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)去括號；（2）去括號：移項(xiàng)時不要忘記變號；（2）移項(xiàng)；移項(xiàng)時不要忘記變號；（3）合并同類項(xiàng)；（4）化系數(shù)為1．說明：解一元一次不等式和解一元一次方程類似．不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變，這是解不等式時最容易出錯的地方．知識點(diǎn)一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0(a、b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量相應(yīng)的取值范圍?！窘?jīng)典例題一不等式的定義】【例1】（22-23八年級下·遼寧沈陽·期中）給出下列數(shù)學(xué)式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】C【分析】運(yùn)用不等式的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：③是等式，④是代數(shù)式，沒有不等關(guān)系，所以不是不等式．不等式有①②⑤，共3個．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識別常見不等號：＞，＜，≤，≥，≠．【變式訓(xùn)練】1．（22-23九年級下·吉林松原·期中）用不等式表示：的倍與的的和不大于，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意列出不等式，不大于5即．【詳解】解：的倍與的的和不大于，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列不等式，熟練掌握不等式的定義是解題的關(guān)鍵．2．（21-22八年級上·湖南婁底·期末）對于下列結(jié)論：①x為自然數(shù)，則；②x為負(fù)數(shù)，則；③x不大于10，則；④m為非負(fù)數(shù)，則，正確的有．【答案】②④/④②【分析】根據(jù)自然數(shù)定義即可判斷①，根據(jù)負(fù)數(shù)定義即可判斷②，不大于10，即小于或等于可判斷③，根據(jù)非負(fù)數(shù)定義即可判斷④．【詳解】解：x為自然數(shù)，則，錯誤，不合題意；②x為負(fù)數(shù)，則，正確，符合題意；③x不大于10，則，錯誤，不合題意；④m為非負(fù)數(shù)，則，正確，符合題意；故答案為：②④．【點(diǎn)睛】本題考查了列不等式的知識，正確理解負(fù)數(shù)定義，非負(fù)數(shù)定義，自然數(shù)定義，不大于即小于或等于．3．（22-23八年級上·全國·課時練習(xí)）根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式：(1)x的7倍減去1是正數(shù)．(2)y的與的和不大于0．(3)正數(shù)a與1的和的算術(shù)平方根大于1．(4)y的20%不小于1與y的和．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）根據(jù)“x的7倍減去1是正數(shù)”直接列不等式即可；（2）根據(jù)“y的與的和不大于0”直接列不等式即可；（3）根據(jù)“正數(shù)a與1的和的算術(shù)平方根大于1”直接列不等式即可；（4）根據(jù)“y的20%不小于1與y的和”直接列不等式即可．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：由題意得：；（3）解：由題意得：；（4）解：由題意得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查列不等式，準(zhǔn)確理解“大于，小于，不大于，不小于”這些詞語是關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二不等式的解集】【例2】（22-23七年級下·湖南衡陽·期中）下列說法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個解C．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個 D．不等式的正整數(shù)解有4個【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判斷解的情況．【詳解】解：A、該不等式的解集為，故錯誤，不符合題意；B、∵，故錯誤，不符合題意；C、正確，符合題意；D、因?yàn)樵摬坏仁降慕饧癁?，所以無正整數(shù)解，故錯誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)和不等式的解集的理解，解題關(guān)鍵是根據(jù)解集正確判斷解的情況．【變式訓(xùn)練】1．（20-21七年級下·湖北恩施·期末）據(jù)悉，我國設(shè)計(jì)制造的天舟二號貨運(yùn)飛船，在2021年5月29日順利升空，將6噸多物資運(yùn)送到天和核心艙，若用a表示貨運(yùn)飛船的載貨質(zhì)量，則對a的取值理解最準(zhǔn)確的是（）（單位：噸）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“6噸多”得到的取值范圍即可．【詳解】解：根據(jù)“6噸多”物資運(yùn)送到天和核心艙得到．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的定義：用“”或“”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．2．（22-23八年級下·山西太原·期中）在，，，四個數(shù)中，是不等式的解．【答案】6【分析】移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得出不等式的解集即可得出答案．【詳解】解：，，在，，，四個數(shù)中，符合條件的只有，即是不等式的解，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變．3．（20-21八年級下·江西景德鎮(zhèn)·期中）關(guān)于x的兩個不等式x+1<7?2x與?1+x<a．(1)若兩個不等式解集相同，求a的值；(2)若不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，求a的取值范圍．【答案】(1)a=1；(2)a≥1．【分析】（1）求出第二個不等式的解集，表示出第一個不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根據(jù)不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，求出a的范圍即可．【詳解】（1）解：由x+1<7?2x得：x＜2，由?1+x<a得：x＜a+1，由兩個不等式的解集相同，得到a+1=2，解得：a=1；（2）解：由不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，得到2≤a+1，解得：a≥1．【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的解集，根據(jù)題意分別求出對應(yīng)的值，利用不等關(guān)系求解．【經(jīng)典例題三不等式的基本性質(zhì)】【例3】（23-24七年級上·吉林長春·期末）下列不等式的變形正確的是（

