2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——代數(shù)結構與網(wǎng)絡安全的關系考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設G是一個群，a,b∈G。若存在正整數(shù)m,n使得a^m=e,a^n=b，其中e是G的單位元。證明：b^m=e。2.證明：任何有限群G的每個元素a的階都整除群的階|G|。3.設F_p是模p（p為素數(shù)）的有限域，其中p>2。證明F_p中存在奇數(shù)個非零元，且其中任意兩個非零元的乘積仍然是非零元。二、1.設R=Z[x]/(x^2+1)是一個域，其中Z是整數(shù)環(huán)。在R中定義一個映射φ:R→R，對于任意f(x)∈R，令φ(f(x))=f(-x)。證明：φ是R上的一個域自同構。2.設F_q是一個含有q=p^n個元素的有限域，其中p是素數(shù)，n是正整數(shù)。證明：F_q中存在唯一的乘法幺元，且F_q中所有非零元的乘法群構成一個循環(huán)群。3.設G是一個階為12的循環(huán)群，生成元為a。令H={e,a^3,a^9}。證明：H是G的一個子群，并求H的階。三、1.設E:Z_p→Z_p是一個加密方案，其中p是素數(shù)。加密函數(shù)為E(k,m)=(m+k)modp，解密函數(shù)為D(k,c)=(c-k)modp，其中k是密鑰，m是明文，c是密文。證明：E是一個正確的加密方案，即對于任意密鑰k和明文m，有D(k,E(k,m))=m。2.設F_q是一個有限域，q>2?？紤]F_q上的線性碼C=<(1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,...,1)>。證明：C是F_q^n上的一個[n,n,1]線性碼（這里n=q-1），并計算其最小距離d。3.設G是一個群，H和K是G的兩個子群。證明：H∩K也是G的一個子群。如果H和K都是G的正規(guī)子群，證明：HK={hk|h∈H,k∈K}也是G的一個正規(guī)子群。試卷答案一、1.證明：由a^n=b，兩邊同時乘以a^(-m)，得b*a^(-m)=a^n*a^(-m)=a^(n-m)。因為a^m=e，所以a^(n-m)=a^(n-m)*a^m=a^(n-m+m)=a^n=b。又因為b*a^(-m)=e，所以b^m=e。解析思路：利用群的單位元和逆元性質，結合指數(shù)運算規(guī)則進行推導。2.證明：設a∈G，a的階為k，即a^k=e且k是使a^m=e成立的最小正整數(shù)。對于任意g∈G，考慮元素a,a^2,...,a^(k-1)，它們兩兩不同（否則a的階小于k）。它們的乘積a*a^2*...*a^(k-1)=a^(1+2+...+(k-1))=a^((k-1)k/2)。因為|G|=n，由拉格朗日定理，k|n，即存在整數(shù)m使得n=km。所以a^((k-1)k/2)=a^(m(k-1)/2)。若(k-1)/2是偶數(shù)，則a^(m(k-1)/2)=(a^k)^(m(k-1)/2)=e^(m(k-1)/2)=e。若(k-1)/2是奇數(shù)，則a^(m(k-1))=a^(km(k-1)/2)=(a^k)^(km/2)=e^(km/2)=e。因此，a^(k-1)的階整除k-1，結合k整除n，得k整除n。解析思路：利用群的階的定義、拉格朗日定理以及指數(shù)運算，證明元素的階整除群的階。3.證明：F_p是一個域，所以其加法和乘法封閉。F_p中非零元構成的乘法群F_p\{0}是一個阿貝爾群。令S=F_p\{0}。對于任意a,b∈S，a*b∈S（乘法封閉）。由于p是素數(shù)，F(xiàn)_p中的非零元在乘法下構成一個階為p-1的循環(huán)群，其乘法幺元是1。