2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學在變異疾病學研究中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內）1.某單基因隱性遺傳病在人群中的發(fā)病率為q2，若隨機調查該人群的婚配組合，后代患病的概率為1/9，則該人群中致病基因的攜帶者頻率約為（）。A.1/3B.2/3C.1/2D.1/42.在一項關于某種遺傳病的家族調查中，收集了500個家系的數(shù)據(jù)。為了評估該病與某個常染色體顯性基因的關聯(lián)性，研究者采用了卡方檢驗。若預期的發(fā)病情況與基因型頻率符合Hardy-Weinberg平衡，且觀察到發(fā)病家系顯著多于預期，則卡方檢驗的結論應指向（）。A.基因與疾病獨立B.基因與疾病存在關聯(lián)，且可能具有上位性效應C.基因型頻率偏離Hardy-Weinberg平衡D.樣本量不足導致的假陽性3.假設一種腫瘤的生長速率與其體積V（單位：cm3）成正比，比例常數(shù)為k（k>0）。若初始體積為V?，且經(jīng)過時間t（單位：天）后體積增長為2V?，則該腫瘤體積V關于時間t的函數(shù)V(t)大致符合下列哪個關系式（不考慮死亡或治療因素）？（）A.V(t)=V?e^(kt)B.V(t)=V?+ktC.V(t)=V?(1+kt)D.V(t)=V?/(1-kt)4.在一項臨床試驗中，比較某種藥物與安慰劑治療變異型心絞痛的效果。研究隨機分配200名患者，記錄其治療后的癥狀緩解率。若使用兩樣本比例Z檢驗來比較兩組療效，其原假設H?應為（）。A.兩總體比例相等B.藥物組比例大于安慰劑組C.藥物組比例小于安慰劑組D.兩總體比例不等5.考慮一個描述某種遺傳病在家族中連續(xù)兩代傳遞的簡化的數(shù)學模型。設第一代有一個攜帶者（雜合子）與正常純合子婚配，第二代中隨機選擇一個個體，再與正常純合子婚配，第三代個體患病的概率是（）。A.1/4B.1/8C.1/16D.3/16二、填空題（每小題4分，共16分。請將答案填在題后的橫線上）6.根據(jù)Hardy-Weinberg平衡定律，在一個隨機mating的群體中，若等位基因A的頻率為p，a的頻率為q（p+q=1），則基因型AA、Aa和aa的預期頻率分別為__________、__________和__________。7.在生存分析中，用于描述事件（如疾病死亡）發(fā)生時間數(shù)據(jù)分布的常用統(tǒng)計量為中位數(shù)生存時間，其估計值_______是指至少有50%的觀察對象經(jīng)歷了該時間點的事件。8.假設某城市某種罕見遺傳病的發(fā)病率（λ）為萬分之五（即每萬人中發(fā)病5例）。對該城市隨機抽取的1000人進行為期一年的觀察，預期在這1000人中觀察到該病的例數(shù)X近似服從參數(shù)為_______的泊松分布。9.在構建腫瘤生長的微分方程模型時，若考慮腫瘤微環(huán)境對生長的抑制作用，一個簡單的模型形式可為dV/dt=rV-kV2，其中r為內源性生長速率，k為抑制系數(shù)。該模型的解析解V(t)=_______（用V?和t表示，其中V?是初始體積）描述了在無外部干預下的體積變化趨勢。三、計算題（每小題10分，共30分）10.某項研究調查了1000名成年人的血脂水平，發(fā)現(xiàn)高血脂（定義為總膽固醇>6.2mmol/L）者共200名。其中，吸煙者500名，其中高血脂者100名；非吸煙者500名，其中高血脂者50名。（1）計算吸煙組和非吸煙組的高血脂患病率。（2）基于這些數(shù)據(jù)，寫出檢驗吸煙與高血脂是否獨立的卡方檢驗的觀測值公式（不必計算具體值）。11.假設某遺傳病遵循常染色體隱性遺傳。在一個隨機人群中，該病發(fā)病率為1/10000。現(xiàn)有一對表現(xiàn)型正常的夫婦，丈夫的家族中有一人曾患有此病。（1）計算該夫婦生育一個患病孩子的理論概率。（2）為了進一步評估風險，研究者建議對夫婦進行基因檢測。若檢測顯示雙方均為攜帶者（基因型均為Aa），則他們生育一個患病孩子（aa）的概率是多少？生育一個表現(xiàn)型正常但攜帶者（Aa）孩子的概率又是多少？12.某研究者建立了一個簡化的數(shù)學模型來描述某種變異型阿爾茨海默病在家族中的遺傳風險。模型假設疾病風險R與個體攜帶的某個風險基因拷貝數(shù)X（X=0,1,2,...）存在線性關系：R=βX+α，其中β和α是待估參數(shù)。