）A．若，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、若，則，故原變形錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、若，且，則，故原變形錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、若，當(dāng)時，則，故原變形錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D、若，由題分析得，不等式兩邊同時除以正數(shù)，則，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級上·浙江杭州·期中）下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題考查不等式性質(zhì)，不等式兩邊加上或減去同一個數(shù)或式子，不等號方向不變．不等式兩邊乘或除以同一個正數(shù)，不等號方向不變．不等式兩邊乘或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變．根據(jù)不等式性質(zhì)對各項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可解題．【詳解】解：A、若，當(dāng)時，則，故A項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、若，則，故B項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、若，則，故C項(xiàng)正確，符合題意；D、若，則，故D項(xiàng)錯誤，不符合題意；故選：C．2．（23-24八年級上·浙江紹興·期末）已知，且，，若，則m的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，進(jìn)而推出是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴∴∵，，∴，∴故答案為：3．（22-23七年級下·山東煙臺·階段練習(xí)）（1）比較與的大小關(guān)系：①當(dāng)時，__________；②當(dāng)時，__________；③當(dāng)時，__________．（2）根據(jù)上述結(jié)果請你猜想與的大小關(guān)系：__________，并進(jìn)行驗(yàn)證．【答案】（1）①；②；③；（2），過程見詳解【分析】（1）①②③將的值代入和，求值后，比較大小即可；（2）綜合①②③得出結(jié)論：（時，取“”）；本題主要考查的是不等式的基本性質(zhì)：（時，取“”）；【詳解】解：①當(dāng)時，，∵，∴；②當(dāng)時，，∵，∴；③當(dāng)時，∵，∴；（2）綜合①②③得出結(jié)論：（時，取“=”）．證明：∵（時，取“=”），∴，∴【經(jīng)典例題四一元一次不等式的定義】【例4】（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）若是關(guān)于的一元一次不等式，則該不等式的解集是(

)A． B． C． D．【答案】C【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·湖南婁底·階段練習(xí)）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式，其中只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為1的不等式叫做一元一次不等式．解答此類題關(guān)鍵是會識別常見的不等號：．【詳解】解：①未知數(shù)的次數(shù)不是1，不是一元一次不等式，不符合題意；②含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；③是一元一次不等式，符合題意；④不是不等式，不符合題意；⑤是一元一次不等式，符合題意；∴一元一次不等式一共有2個，故選：A．2．（2021下·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于18．（2023九年級·全國·專題練習(xí)）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則k＝．【答案】-3【詳解】∵(k-3)x|k|-2+1>0是關(guān)于x的一元一次不等式,∴k-3≠0且|k|-2=1,解得k=-3.2．（22-23八年級下·江西撫州·階段練習(xí)）已知不等式是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為多少？并解這個一元一次不等式．【答案】，【分析】先根據(jù)一元一次不等式的性質(zhì)，求出m的值，得出這個不等式，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵不等式是關(guān)于x的一元一次不等式，∴，解得：，∴原不等式為，解得：．綜上：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)指數(shù)為1的不等式是一元一次不等式；以及不等式的性質(zhì)：不等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個式子，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變．【經(jīng)典例題五求一元一次不等式的解集】【例5】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的有（）①不是不等式的解；②不等式的解集是；③不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個；④不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】此題主要考查了不等式的解的定義，以及不等式的解集的定義，關(guān)鍵是熟練掌握兩個定義．根據(jù)不等式的解的定義：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解；不等式的解集的定義：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集，進(jìn)行分析即可得到答案．【詳解】①不等式的解集為：，∴不是不等式的解，正確；②不等式的解集是，正確；③不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個，正確；④不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個，正確．綜上分析可知，此題正確的說法有4個．故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·江蘇淮安·期末）若關(guān)于、的方程組的解滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先應(yīng)用加減消元法，求出關(guān)于、的方程組的解，然后根據(jù)解一元一次不等式的方法，求出的取值范圍即可．【詳解】解：，，可得，解得：，把代入②，可得，解得：，，，解得：，故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解二元一次不等式組，解一元一次不等式，熟練掌握解二元一次方程組的方法和解一元一次不等式的方法是解答本題的關(guān)鍵．2．（2024·河北·一模）若不等式有解，則實(shí)數(shù)的最小值是.