S中元素的個數(shù)是p-1（奇數(shù)）。根據(jù)阿貝爾群的性質，S中任意兩個元素a,b的乘積a*b仍然在S中。若S中元素個數(shù)是偶數(shù)，則存在a≠b∈S使得a*b=-a。兩邊乘以a^(-1)，得b=-1。但-1∈F_p，且p>2，所以-1≠1，矛盾。因此，S中元素個數(shù)必須是奇數(shù)。解析思路：利用有限域的性質、阿貝爾群的定義和性質，以及素數(shù)域的結構，證明非零元個數(shù)是奇數(shù)，且乘積仍在非零元集中。二、1.證明：首先證明φ是同態(tài)。對于任意f(x),g(x)∈R，設f(x)=a_0+a_1x,g(x)=b_0+b_1x(a_i,b_i∈Z)。則(f+g)(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x，(f*g)(x)=(a_0b_0+a_1b_1)+(a_0b_1+a_1b_0)x。計算φ(f+g)=φ((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x)=((a_0+b_0)+(a_1+b_1)(-x))=(a_0-a_1x+b_0-b_1x)=(a_0+a_1x)+(b_0+b_1x)=φ(f(x))+φ(g(x))。計算φ(f*g)=φ((a_0b_0+a_1b_1)+(a_0b_1+a_1b_0)x)=((a_0b_0+a_1b_1)-(a_0b_1+a_1b_0)x)=(a_0b_0+a_1b_1-a_0b_1-a_1b_0)x=(a_0-a_1)(b_0-b_1)x=φ(f(x))*φ(g(x))。因此，φ是R上的一個加法同態(tài)。由于R是域，加法群是阿貝爾群，加法同態(tài)即是同構。再驗證φ是乘法同態(tài)：計算φ(f*g)=φ((a_0b_0+a_1b_1)+(a_0b_1+a_1b_0)x)=((a_0b_0+a_1b_1)-(a_0b_1+a_1b_0)x)=φ(f(x))*φ(g(x))。因此，φ是R上的一個域同構。解析思路：驗證φ滿足加法同態(tài)和乘法同態(tài)（或乘法可逆性），利用R是域的性質，證明φ是域同構。2.證明：F_q中的非零元構成的乘法群G=F_q\{0}的階為q-1。因為p是素數(shù)，所以q-1也是p的冪次。設q-1=p^n。根據(jù)有限循環(huán)群的結構定理，G是一個循環(huán)群。設g是G的一個生成元。對于任意非零元a∈F_q，a也在G中，所以存在某個整數(shù)k使得a=g^k。定義φ:G→G為φ(a)=a^(-1)。我們需要證明φ(G)=G且φ是雙射。任意b∈G，b=g^m。則φ(g^m)=(g^m)^(-1)=g^(-m)。因為g^(q-1)=e（單位元），g^(-m)=g^(q-1-m)。所以φ(g^m)=g^(q-1-m)。若q-1-m=m，則m=q-1-m，得2m=q-1，即m=(q-1)/2。因為q-1是偶數(shù)（n≥1時p^n-1是偶數(shù)），m是整數(shù)。所以g^(-m)=g^(m)，即φ(g^m)=g^m。這說明φ(g^m)也在G中，所以φ(G)?G。反過來，對于任意g^m∈G，φ(g^m)=g^(-m)∈G，所以G?φ(G)。因此φ(G)=G。由于G是有限群，所以φ是雙射。又因為乘法運算在F_q中是可逆的，所以φ保持乘法運算：φ(g^m*g^n)=(g^m*g^n)^(-1)=(g^m)^(-1)*(g^n)^(-1)=φ(g^m)*φ(g^n)。因此，φ是G上的一個自同構。G是循環(huán)群，其自同構群是乘法群(Z/(q-1Z),*)。因為G是循環(huán)群，其自同構都是乘以一個階為φ(q-1)的元素。由于(q-1,p)=1，所以φ(q-1)|q-1。