2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——偏微分方程的理論與應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空4分，共20分）1.方程x2?2u/?x2+y2?2u/?y2+xy?u/?x+2y?u/?y+u=0是階的偏微分方程，其中x和y是，u是。2.一階線性偏微分方程z=f(x,y)+?f/?x(ξ-x)+?f/?y(η-y)的通解中包含個任意常數(shù)。3.在直角坐標系下，用分離變量法求解拉普拉斯方程?2u/?x2+?2u/?y2=0時，若邊界條件為u(0,y)=u(a,y)=0，則函數(shù)u(x,y)=X(x)Y(y)滿足的常微分方程為X''(x)/X(x)=________，Y''(y)/Y(y)=________。4.若函數(shù)u(x,t)滿足熱傳導方程?u/?t=k?2u/?x2，且初始條件為u(x,0)=f(x)，則用傅里葉余弦變換求解時，其像函數(shù)F(ω,t)滿足的常微分方程為________。5.波動方程?2u/?t2=a2?2u/?x2的通解可以表示為u(x,t)=________+________的形式。二、選擇題（每題3分，共15分）1.下列方程中，屬于雙曲型偏微分方程的是（）。A.?u/?t=?u/?xB.?u/?t=?2u/?x2C.?2u/?x2+?2u/?y2=0D.(?2u/?x2)2+(?2u/?y2)2=u2.對于一階線性偏微分方程z=f(x,y)+?f/?x(ξ-x)+?f/?y(η-y)，若取特征線方程組為dx/?f/?x=dy/?f/?y=dz/1，則其對應的特征方程為（）。A.ξ-x=η-yB.ξ-x=z-tC.(ξ-x)/?f/?x=(η-y)/?f/?yD.dx/dy=dz/?f/?x3.在求解拉普拉斯方程?2u/?x2+?2u/?y2=0在矩形區(qū)域[0,a]×[0,b]上的邊值問題時，若邊界條件為u(0,y)=u(a,y)=0，u(x,0)=g(x)，u(x,b)=h(x)，則通常采用的方法是（）。A.直接求解B.分離變量法C.積分變換法D.特征線法4.若函數(shù)u(x,t)滿足熱傳導方程?u/?t=k?2u/?x2，且關于x的傅里葉變換為F(ω,t)，則?u/?t的傅里葉變換為（）。A.kω2F(ω,t)B.-kω2F(ω,t)C.kF(ω,t)D.-kF(ω,t)5.下列說法正確的是（）。A.所有一階偏微分方程都可使用特征線法求解。B.拉普拉斯方程是拋物型偏微分方程。C.若解u(x,t)滿足波動方程?2u/?t2=a2?2u/?x2，則其能量守恒。D.分離變量法只能用于求解齊次線性偏微分方程。三、計算題（共55分）1.（10分）求解一階偏微分方程x2(z-y?z/?x)=y2(z+x?z/?y)。2.（10分）求解拉普拉斯方程?2u/?x2+?2u/?y2=0在第一象限(x≥0,y≥0)內，滿足邊界條件u(0,y)=y2，lim(x→∞)u(x,y)=0的解。3.（15分）求解熱傳導方程?u/?t=k?2u/?x2在區(qū)間[0,π]上，滿足初始條件u(x,0)=sin(x)+sin(2x)的解。4.（20分）求解波動方程?2u/?t2=a2?2u/?x2在區(qū)間[0,l]上，滿足初始條件u(x,0)=f(x),?u/?t(x,0)=g(x)的解，其中f(x)=sin(πx/l),g(x)=π/asin(πx/l)。四、證明題（共10分）證明：若函數(shù)u(x,t)滿足熱傳導方程?u/?t=k?2u/?x2，且u(x,t)在無窮遠處趨于零，即lim(x2+t→∞)u(x,t)=0，則u(x,t)在任何有限區(qū)域內的能量W(t)=∫[-∞,+∞][u(x,t)2+k(?u/?x)2]dx是關于時間t的單調非增函數(shù)。試卷答案一、填空題1.一，自變量，因變量2.一3.-λ2,-λ2（其中λ2=-Y''(y)/Y(y)）4.kω2F(ω,t)5.F(x-ct),f(x+ct)（其中c為波速）二、選擇題1.D2.C3.B4.A5.C三、計算題1.解：令z=vx,則?z/?x=v+x?v/?x,?z/?y=v?y/?x.代入原方程得x2(v-y(v+x?v/?x))=y2(v+x(v?v/?y)).整理得x3?v/?x=y3?v/?y.令x=e^σ,y=e^τ,則σ=ln(x),τ=ln(y).?v/?x=?v/?σ*?σ/?x=(?v/?σ)/x,?v/?y=?v/?τ*?τ/?y=(?v/?τ)/y.代入上式得σ3(?v/?σ)/x=τ3(?v/?τ)/y,即xσ3(?v/?σ)=yτ3(?v/?τ).整理得τ3/x*?v/?τ=σ3/y*?v/?σ.將x=e^σ,y=e^τ代回得τ3?v/?τ=σ3?v/?σ.分離變量得(τ3/σ3)?v/?τ=?v/?σ.積分得v=C(στ3/σ3)=C(τ3/σ2).將x=e^σ,y=e^τ代回得v=C(y3/x2).因為z=vx,所以z=C(y3/x2)x=C(y3/x).故通解為z=C(xy3).2.解：采用傅里葉余弦變換法。令U(ω,t)=F(u(x,t),ω).對熱傳導方程兩邊關于x進行傅里葉余弦變換，得-iωU(ω,t)=k(-ω2U(ω,t)).解得U(ω,t)=A(ω)e^(-kω2t).由邊界條件u(0,y)=y2，得u(x,0)=f(x)=y2(在x=0時)。