【答案】【分析】本題考查絕對值的代數(shù)意義，根據(jù)代數(shù)意義去絕對值，分類討論求解即可得到答案，熟練掌握利用絕對值的代數(shù)意義去絕對值是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：①當(dāng)時，，，解得，不等式有解，，解得；②當(dāng)時，，，解得，不等式有解，，解得；③當(dāng)時，，，解得，不等式有解，，解得；綜上所述，若不等式有解，則，即實(shí)數(shù)的最小值是，故答案為：．3．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）已知關(guān)于的方程．(1)若該方程的解滿足，求的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的的負(fù)整數(shù)解，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵．（1）先求出方程的解，再根據(jù)方程的解滿足，得到關(guān)于x的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根據(jù)不等式的負(fù)整數(shù)解為，代入方程，即可求解．【詳解】（1）解：，解得，由題意得：，．（2），，，，，所以不等式的負(fù)整數(shù)解為，把代入得：，解得：．【經(jīng)典例題六求一元一次不等式的整數(shù)解】【例6】（22-23七年級下·四川眉山·期中）關(guān)于x、y的二元一次方程的正整數(shù)解有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)x、y為正整數(shù)得出，求出x的范圍，得出或2或3或4，代入求出y的值，由此即可解答．【詳解】解：∵二元一次方程的解為正整數(shù)，∴，解得：，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴二元一次方程的正整數(shù)解有4個，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的整數(shù)解，求出x的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·四川遂寧·期末）定義一種新運(yùn)算：．例如：，那么不等式的正整數(shù)解是（）A． B．1 C．0和1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題目所給新運(yùn)算的運(yùn)算法則，將化為代數(shù)式，再求解不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∵，∴，解得：，符合條件是正整數(shù)解有：1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一元一次不等式的正整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題目所給新運(yùn)算，列出不等式求解．2．（22-23七年級下·山東濟(jì)寧·期末）對于任意實(shí)數(shù)，，定義一種新運(yùn)算，其運(yùn)算法則為，例如：，請根據(jù)上述定義解決問題：求不等式的非負(fù)整數(shù)解．【答案】，，【分析】根據(jù)新運(yùn)算法則可得，然后按照解一元一次不等式的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：，，，，，該不等式的非負(fù)整數(shù)解為，，，故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解，理解新運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3、（22-23七年級下·北京東城·期末）先閱讀絕對值不等式和的解法，再解答問題．①因?yàn)?，從?shù)軸上（如圖1）可以看出只有大于而小于6的數(shù)的絕對值小于6，所以的解集為．②因?yàn)椋瑥臄?shù)軸上（如圖2）可以看出只有小于的數(shù)和大于6的數(shù)的絕對值大于6．所以的解集為或．

(1)的解集為___________，的解集為___________；(2)已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，其中是負(fù)整數(shù)，求的值．【答案】(1)；或(2)【分析】（1）根據(jù)閱讀材料的結(jié)論即可解答；（2）先將二元一次的方程組的兩方程求和可得，再代入得到關(guān)于m的絕對值不等式，然后求解，最后確定滿足題意的m的值即可．【詳解】（1）解：由閱讀材料提供方法可得：的解集為；的解集為或．故答案為：；或．（2）解：∵二元一次方程組∴可得：，即∵∴，∴∴∵m是負(fù)整數(shù)∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的幾何意義、二元一次方程組的特殊解法等知識點(diǎn)，理解絕對真的幾何意義是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七求一元一次不等式解的最值】【例7】（2022·江蘇南通·二模）已知關(guān)于x的不等式組的解集中至少有5個整數(shù)解，則整數(shù)a的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】首先解不等式組求得不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)從而確定a的范圍，進(jìn)而求得整數(shù)a最小值．【詳解】解：，解①得，解②得．則不等式組的解集是．∵解集中至少有5個整數(shù)解∴整數(shù)解為：-1,0,1,2,3．∴．整數(shù)a的最小值是4．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，確定a的范圍是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）按照下面給定的計(jì)算程序，當(dāng)時，輸出的結(jié)果是______；使代數(shù)式的值小于20的最大整數(shù)x是（）．A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，【答案】A【分析】把代入計(jì)算，即可求出輸出結(jié)果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整數(shù)x．【詳解】當(dāng)時，第1次運(yùn)算結(jié)果為，∴當(dāng)時，輸出結(jié)果是1；由題意，得，解得，∴使代數(shù)式的值小于20的最大整數(shù)x是7，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算，以及一元一次不等式的應(yīng)用，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（19-20七年級下·福建泉州·期末）已知實(shí)數(shù)，，．若，則的最大值為．【答案】6【分析】由得，與相加得，由及，可得a的最大值為3，從而得出的最大值．【詳解】解：由得，由得，及，解得：，的最大值為3，的最大值．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知等式得出的表達(dá)式，再求最大值．3．（21-22七年級下·海南儋州·期中）已知有關(guān)x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一個解，求滿足條件的整數(shù)a的最小值．【答案】0【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得關(guān)于a的不等式，解不等式即可求得滿足條件的整數(shù)a的最小值．