2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在食品科學(xué)與烹飪技術(shù)研究中的應(yīng)用探究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{e^x-1}{x}$，其中$x\neq0$。(1)求$f(x)$在$x=0$處的極限。(2)求$f'(x)$。(3)利用(2)的結(jié)果，計算$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$。二、已知向量$\mathbf{a}=(1,2,-1),\mathbf=(2,-1,3),\mathbf{c}=(1,1,1)$。(1)求$\mathbf{a}\cdot(\mathbf\times\mathbf{c})$。(2)求與$\mathbf{a},\mathbf$都垂直的單位向量。三、某食品加工過程可以將一種原料轉(zhuǎn)化為兩種產(chǎn)品。已知每投入100公斤原料，可以產(chǎn)出80公斤產(chǎn)品A和60公斤產(chǎn)品B。產(chǎn)品A的售價為每公斤10元，產(chǎn)品B的售價為每公斤8元。假設(shè)生產(chǎn)過程不消耗其他原料，且原料成本為每公斤5元?，F(xiàn)計劃每天使用不超過2000公斤的原料。(1)建立數(shù)學(xué)模型，表示該食品加工過程每天的總利潤。(2)求使每天總利潤最大的原料投入量和兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量。四、設(shè)隨機(jī)變量$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$。(1)求$X$的分布函數(shù)$F(x)$。(2)求$P(0.5<X<1)$。(3)設(shè)$Y=X^2$，求$Y$的概率密度函數(shù)$g(y)$。五、某食品公司生產(chǎn)一種新型酸奶，其口感評分服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$。已知該酸奶的平均口感評分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分。(1)求口感評分超過90分的概率。(2)現(xiàn)進(jìn)行一項新的生產(chǎn)工藝測試，測試了36份酸奶，其平均口感評分為82分。假設(shè)新工藝不改變酸奶口感評分的方差，能否認(rèn)為新工藝顯著提高了酸奶的口感評分？($\alpha=0.05$)(3)某消費(fèi)者購買了一盒該酸奶，其口感評分為95分。假設(shè)該消費(fèi)者認(rèn)為口感評分超過85分的酸奶才值得購買，請問該消費(fèi)者會認(rèn)為這盒酸奶值得購買嗎？六、設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$。(1)求$f(x)$的所有極值點(diǎn)。(2)求$f(x)$的拐點(diǎn)。(3)作出$f(x)$的簡圖，并說明其單調(diào)性、凹凸性和漸近線（如果存在）。七、某烘焙店生產(chǎn)一種面包，其成本函數(shù)為$C(q)=0.5q^2+10q+50$，其中$q$為生產(chǎn)面包的數(shù)量（單位：個），$C(q)$的單位為元。(1)求生產(chǎn)50個面包的平均成本。(2)求生產(chǎn)50個面包的邊際成本。(3)該面包的售價為每個2元，求生產(chǎn)多少個面包時，利潤最大？最大利潤是多少？八、設(shè)線性方程組$\begin{cases}x_1+2x_2-x_3+x_4=1\\2x_1+4x_2-2x_3+2x_4=2\\-x_1-2x_2+x_3-x_4=\lambda\end{cases}$。(1)討論該線性方程組解的情況（有唯一解、無解、有無窮多解）。(2)若該線性方程組有解，求其通解。九、某食品市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某種新產(chǎn)品的需求量$Q$（單位：件）與價格$p$（單位：元/件）之間的關(guān)系滿足$Q=100-2p$。(1)求該產(chǎn)品的收入函數(shù)$R(p)$。(2)求該產(chǎn)品的邊際收入函數(shù)$R'(p)$。(3)求當(dāng)價格$p=20$元時，該產(chǎn)品的需求價格彈性。十、某食品公司生產(chǎn)兩種類型的零食：A型和B型。生產(chǎn)每噸A型零食需要消耗2噸原料，并需要3個工時；生產(chǎn)每噸B型零食需要消耗3噸原料，并需要2個工時。公司每周可獲得的原料量為100噸，工時數(shù)為120個。A型零食的售價為每噸5萬元，B型零食的售價為每噸4萬元。假設(shè)生產(chǎn)過程不產(chǎn)生其他成本。(1)建立數(shù)學(xué)模型，表示該食品公司每周的總收入。(2)求使每周總收入最大的A型零食和B型零食的產(chǎn)量。