2024年高一學(xué)年度質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3．本卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.0 B.1 C.-1 D.2.下列特征數(shù)中，刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差3.已知圓錐的底面半徑和高均為1，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.5.一個(gè)水果盤子里有2個(gè)蘋果和3個(gè)桃子，從盤中任選2個(gè)，則選中的水果品種相同的概率為（）A. B. C. D.6.若，則（）A. B. C. D.7.某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在旗桿底部O的正東方向A處，測(cè)得旗桿頂端P的仰角為，在A的南偏西方向上的B處，測(cè)得P的仰角為（O，A，B在同一水平面內(nèi)），A，B兩點(diǎn)間的距離為20m，則旗桿的高度OP約為（，）（）A.10m B.14m C.17m D.20m8.在銳角三角形ABC中，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．下列命題為真命題的是（）A.若，則為直角三角形B.若，則為等腰三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則為等腰直角三角形10.已知a，b，c為三條直線，，，為三個(gè)平面．下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則11.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)白色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件“兩個(gè)球顏色不同”，“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)的和為奇數(shù)”，“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)都不小于2”，則（）A.A與B互斥 B.A與C相互獨(dú)立C D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.樣本數(shù)據(jù)7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位數(shù)為________．13.已知向量，滿足，向量在上的投影向量為，則___________．14.以棱長(zhǎng)為2的正方體的六個(gè)面為底面，分別向外作形狀相同的正四棱錐，得到一個(gè)多面體，已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為．該多面體的體積為________，其面數(shù)為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求B；（2）若，求．16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，分別是棱中點(diǎn)．（1）證明：；（2）證明：平面．17.某班學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）頻率分布表如下：分組[7，7.5）[7.5，8）[8，8.5）[8.5，9]頻數(shù)4x20y頻率ab0.40.12（1）計(jì)算該班學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該班日睡眠時(shí)間在和的學(xué)生中抽取5人．再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠時(shí)間在[7，7.5）的概率．18.已知的面積為9，點(diǎn)D在BC邊上，．（1）若，，①證明：；②求AC；（2）若，求AD的最小值．19.如圖，等腰梯形ABCD為圓臺(tái)的軸截面，E，F(xiàn)分別為上下底面圓周上的點(diǎn)，且B，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面．（1）證明：；（2）已知，，四棱錐C-BEDF的體積為3．①求三棱錐B-ADE體積；②當(dāng)母線與下底面所成角最小時(shí)，求二面角C-BF-D的正弦值．2024年高一學(xué)年度質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3．本卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.0 B.1 C.-1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程求解.【詳解】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，解得.故選：A2.下列特征數(shù)中，刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)字特征的含義求解即可.【詳解】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，方差是衡量一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小的量，即刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度.故選：D.3.已知圓錐的底面半徑和高均為1，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)公式可解．【詳解】根據(jù)題意圓錐的母線長(zhǎng)，代入即可求得．故選：B.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理，就可以求出x的值，然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，所以，即所以，所以所以，故選：B.5.一個(gè)水果盤子里有2個(gè)蘋果和3個(gè)桃子，從盤中任選2個(gè)，則選中水果品種相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用古典概型可解．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)個(gè)蘋果分別記為：和，個(gè)桃子編號(hào)為，從盤中任選兩個(gè)，可得共種情況．選中的水果品種相同的選法有：，，有種．所以選中的水果品種相同概率為：．故選：C.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法，令，，找到與的關(guān)系，然后利用誘導(dǎo)公式和倍角公式進(jìn)行求值即可.【詳解】令，，則，令，則所以故選：B.7.某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在旗桿底部O的正東方向A處，測(cè)得旗桿頂端P的仰角為，在A的南偏西方向上的B處，測(cè)得P的仰角為（O，A，B在同一水平面內(nèi)），A，B兩點(diǎn)間的距離為20m，則旗桿的高度OP約為（，）（）A.10m B.14m C.17m D.20m【答案】C【解析】【分析】利用仰角、方位角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】如圖，設(shè)米，則米，米.在中，由題意可得，，由余弦定理可得，解得米.故選：C.8.在銳角三角形ABC中，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用切化弦的思想以及兩角和的公式，等價(jià)變形已知條件，求得，然后消元，得到，再一次化簡(jiǎn)為只有一個(gè)三角符號(hào)，再求出角A的范圍，即可求解.【詳解】因?yàn)椋运?，又三角形ABC為銳角三角形，所以，所以又因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，所以所以所以，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．下列命題為真命題的是（）A.若，則為直角三角形B.若，則為等腰三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則為等腰直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理逐項(xiàng)進(jìn)行邊角互化即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，由正弦定理得，所以，所以為直角三角形，故A正確；對(duì)于B，若，由正弦定理得，所以，所以為等腰三角形，故B正確；對(duì)于C，若，由正弦定理得，即，所以或，即或，則是等腰或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由正弦定理得，所以，即，所以為等腰直角三角形，故D正確；故選：ABD.10.