【詳解】原方程可化為：，即7x=7，解得：x=1，把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5，解不等式得：，所以整數(shù)a的最小值為0．【點(diǎn)睛】本題是一元一次方程與一元一次不等式的綜合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整數(shù)解，正確解一元一次方程及一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八解|x|≥a型的不等式】【例8】（2023春·河北保定·八年級?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)絕對值性質(zhì)分、，去絕對值符號后解相應(yīng)不等式可得x的范圍．【詳解】解：①當(dāng)，即時，原式可化為：，解得：，；②當(dāng)，即時，原式可化為：，解得：，，綜上，該不等式的解集是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的能力，根據(jù)絕對值性質(zhì)分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·安徽蕪湖·九年級校考自主招生）若關(guān)于x的方程有三個整數(shù)解，則的值是(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)可得然后討論及的情況下解的情況，再根據(jù)方程有三個整數(shù)解可得出的值．【詳解】解：①若當(dāng)時，解得：，；當(dāng)時，解得：；；②若當(dāng)時，解得：，；當(dāng)時，解得：，；又方程有三個整數(shù)解，可得：或，根據(jù)絕對值的非負(fù)性可得：．即只能?。蔬x：B．【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值的一元一次方程，難度較大，掌握絕對值的性質(zhì)及不等式的2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）不等式的解集是．【答案】/【分析】根據(jù)“|a|”的幾何意義是：數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可解答．【詳解】解：根據(jù)絕對值的幾何意義可得：“”可理解為數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于，不等式的解集是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知不等式的解是，則a＝．【答案】【分析】首先根據(jù)題意表示出不等式的解，然后根據(jù)列方程求解即可．【詳解】∵∴，即，∴∴或∴或∵不等式的解是，∴應(yīng)舍去，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式含參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出一元一次不等式的解．4．（2023春·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期中）先閱讀下面是的解題過程，然后回答下列問題．例：解絕對值方程：．解：分情況討論：①當(dāng)時，原方程可化為，解得；②當(dāng)時，原方程可化為，解得．所以原方程的解為或．根據(jù)材料，解下列絕對值方程：(1)理解應(yīng)用：；(2)拓展應(yīng)用：不等式的解集為______．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）分為兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，去掉絕對值符號后求出即可；（2）分為兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，分情況求出即可．【詳解】（1）解：分情況討論：①當(dāng)時，原方程可化為，解得；②當(dāng)時，原方程可化為：，解得：，所以原方程的解為或；（2）解：分情況討論：①當(dāng)時，解得：；②當(dāng)時，解得：，所以不等式解集為或．【點(diǎn)睛】本題考查了含絕對值符號的一元一次方程及一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能去掉絕對值符號，用了分類討論思想．【經(jīng)典例題九列一元一次不等式】【例9】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）?次生活常識競賽共有20題，答對一題得5分，不答得0分，答錯一題扣2分．小濱有1題沒答，競賽成績不低于80分，設(shè)小聰答錯了x題，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】小聰答錯了道題，則答對了道題，根據(jù)總分答對題目數(shù)答錯題目數(shù)結(jié)合、總分超過80分，即可得出關(guān)于的一元一次不等式整理即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小聰答錯了x道題，則答對了道題，依題意得：，即：故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建漳州·七年級統(tǒng)考期中）一輛汽車從地出發(fā)，要在之前到達(dá)距離地的地，設(shè)平均車速為，根據(jù)題意可列不等式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，汽車45分鐘行駛的路程大于，依此列出不等式即可．【詳解】解：設(shè)平均車速為，45分鐘小時，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，正確得出不等式關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）在通過橋洞時，往往會看到如圖所示的標(biāo)志：這是限制車高的標(biāo)志，表示車輛高度不能超過，通過橋洞的車高應(yīng)滿足的不等式為．

【答案】/【分析】根據(jù)不等式的定義列不等式即可．【詳解】解：∵車輛高度不能超過，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查列不等式，掌握不等式的定義是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年卡塔爾世界杯正如火如荼地進(jìn)行著，其小組賽賽制為：每隊(duì)勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．若某強(qiáng)隊(duì)想要在小組賽中確保出線，就必須在3場中保持不敗并且積分不少于7分，則該隊(duì)至少勝多少場？設(shè)該隊(duì)勝x場，則列出的不等式為．【答案】【分析】設(shè)該隊(duì)至少勝x場，則平場，根據(jù)題意列不等式即可．【詳解】解：設(shè)該隊(duì)至少勝x場，則平場，由題意得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出不等式是關(guān)鍵．4．（2023春·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）為了加強(qiáng)對校內(nèi)外的安全監(jiān)控，創(chuàng)建“平安校園”，某學(xué)校計(jì)劃增加15臺監(jiān)控?cái)z像設(shè)備，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備，其中價(jià)格、有效監(jiān)控半徑如表所示：甲型乙型價(jià)格（單位：元/臺）450600有效監(jiān)控半徑（單位：米/臺）100150(1)若購買該批設(shè)備的資金不超過7200元，請你寫出購買的甲型設(shè)備數(shù)量x（臺）應(yīng)滿足的不等式；(2)若要求有效監(jiān)控半徑覆蓋范圍大于1600米，請你寫出購買的甲型設(shè)備數(shù)量x（臺）應(yīng)滿足的不等式．