試卷答案一、(1)$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(e^0-1)}{x(e^x-1)}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(x-0)}{x(e^x-1)}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{e^x-1}\cdot\frac{x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{e^x-1}=1$（利用洛必達(dá)法則或等價無窮小）(2)$f'(x)=\left(\frac{e^x-1}{x}\right)'=\frac{(e^x-1)'\cdotx-(e^x-1)\cdot(x)'}{x^2}=\frac{e^x\cdotx-(e^x-1)}{x^2}=\frac{xe^x-e^x+1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}$(3)$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{(e^x-1)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{xe^x-e^x+1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{xe^x-e^x}{x^2}+\lim_{x\to0}\frac{1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(x-1)+xe^x}{2x}+\lim_{x\to0}\frac{-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(x-1)}{2x}+\lim_{x\to0}\frac{xe^x}{2x}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（利用$f'(0)$的結(jié)果）二、(1)$\mathbf\times\mathbf{c}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&-1&3\\1&1&1\end{vmatrix}=(-1-3)\mathbf{i}-(2-3)\mathbf{j}+(2+1)\mathbf{k}=-4\mathbf{i}+\mathbf{j}+3\mathbf{k}$$\mathbf{a}\cdot(\mathbf\times\mathbf{c})=(1,2,-1)\cdot(-4,1,3)=1\cdot(-4)+2\cdot1+(-1)\cdot3=-4+2-3=-5$(2)設(shè)$\mathbf{v}=\mathbf{a}\times\mathbf=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&2&-1\\2&-1&3\end{vmatrix}=(6-1)\mathbf{i}-(3+2)\mathbf{j}+(-1-4)\mathbf{k}=5\mathbf{i}-5\mathbf{j}-5\mathbf{k}=5(1,-1,-1)$與$\mathbf{a},\mathbf$都垂直的向量是$\mathbf{v}$的倍數(shù)，單位向量為$\pm\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=\pm\frac{1}{\sqrt{5^2+(-5)^2+(-5)^2}}(1,-1,-1)=\pm\frac{1}{5\sqrt{3}}(1,-1,-1)$三、(1)設(shè)每天投入$x$公斤原料，生產(chǎn)產(chǎn)品A$y$公斤，產(chǎn)品B$z$公斤。則有$y=\frac{4}{5}x,z=\frac{3}{5}x$。每天總利潤$L=10y+8z-5x=10\cdot\frac{4}{5}x+8\cdot\frac{3}{5}x-5x=8x$(2)$x\leq2000$，$L=8x$是關(guān)于$x$的線性函數(shù)，在$x=2000$時取得最大值。此時，$y=\frac{4}{5}\cdot2000=1600$，$z=\frac{3}{5}\cdot2000=1200$。最大利潤為$L=8\cdot2000=16000$元。四、(1)當(dāng)$x<0$時，$F(x)=0$；當(dāng)$x>1$時，$F(x)=1$。當(dāng)$0\leqx\leq1$時，$F(x)=\int_0^x2tdt=t^2\bigg|_0^x=x^2$。所以，$F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\x^2,&0\leqx\leq1\\1,&x>1\end{cases}$(2)$P(0.5<X<1)=F(1)-F(0.5)=1-0.5^2=1-0.25=0.75$(3)當(dāng)$y<0$時，$g(y)=0$；當(dāng)$y>1$時，$g(y)=0$。