因此，F(xiàn)_q中存在唯一的乘法幺元（即單位元1），且F_q中所有非零元的乘法群構成一個循環(huán)群。解析思路：利用有限循環(huán)群的結構定理，證明非零元乘法群是循環(huán)群。定義逆元映射并證明其為自同構。3.證明：首先驗證H非空。e∈G且e∈H（H包含單位元）。所以H非空。其次驗證H對乘法封閉。設a,b∈H，則a=a^3,b=b^3。ab=a^3*b^3=(a*b)^3。因為a,b∈H?G，所以ab∈G。所以(ab)^3∈G。又因為G是循環(huán)群，設生成元為a。a^3∈H，ab=a^3*b^3∈H。所以H對乘法封閉。最后驗證H對乘法可逆封閉。設a∈H，則a=a^3。a的逆元是a^(-1)。需要證明a^(-1)∈H。a^(-1)=(a^3)^(-1)=(a^(-1))^3。因為a^(-1)∈G，所以(a^(-1))^3∈G。又因為G是循環(huán)群，設生成元為a。a^(-1)∈H。所以H對乘法可逆封閉。因此，H是G的一個子群。H的階為|H|=|{e,a^3,a^9}|。因為a是生成元，a^3,a^9均在G中。a^3≠e（否則a的階為1，但|G|=12）。a^9=(a^3)^3=(a^3)^2*a^3≠a^3,e（否則a的階為3或1，矛盾）。所以H={e,a^3,a^9}，|H|=3。解析思路：利用子群判別定理（非空、封閉、可逆封閉）證明H是子群。利用循環(huán)群的性質和生成元關系確定H的階。三、1.證明：需要證明對于任意密鑰k和明文m，解密函數(shù)作用在加密函數(shù)作用后的結果等于明文m。計算D(k,E(k,m))=D(k,(m+k)modp)=((m+k)modp-k)modp。因為p是素數(shù)，所以(m+k)-k=m。模p運算是可逆的，((m+k)modp-k)modp等價于((m+k-kp)modp)modp=((m+k-k))modp=mmodp。由于m,c∈Z_p，所以mmodp=m。因此，D(k,E(k,m))=m。這表明加密函數(shù)E和解密函數(shù)D配合正確，能夠從密文c恢復出明文m。解析思路：直接計算解密函數(shù)作用在加密函數(shù)作用后的結果，利用模運算的性質證明等于明文。2.證明：碼C的生成矩陣G由標準基向量(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)組成，共有q=F_q的元素個數(shù)q-1行，每行有n=q-1列。因此，碼C是一個[n,n,1]線性碼。計算碼C的最小距離d。碼C的所有碼字是F_q^n中的標準向量(a_1,a_2,...,a_n)，其中a_i∈F_q。碼字之間的距離是它們對應分量差的絕對值之和（或模p的和）。最小距離d是所有非零碼字與零碼字距離的最小值。零碼字是(0,0,...,0)。任一非零碼字w=(a_1,a_2,...,a_n)，其中至少有一個a_i≠0。計算w與零碼字的距離d(w,0)=|a_1|+|a_2|+...+|a_n|=a_1+a_2+...+a_n（因為F_q中的元素絕對值相同，且加法是模p加法）。因為a_i≠0，所以a_i≥1（在F_q中，非零元模p余1或-1，絕對值最小為1）。所以d(w,0)≥1。最小距離d是所有非零碼字距離的下確界，因此d≥1。另一方面，考慮兩個不同的非零碼字w1=(1,0,...,0)和w2=(0,1,...,0)。它們之間的距離d(w1,w2)=|1-0|+|0-1|+...+|0-0|=1+1=2。所以d≤2。結合d≥1和d≤2，得d=2。因此，C是一個[n,n,2]線性碼（注意：這里計算的最小距離是2，題目中寫的是1，可能存在筆誤，根據(jù)標準向量間的距離計算，最小距離應為2）。解析思路：根據(jù)生成矩陣確定碼的參數(shù)。利用線性碼的性質和分量差的計算方法確定最小距離。3.證明：首先證明H∩K是G的一個子群。由H和K都是G