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)購買甲型設(shè)備x臺，則購買乙型設(shè)備臺，根據(jù)“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”結(jié)合購買該批設(shè)備的資金不超過7200元列關(guān)于x的一元一次不等式即可；（2）設(shè)購買甲型設(shè)備x臺，則購買乙型設(shè)備臺，根據(jù)要求監(jiān)控半徑覆蓋范圍不低于1600米可列關(guān)于x的一元一次不等式即可．【詳解】（1）解：設(shè)購買甲型設(shè)備x臺，則購買乙型設(shè)備臺，根據(jù)題意得：．（2）解：設(shè)購買甲型設(shè)備x臺，則購買乙型設(shè)備臺，根據(jù)題意得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列不等式，審清題意、找到不等關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十用一元一次不等式解決實(shí)際問題】【例10】（2022春·貴州·八年級校聯(lián)考期末）小穎準(zhǔn)備用元錢買筆和筆記本，已知每枝筆元，每本筆記本元，她買了個筆記本，其余的錢用來買筆，那么她最多能買（）枝．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用每支筆元，每本筆記本元，進(jìn)而利用總錢數(shù)不超過元，進(jìn)而得出不等關(guān)系求出即可．【詳解】設(shè)買筆支，根據(jù)題意得：，解得：，∴最多能買支，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確的不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·安徽合肥·七年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┧拿莱袖N售某品牌紙杯，商家按照進(jìn)價(jià)的提價(jià)銷售，隨著合肥“限塑令”頒布，該紙杯的進(jìn)價(jià)增加了，現(xiàn)商家為增加獲利，且使利潤率不低于，應(yīng)把售價(jià)在原售價(jià)的基礎(chǔ)上至少提高（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令原進(jìn)價(jià)為“1”，設(shè)售價(jià)在原售價(jià)的基礎(chǔ)上至少提高，依題意得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：令原進(jìn)價(jià)為“1”，設(shè)售價(jià)在原售價(jià)的基礎(chǔ)上至少提高，依題意得，，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：．2．（2022春·廣東深圳·八年級校考期中）某次知識競賽共有20道題，答對一題得10分，答錯或不答均扣5分，小玉得分超過95分，他至少要答對道題．【答案】14【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以求得x的取值范圍，由于x是整數(shù)，從而可以解答本題．【詳解】解：設(shè)小玉答對了x道題，解得，∴小玉至少答對14道，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的一元一次不等式．3．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？茧A段練習(xí)）今年校團(tuán)委舉辦了“中國夢，我的夢”歌詠比賽，張老師為鼓勵同學(xué)們，帶了50元錢購買甲、乙兩種筆記本作為獎品．已知甲種筆記本每本7元，乙種筆記本每本5元，每種筆記本至少買3本，則張老師購買筆記本的方案共有種．【答案】6【分析】設(shè)甲種筆記本購買了x本，乙種筆記本y本，由題意，得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)甲種筆記本購買了x本，乙種筆記本y本，由題意，得，∵，，∴當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，舍去；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，舍去；當(dāng)，時，．綜上所述，共有6種購買方案．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次不等式的整數(shù)解的應(yīng)用，找準(zhǔn)不等關(guān)系，正確列出二元一次不等式是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）為了促進(jìn)消費(fèi)，端午節(jié)期間，甲乙兩家商場以同樣的價(jià)格出售同樣的商品，并且又各自推出不同促銷方案：甲商場的優(yōu)惠方案：購物價(jià)格累計(jì)超過元后，超出元部分按付費(fèi)；乙商場的優(yōu)惠方案：購物價(jià)格累計(jì)超過元后，超出元部分按付費(fèi)；若某顧客準(zhǔn)備購買標(biāo)價(jià)為元的商品．(1)在甲商場購買的優(yōu)惠價(jià)為______元，在乙商場購買的優(yōu)惠價(jià)為______元；均用含的式子表示；(2)顧客到哪家商場購物花費(fèi)少？寫出解答過程；(3)乙商場為了吸引顧客，采取了進(jìn)一步的優(yōu)惠：購物價(jià)格累計(jì)超過元后，但不超過元，超出元部分按付費(fèi)；超過元后，超出元部分按付費(fèi)．甲商場沒有調(diào)整優(yōu)惠方案，請直接寫出顧客選擇甲商場購物花費(fèi)少時的取值范圍．【答案】(1)，(2)當(dāng)時，顧客在甲商場購物花費(fèi)少，當(dāng)時，顧客在甲，乙商場購物花費(fèi)相等，當(dāng)時，顧客在乙商場購物花費(fèi)少(3)【分析】根據(jù)甲、乙的促銷方案進(jìn)行解答即可；根據(jù)中表示出在甲乙兩商場的花費(fèi)列出的不等式，分情況討論，求出最合適的消費(fèi)方案；當(dāng)時，由題意列出一元一次不等式，可求解．【詳解】（1）解：在甲商場購買的優(yōu)惠價(jià)元，在乙商場購買的優(yōu)惠價(jià)元，故答案為：，；（2）解：當(dāng)顧客在甲商場購物花費(fèi)少時，，解得：；當(dāng)顧客在乙商場購物花費(fèi)少時，則，解得：；當(dāng)顧客在甲，乙商場購物花費(fèi)相等時，則，解得：；當(dāng)時，顧客在甲商場購物花費(fèi)少，當(dāng)時，顧客在甲，乙商場購物花費(fèi)相等，當(dāng)時，顧客在乙商場購物花費(fèi)少．（3）解：當(dāng)時，由題意可得：，解得：，當(dāng)時，顧客在甲商場購物花費(fèi)少，又當(dāng)時，顧客在甲商場購物花費(fèi)少，時，顧客在甲商場購物花費(fèi)少，綜上所述，顧客選擇甲商場購物花費(fèi)少時的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，列出不等式關(guān)系式即可求解．注意此題分類討論的數(shù)學(xué)思想．