當(dāng)$0\leqy\leq1$時，$g(y)=\fracirmmbuy{dy}P(Y\leqy)=\fracmlookit{dy}P(X^2\leqy)=\fracxhalnvq{dy}P(-\sqrt{y}\leqX\leq\sqrt{y})=\fracqgwbunm{dy}(F(\sqrt{y})-F(-\sqrt{y}))=F'(\sqrt{y})\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}-F'(-\sqrt{y})\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)=2\sqrt{y}\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=1$所以，$g(y)=\begin{cases}0,&y<0\\1,&0\leqy\leq1\\0,&y>1\end{cases}$五、(1)$P(X>90)=P\left(\frac{X-80}{10}>\frac{90-80}{10}\right)=P(Z>1)=1-P(Z\leq1)=1-0.8413=0.1587$（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）(2)$H_0:\mu=80,H_1:\mu>80$檢驗統(tǒng)計量$T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{82-80}{10/\sqrt{36}}=\frac{2}{1.67}=1.197$拒絕域$R=\{T>z_{0.05}\}=\{T>1.645\}$因為$1.197<1.645$，所以不拒絕$H_0$，不能認(rèn)為新工藝顯著提高了酸奶的口感評分。(3)$P(X>85)=P\left(\frac{X-80}{10}>\frac{85-80}{10}\right)=P(Z>0.5)=1-P(Z\leq0.5)=1-0.6915=0.3085$因為$0.3085<0.5$，所以該消費(fèi)者不會認(rèn)為這盒酸奶值得購買。六、(1)$f'(x)=3x^2-6x$令$f'(x)=0$，得$x^2-2x=0$，$x(x-2)=0$，$x=0,2$$f''(x)=6x-6$$f''(0)=-6<0$，所以$x=0$為極大值點(diǎn)。$f''(2)=6>0$，所以$x=2$為極小值點(diǎn)。(2)令$f''(x)=0$，得$x=1$$f'''(x)=6$$f'''(1)=6\neq0$，所以$(1,f(1))=(1,0)$為拐點(diǎn)。(3)$f(-\infty)=-\infty,f(\infty)=\infty$$f'(x)>0\Leftrightarrowx<0$或$x>2$$f'(x)<0\Leftrightarrow0<x<2$$f''(x)<0\Leftrightarrowx<1$$f''(x)>0\Leftrightarrowx>1$單調(diào)遞增區(qū)間：$(-\infty,0),(2,\infty)$單調(diào)遞減區(qū)間：$(0,2)$凹區(qū)間：$(-\infty,1)$凸區(qū)間：$(1,\infty)$無漸近線。七、(1)$\bar{C}(50)=\frac{C(50)}{50}=\frac{0.5\cdot50^2+10\cdot50+50}{50}=0.5\cdot50+10+1=31$元/個(2)$C'(q)=0.5\cdot2q+10=q+10$當(dāng)$q=50$時，$C'(50)=50+10=60$元/個(3)收入函數(shù)$R(q)=2q$利潤函數(shù)$L(q)=R(q)-C(q)=2q-(0.5q^2+10q+50)=-0.5q^2+2q-50$$L'(q)=-q+2$令$L'(q)=0$，得$q=2$$L''(q)=-1<0$，所以$q=2$為最大值點(diǎn)。最大利潤為$L(2)=-0.5\cdot2^2+2\cdot2-50=-2+4-50=-48$元但是，$L(2)<0$，說明生產(chǎn)該產(chǎn)品會虧損。為了減少虧損，需要停產(chǎn)，即$q=0$。此時，虧損為固定成本$50$元。所以，應(yīng)該停產(chǎn)，不生產(chǎn)任何產(chǎn)品。八、增廣矩陣$\overline{\mathbf{A}}=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&4&-2&2\\-1&-2&1&\lambda\end{pmatrix}$行變換：$R_2\leftarrowR_2-2R_1,R_3\leftarrowR_3+R_1$$\overline{\mathbf{A}}=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&\lambda+1\end{pmatrix}$(1)當(dāng)$\lambda\neq-1$時，$R_3$的首元為非零數(shù)，$\overline{\mathbf{A}}$的秩為3，$R_1$的秩為1，方程組無解。當(dāng)$\lambda=-1$時，$R_3$為零行，$\overline{\mathbf{A}}$的秩為1，$R_1$的秩為1，方程組有無窮多解。(2)當(dāng)$\lambda=-1$時，方程組為