研究者收集了100個病例家系的數(shù)據(jù)，并假設風險評分R服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。請寫出利用最小二乘法估計參數(shù)β和α的基本原理（無需推導公式），并說明這種方法在何種意義上“最佳”。四、分析題（每小題12分，共24分）13.微分方程dP/dt=kP(1-P/N)是描述種群增長邏輯斯蒂（Logistic）模型的常用形式，其中P是種群數(shù)量，t是時間，k是內源性增長率，N是環(huán)境容納量。試分析該方程中各參數(shù)k和N的生物學意義，并簡要說明該模型為何能更好地描述實際生物種群（如某種病原體在宿主群體中的擴散）的增長過程，而不是簡單的指數(shù)增長模型dP/dt=kP。14.在比較兩種治療方案A和B對某種變異疾病的效果時，研究者收集了生存數(shù)據(jù)（如無進展生存期PFS）。由于疾病類型和個體差異，患者的生存時間可能存在異質性。解釋為何在這種情況下，簡單的比較兩組平均生存時間可能存在誤導性，并說明生存分析中常用的非參數(shù)檢驗方法（如Kaplan-Meier生存曲線和Log-rank檢驗）如何能夠更有效地處理這種復雜性，并比較兩組的治療效果。---試卷答案一、選擇題1.B2.C3.A4.A5.B二、填空題6.p2,2pq,q27.中位生存時間8.59.V?/(1-kt)三、計算題10.(1)吸煙組患病率=100/500=0.2；非吸煙組患病率=50/500=0.1。(2)觀測值χ2=Σ[(O-E)2/E]，其中O為觀測頻數(shù)，E為期望頻數(shù)。期望頻數(shù)E=(行總和×列總和)/總樣本量。具體公式為：χ2=[(100-200*0.2)2/(200*0.2)]+[(50-200*0.1)2/(200*0.1)]+[(500-500*0.2)2/(500*0.2)]+[(450-500*0.1)2/(500*0.1)]。11.(1)夫婦基因型均為AA的概率為1/3*1/3=1/9。此時他們子女均為正常（AA）。丈夫家族中一人患?。╝a），則其配偶為AA的概率為1/2。因此，夫婦均為AA且配偶為AA的概率為(1/9)*(1/2)=1/18。夫婦中至少一個是攜帶者（Aa）的概率為1-1/9=8/9。此時子女患病概率為1/4。夫婦均為攜帶者（Aa）的概率為1/3*1/3=1/9。此時子女患病概率為1/4。所以總概率=(1/18*0)+(8/9*1/4)+(1/9*1/4)=2/9+1/36=9/36+1/36=10/36=5/18。(2)若雙方均為攜帶者（Aa），則后代基因型頻率為AA:p2=1/4,Aa:2pq=1/2,aa:q2=1/4?；疾。╝a）概率為1/4。表現(xiàn)型正常（AA或Aa）概率為1-1/4=3/4。其中攜帶者（Aa）概率為1/2。12.最小二乘法旨在找到一組參數(shù)（β,α），使得模型預測的風險評分R（R=βX+α）與觀測到的風險評分數(shù)據(jù)點的殘差平方和（Σ(R?-(βX?+α))2，其中i=1,...,100）最小。殘差是指觀測值R?與模型預測值βX?+α的差。該方法“最佳”是因為它最小化了數(shù)據(jù)點到擬合直線的垂直距離（平方和）的總和，符合直觀上“讓數(shù)據(jù)點盡可能貼近擬合直線”的想法。四、分析題13.參數(shù)k代表在沒有環(huán)境限制時種群的瞬時增長率，反映了種群的內在繁殖能力。參數(shù)N代表環(huán)境所能容納的種群最大數(shù)量。邏輯斯蒂模型引入了環(huán)境容納量N，當種群規(guī)模P接近N時，增長速率dP/dt會顯著減慢，趨近于零。這與實際中生物種群由于資源、空間、競爭等因素限制而無法無限增長的現(xiàn)象相符。相比之下，指數(shù)增長模型dP/dt=kP假設資源無限，種群增長率恒定，這僅適用于種群規(guī)模遠小于環(huán)境容納量或在理想條件下的初期階段。邏輯斯蒂模型通過k和N兩個參數(shù)，能更真實地描述包括病原體擴散在內的許多生物種群在有限環(huán)境中的增長動態(tài)。14.簡單比較兩組的平均生存時間可能存在誤導性，因為生存時間的分布往往不是對稱的（如偏態(tài)分布），且可能受到刪失數(shù)據(jù)（如患者失訪）的影響。不同組的患者基線特征（如年齡、病情嚴重程度）可能存在差異，這些因素也會影響生存時間，單純比較平均值忽略了這些潛在的混雜因素。Kaplan-Meier生存曲線通過非參數(shù)方法，