已知a，b，c為三條直線，，，為三個(gè)平面．下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，，若，則一定有，，而在同一平面的a，b兩條直線可以平行，也可以相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，這是線面平行的性質(zhì)定理，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，這是面面垂直的判定定理，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，，過平面內(nèi)一點(diǎn)A，分別作，，如圖所示，因?yàn)?，，，，所以，又因?yàn)?，所以，同理：，又因?yàn)?，、，所以，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.11.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)白色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件“兩個(gè)球顏色不同”，“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)的和為奇數(shù)”，“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)都不小于2”，則（）A.A與B互斥 B.A與C相互獨(dú)立C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義分析A，由相互獨(dú)立事件的定義分析B，由古典概型的計(jì)算公式分析C、D，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則，，，所以有，，對(duì)于A，，事件A、B可以同時(shí)發(fā)生，則A、B不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，A、C相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.樣本數(shù)據(jù)7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位數(shù)為________．【答案】11【解析】【分析】根據(jù)百分?jǐn)?shù)的定義就可求得第40百分位數(shù).【詳解】首先對(duì)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8個(gè)數(shù)據(jù)，所以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四位，即11，故答案為：11.13.已知向量，滿足，向量在上的投影向量為，則___________．【答案】2【解析】【分析】首先利用投影向量的定義求出，再利用數(shù)量積的定義求出即可.【詳解】由已知向量在上的投影向量為，則，又因?yàn)榧?，所?所以故答案為：214.以棱長(zhǎng)為2的正方體的六個(gè)面為底面，分別向外作形狀相同的正四棱錐，得到一個(gè)多面體，已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為．該多面體的體積為________，其面數(shù)為________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，求出正四棱錐的高，從而求體積.【詳解】根據(jù)題意，如圖，以棱長(zhǎng)為2正方體的一個(gè)面為底面的正四棱錐，取底面中心，中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，則，所以，從而該多面體的體積為，考慮到四棱錐的側(cè)面夾角為，其面數(shù)為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求B；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，得到；（2）設(shè)，代入，求出，再由余弦定理得到，進(jìn)而得到正弦和正切.【小問1詳解】，故，因，所以；【小問2詳解】設(shè)，代入中，，故，解得，由余弦定理得，則，故.16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，分別是棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）證明：平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，由已知證明平面，又平面，即可證明；（2）連接，證明出平面平面，結(jié)合面面平行性質(zhì)即可證明．【小問1詳解】連接交于點(diǎn)，由四邊形是菱形得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又平面，所以．【小?詳解】連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，又分別是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，又平?所以平面．17.某班學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的頻率分布表如下：分組[7，7.5）[7.5，8）[8，8.5）[8.5，9]頻數(shù)4x20y頻率ab0.40.12（1）計(jì)算該班學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該班日睡眠時(shí)間在和的學(xué)生中抽取5人．再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠時(shí)間在[7，7.5）的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出的值，再求平均數(shù)；（2）由比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，分別從和兩組的學(xué)生中抽取2人，3人，再由古典概率求解.【小問1詳解】因?yàn)槿萘浚?，所以該班學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間為；【小問2詳解】由（1）知，該班日睡眠時(shí)間在和頻率比為，由比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，分別從和兩組的學(xué)生中抽取2人，3人，記中抽取的2人為，中抽取的3人為，設(shè)“2人中至少有1人的睡眠時(shí)間在”為事件，則，，所以發(fā)生的概率，所以2人中至少有1人的日睡眠時(shí)間在[7，7.5）的概率為.18.已知面積為9，點(diǎn)D在BC邊上，．（1）若，，①證明：；②求AC；（2）若，求AD的最小值．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）①在中，由正弦定理可得，從而得證；②在中，利用三角函數(shù)恒等變換可得所以，在中，由，可解問題；（2）由，兩邊平方的，再借助余弦定理和三角形面積公式，將上式表示為，化簡(jiǎn)利用基本不等式求最值.【小問1詳解】①因?yàn)?，，所以，在中，由正弦定理可得，所以；②設(shè)，則，因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，，由①知，所以，所以，整理得，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，在中，因?yàn)?，，所以，所以，則，所以；【小問2詳解】記的內(nèi)角為，所對(duì)邊為，因?yàn)?，所以，所以，在中，因?yàn)?，所以由余弦定理可得，整理得，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以AD的最小值為4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問中，由平面向量得，兩邊平方的，再借助余弦定理和三角形面積公式，將上式表示為，利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，并利用基本不等式求最值.19.如圖，等腰梯形ABCD為圓臺(tái)的軸截面，E，F(xiàn)分別為上下底面圓周上的點(diǎn)，且B，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面．（1）證明：；（2）已知，，四棱錐C-BEDF的體積為3．①求三棱錐B-ADE的體積；