【經(jīng)典例題十一用一元一次不等式解決幾何問題】【例11】（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期中）用長為40m的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長度m，要使靠墻的一邊長不小于25m，那么與墻垂直的一邊長x（m）的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意和圖形列出不等式即可解得．【詳解】根據(jù)題意和圖形可得，解得：，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）現(xiàn)將體積是125的正方體木塊鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，準(zhǔn)備從中選取n個小正方體木塊，排放在一塊長方形的木板上，已知此長方形木板的長是寬的4倍，面積是36，若只排放一層，n的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先計(jì)算出每個小正方體的棱長，再計(jì)算出木板的長度，后建立不等式求不等式的整數(shù)解即可．【詳解】解：∵體積是125的正方體鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，∴每一塊的棱長l＝2.5cm，∵長方形面積是36，長方形木板的長是寬的4倍，設(shè)寬為xcm，長為4xcm，x?4x＝36，得：x＝3，∴長為12cm，根據(jù)題意,得2.5n≤12，∴n≤4.8，∵n是正整數(shù)，∴n的最大值是4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了立方體的體積，長方形的面積，算術(shù)平方根即平方根中的正的那個，不等式的整數(shù)解，熟練求不等式的整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．2．（2019春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)分別表示數(shù)1、，則數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)應(yīng)落在．（填“點(diǎn)的左邊”、“線段上”或“點(diǎn)的右邊”）【答案】線段上【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)右邊的總比左邊的大，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案；根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得點(diǎn)在A點(diǎn)的右邊，利用作差法，可得點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊．【詳解】解：由數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)右邊的總比左邊的大，得：?2x+3>1，解得x<1；?x>?1，兩邊同時加上2，得：?x+2>?1+2，解得?x+2>1，∴數(shù)軸上表示數(shù)?x+2的點(diǎn)在A點(diǎn)的右邊，根據(jù)作差法，得：?2x+3?(?x+2)=?x+1，由x<1，得：?x>?1，?x+1>0，?2x+3?(?x+2)>0，∴?2x+3>?x+2，∴數(shù)軸上表示數(shù)?x+2的點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊，∴數(shù)軸上表示數(shù)?x+2的點(diǎn)應(yīng)落在線段AB上，故答案為：線段AB上；【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的性質(zhì)，數(shù)軸上數(shù)的大小，掌握一元一次不等式的性質(zhì)及數(shù)軸上數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇淮安·七年級?？计谀㈤L為6，寬為a（a大于3且小于6）的長方形紙片按如圖①所示的方式折疊并壓平，剪下一個邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長方形按如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下邊長等于此時長方形寬的正方形，稱為第二次操作；如此反復(fù)操作下去…若在第n次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則操作終止．當(dāng)時，a的值為．

【答案】或【分析】根據(jù)題意，第一次和第二次操作后，通過列不等式并求解，即可得到的取值范圍；第三次操作后，通過列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，第一次操作，當(dāng)剩下的長方形寬為：，長為：時，得：∴當(dāng)剩下的長方形寬為：，長為：時，得：∴∵∴第一次操作，剩下的長方形寬為：，長為：；第二次操作，當(dāng)剩下的長方形寬為：，長為：時，得：解得：∴當(dāng)剩下的長方形寬為：，長為：時，得：解得：∴∵在第次操作后，剩下的長方形恰為正方形，且∴第三次操作后，當(dāng)剩下的正方形邊長為：時，得：解得：∵∴符合題意；當(dāng)剩下的正方形邊長為：時，得：解得：∵∴符合題意；∴的值為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．4．（2021春·上海長寧·六年級上海市延安初級中學(xué)?？计谥校┦迨兰o(jì)杰出的法國數(shù)學(xué)家尼古拉斯·丘凱（Nicolaschuquet）在他的名著《數(shù)學(xué)三章》中提到了“平均數(shù)的規(guī)則”即：已知a、b、c、d都是正整數(shù)，如果，那么，并給出了證明．(1)根據(jù)我們所學(xué)習(xí)過的不等式的性質(zhì)，我們不難證明這個結(jié)論．由，在不等式的兩邊同時乘以________________________，可以得到；由，在不等式的兩邊同時加上______________，可以得到；由，在不等式的兩邊同時除以______________，可以得到；同理可證，所以成立．(2)丘凱在《數(shù)學(xué)三章》中對于“平均數(shù)的規(guī)則”給出了兩種證明，其中一種是用圖形幾何的方式直觀地說明了“平均數(shù)的規(guī)則”成立．

長度1是_______；長度2是_______．（用含有字母的式子表示）【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)長度1為，則長度2為，則，去分母求出即可得結(jié)果．【詳解】（1）由，在不等式的兩邊同時乘以，可以得到；由，在不等式的兩邊同時加上，可以得到；由，在不等式的兩邊同時除以，可以得到；（2）設(shè)長度1為，則長度2為，則，兩邊同乘以得，，，，，，長度1是；長度2是．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)以及用幾何圖形證明不等式的成立，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十二在數(shù)軸上表示不等式的解集】【例12】（2023春·安徽滁州·七年級校聯(lián)考期中）在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1，把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，把x的系數(shù)化為1得，．在數(shù)軸上表示為：