對f(x)進行傅里葉余弦變換，F(xiàn)(f(x),ω)=√(2/π)∫[0,∞]f(x)cos(ωx)dx=√(2/π)∫[0,∞]y2cos(ωx)dx=√(2/π)*[y2/(ω)]*[sin(ωx)/ω|_(0)^(∞)]-[y2cos(ωx)/(ω2)]|_(0)^(∞)=0-0=0.由變換性質U(ω,t)=√(2/π)∫[0,∞]u(x,t)cos(ωx)dx,對上式兩邊關于x進行傅里葉余弦逆變換，得u(x,t)=(1/π)∫[0,∞]A(ω)e^(-kω2t)cos(ωx)dω.由u(x,0)=(1/π)∫[0,∞]A(ω)cos(ωx)dω=f(x)=y2。令x=0，得u(0,t)=(1/π)∫[0,∞]A(ω)e^(-kω2t)dω=0。故A(ω)=0。所以u(x,t)=0。3.解：采用傅里葉正弦變換法。令U(ω,t)=F(u(x,t),ω).對熱傳導方程兩邊關于x進行傅里葉正弦變換，得-iωU(ω,t)=k(-ω2U(ω,t)).解得U(ω,t)=A(ω)e^(-kω2t).由初始條件u(x,0)=sin(x)+sin(2x)，得F(u(x,0),ω)=F(sin(x),ω)+F(sin(2x),ω)=√(2/π)[sin(ωx)/(ω)|_(ω=1)-sin(ωx)/(ω)|_(ω=2)]=√(2/π)[1/(1)-0/(2)]+√(2/π)[2/(2)-0/(4)]=√(2/π)+√(2/π)=2√(2/π).由變換性質U(ω,t)=√(2/π)∫[0,∞]u(x,t)sin(ωx)dx,對上式兩邊關于x進行傅里葉正弦逆變換，得u(x,t)=(1/π)∫[0,∞][2√(2/π)]e^(-kω2t)sin(ωx)dω=(2/π)∫[0,∞]√(2/π)e^(-kω2t)sin(ωx)dω=(2/π)√(2/π)∫[0,∞]e^(-kω2t)sin(ωx)dω.利用積分公式∫[0,∞]e^(-aω2)sin(bω)dω=b/(2a√a)(a>0),令a=k,b=1,得∫[0,∞]e^(-kω2t)sin(ωx)dω=x/(2k√kt).所以u(x,t)=(2/π)√(2/π)*[x/(2k√kt)]=(x/πk√(kt))*√(2/π)=(x√2)/(πk√(πt)).4.解：采用達朗貝爾公式。由初始條件u(x,0)=sin(πx/l)=f(x),?u/?t(x,0)=π/asin(πx/l)=g(x).達朗貝爾公式為u(x,t)=(1/2)[f(x+at)+f(x-at)]+(1/2a)∫[x-at,x+at]g(ξ)dξ.代入f(x)和g(x)得u(x,t)=(1/2)[sin(π(x+at)/l)+sin(π(x-at)/l)]+(1/(2a))∫[x-at,x+at]π/asin(πξ/l)dξ.計算第二項積分：∫[x-at,x+at]π/asin(πξ/l)dξ=(π/a2)[-lcos(πξ/l)]|_(x-at)^(x+at)=(π/a2)[-lcos(π(x+at)/l)+lcos(π(x-at)/l)].=(πl(wèi)/a2)[cos(π(x-at)/l)-cos(π(x+at)/l)].利用三角恒等式cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)，得cos(π(x-at)/l)-cos(π(x+at)/l)=-2sin(πx/(2l))sin(πat/(2l)).所以(1/(2a))∫[x-at,x+at]g(ξ)dξ=(πl(wèi)/a3)[-2sin(πx/(2l))sin(πat/(2l))]=-(πl(wèi)/a3)sin(πx/(2l))sin(πat/(2l)).將結果代入u(x,t)表達式，得u(x,t)=(1/2)[sin(π(x+at)/l)+sin(π(x-at)/l)]-(πl(wèi)/a3)sin(πx/(2l))sin(πat/(2l)).利用三角恒等式sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)，得sin(π(x+at)/l)+sin(π(x-at)/l)=2sin(πx/(2l))cos(πat/(2l)).所以u(x,t)=sin(πx/(2l))cos(πat/(2l))-(πl(wèi)/a3)sin(πx/(2l))sin(πat/(2l)).=sin(πx/(2l))*[cos(πat/(2l))-(πl(wèi)/a3)sin(πat/(2l))].四、證明題證明：W(t)=∫[-∞,+∞][u(x,t)2+k(?u/?x)2]dx.要證W(t)關于t單調非增，即證dW/dt≤0.dW/dt=∫[-∞,+∞][2u(x,t)(?u/?t)+2k(?u/?x)(?2u/?x?t)]dx.由熱傳導方程?u/?t=k?2u/?x2，代入上式得dW/dt=∫[-∞,+∞][2u(x,t)k?2u/?x2+2k(?u/?x)(k?2u/?x2)]dx=2k∫[-∞,+∞][u(x,t)?2u/?x2+(?u/?x)2]dx.分部積分第一項：∫[-∞,+∞]u(x,t)?2u/?x2dx=[u(x,t)(?u/?x)]|_(x=-∞)^(x=+∞)-∫[-∞,+∞](?u/?x)2dx.由條件lim(x2+t→∞)u(x,t)=0，可知當x2→∞時，u(x,t)→0，且?u/?x→0。故邊界項為0。所以∫[-∞,+∞]u(x