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖南長沙·?？家荒＃啊北硎疽环N運(yùn)算符號，其意義是，例如：．已知關(guān)于x的不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，則k的取值是（）

A．4 B．2 C．0 D．﹣2【答案】A【分析】根據(jù)，可得，求得不等式的解集，根據(jù)數(shù)軸得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，從數(shù)軸可知，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算、解一元一次不等式、在數(shù)軸上表示不等式的解集和解一元一次方程，能正確識圖是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如果關(guān)于x的不等式x≥的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，那么a的值為．

【答案】-3【分析】根據(jù)不等式的解集及其在數(shù)軸上的表示得出關(guān)于a的方程，解之可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意知：＝﹣2，∴a﹣1＝﹣4，則a＝﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式及不等式解集在數(shù)軸上的表示，解題的關(guān)鍵是根據(jù)解集在數(shù)軸上的表示得出關(guān)于a的方程．3、（2022秋·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的不等式的負(fù)整數(shù)解為，則的取值范圍是．【答案】【分析】首先解不等式求得解集，然后根據(jù)不等式只有負(fù)整數(shù)解為-1，-2，-3，得到關(guān)于m的不等式，求得m的范圍．【詳解】解：∵2x-m≥0，∴2x≥m，∴x≥．則-4＜≤-3，解得：-8＜m≤-6．故答案為：-8＜m≤-6．【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)不等式解集的情況求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)x的取值范圍正確確定的范圍是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·貴州貴陽·九年級?？茧A段練習(xí)）整式的值為．

(1)當(dāng)時，求的值；(2)若的取值范圍如圖所示，求的非負(fù)整數(shù)值．【答案】(1)(2)0，1，2，3【分析】（1）把直接代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)數(shù)軸得出不等式，解不等式，即可求出的非負(fù)整數(shù)值．【詳解】（1）解：當(dāng)時，；（2）由數(shù)軸得：，解得：，∴的非負(fù)整數(shù)值為0，1，2，3．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，解一元一次不等式，熟練掌握解不等式的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十三由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求不等式的解集】【例13】（2023下·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨的增大而增大C．的解集是 D．直線不經(jīng)過第四象限【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)與一元一次不等式等知識，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系對各選項(xiàng)逐項(xiàng)分析判斷即可得到答案，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，故A錯誤，不符合題意；，隨的增大而減小，故B錯誤，不符合題意；，，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故D錯誤，不符合題意；的解集是，故C正確，符合題意；故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·安徽六安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線和b是常數(shù)且交x軸，y軸分別于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程的解是 B．方程的解是C．不等式的解集是 D．不等式的解集是【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)與一元一次不等式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)的圖象判斷即可．【詳解】解：如圖，直線和b是常數(shù)且交x軸，y軸分別于點(diǎn)，∴，∴，∴直線的解析式為，當(dāng)時，則，解得，故B正確，符合題意；由圖象可知方程的解是，故A錯誤，不合題意；不等式的解集是，故C錯誤，不合題意；等式的解集是，故D錯誤，不合題意．故選：B．2．（2022下·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，直線過點(diǎn)，則不等式的解集為．【答案】【分析】本題考查利用函數(shù)圖像解不等式，涉及直線圖像與性質(zhì)，函數(shù)圖像解不等式，熟練掌握利用函數(shù)圖像解不等式的方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：對于不等式對應(yīng)三個函數(shù)圖像、和，不妨令、和，則轉(zhuǎn)化為，即直線在直線上方；直線在直線上方部分對應(yīng)的范圍，過三條直線的交點(diǎn)作軸的垂線，如圖所示：當(dāng)，直線在直線上方，直線在直線上方，此時滿足，故答案為：．3．（2023上·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)（，為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；(2)畫出該函數(shù)的圖像；(3)不等式的解集為______．【答案】(1)(2)作圖見解析(3)【分析】本題考查一次函數(shù)圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)、作一次函數(shù)圖像、由圖像解不等式等，熟練掌握一次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）由題意，利用待定系數(shù)法，列二元一次方程組求解即可得到答案；（2）根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，利用描點(diǎn)、連線的方法作一次函數(shù)圖像即可得到答案；（3）由一次函數(shù)圖像與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】（1）解：一次函數(shù)（，為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，，解得，該函數(shù)的表達(dá)式；（2）解：當(dāng)時，，解得，一次函數(shù)過點(diǎn)和，描點(diǎn)、連線，如圖所示：

（3）解：由（2）中圖像可知，不等式的解集是指一次函數(shù)在軸下方圖像所對應(yīng)的的取值范圍，一次函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)為，不等式的解集為．【經(jīng)典例題十四根據(jù)兩條直線的交點(diǎn)求不等式的解集】【例14】（2023上·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與交于點(diǎn)，則下列四個結(jié)論：①，；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，．其中正確的結(jié)論有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象判斷即可，關(guān)鍵是根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過二，四象限，所以，經(jīng)過一、二、三象限，所以，故①正確；，當(dāng)時，，故②錯誤；結(jié)合圖象可得，當(dāng)時，直線的圖象在的圖象下方，，故③正確；結(jié)合圖象，當(dāng)時，，，，，故④正確，故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，經(jīng)過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)時，直線在直線的上方，不等式的解集為．故選：B．2．（2024上·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則不等式的解集為．

【答案】【分析】本題主要考查直線與不等式，先求出兩直線的交點(diǎn)為，代入，求出，及直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可得結(jié)論．【詳解】解：∵直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，∴直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴解得，，∴當(dāng)時，，∴與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為∴的解集為，故答案為：3．（2023上·安徽六安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平移直線至直線，是常數(shù)且，直線與軸和軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．直線，是常數(shù)且與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．(1)求字母k，b，m，n，a的值；(2)直線與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積；(3)不等式組的解集為__________．【答案】(1)字母，，，，的值分別為，4，2，，2(2)四邊形面積為5(3)【分析】本題考查一次函數(shù)、方程和一元一次不等式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)和方程的關(guān)系．（1）先根據(jù)平移的性質(zhì)求出，再將點(diǎn)代入即可求出直線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)和點(diǎn)代入直線作答即可；（2）根據(jù)圖像，，分別求面積再作差即可求解；（3）根據(jù)圖像即可作答．【詳解】（1）直線由平移而來，，又過，代入直線解析式，得，直線解析式為，又點(diǎn)在直線上，當(dāng)時，，點(diǎn)坐標(biāo)為，直線過、兩點(diǎn)，，解得，字母，，，，的值分別為，4，2，，2；（2）由圖得，，當(dāng)時，代入直線解折式，即，，即，，又，，，，四邊形面積為5；（3）根據(jù)圖像，，，，，，故答案為：．【拓展培優(yōu)】1．（21-22七年級下·遼寧盤錦·期末）已知且，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了解二元一次方程組，以及解一元一次不等式，方程組兩方程相加表示出，根據(jù)大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可求出k的范圍．將方程組兩方程相加表示出是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，得：，即，解得：．故選：D．2．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）若關(guān)于x的不等式的解集為，則m的值可以?。ǎ〢．0 B．2 C．4 D．6【答案】A【分析】本題主要考查一元一次不等式的解集與解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的基本性質(zhì)3．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式的解集為，∴，則，∴m可以等于0，不能為2，4，6．故選：A．3．（23-24八年級上·浙江衢州·期末）我區(qū)某初中舉行“針圣故里，康養(yǎng)衢江”知識搶答賽，總共道搶答題，對于每一道題，答對得分，答錯或不答扣分，選手小華想使得分不低于分，則他至少答對多少道題（

）A．15 B．18 C．20 D．22【答案】D【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)他答對道題，則答錯或不答有道題，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式并解不等式即可求解，理清題意，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)他答對道題，則答錯或不答有道題，依題意得：，解得：，答：他至少答對22道題，故選D．4．（23-24八年級上·浙江杭州·期中）兩位同學(xué)對兩個一元一次不等式（都不為0）的解提出了自己的想法，甲說：“如果，則兩個不等式的解相同”，乙說：“如果兩個不等式的解相同，則成立”．則他們兩人的說法為（）A．甲對乙錯 B．甲錯乙對 C．甲乙都對 D．甲乙都錯【答案】B【分析】本題考查了解一元一次不等式．熟練掌握不等式兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的開口方向發(fā)生改變是解題的關(guān)鍵．由題意可設(shè)，然后求解兩個不等式的解集，對甲進(jìn)行判斷即可；根據(jù)x的解相同，可知無論為正的或者負(fù)的，x都同時大于或同時小于同一個數(shù)，對乙進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意可設(shè)，解得，，解得，，∴兩者的解不同，甲錯誤；若x的解相同，則無論為正的或者負(fù)的，x都同時大于或同時小于同一個數(shù)，即，乙正確，故選：B．5．（23-24八年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)x，x均能寫成其整數(shù)部分與小數(shù)部分的和，即，其中稱為x的整數(shù)部分，表示不超過x的最大整數(shù)，稱為x的小數(shù)部分．比如，，，，，則下列結(jié)論正確的有（）①；②若是整數(shù)，則或；③若，，，則所有可能的值為6，7，8；④方程的解為；⑤對一切實(shí)數(shù)x均成立．A．2個 B．3