2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在智能醫(yī)療中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)）1.在醫(yī)學(xué)圖像處理中，為了去除圖像噪聲并保留邊緣信息，常用到小波變換。小波變換具有（）特性，這使得它特別適用于圖像分析。(A)離散性(B)平移不變性(C)時(shí)頻局部化(D)頻率選擇性2.在構(gòu)建預(yù)測病人術(shù)后生存率的邏輯回歸模型時(shí)，我們需要最小化（）。(A)決策樹的深度(B)熵或信息增益(C)梯度下降的步長(D)似然函數(shù)或其負(fù)對數(shù)3.在利用主成分分析（PCA）對高維基因表達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維時(shí)，主要依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是（）。(A)矩陣對角化(B)傅里葉級數(shù)展開(C)線性回歸最小二乘法(D)概率分布的期望與方差4.確定一種新的藥物劑量時(shí)，常使用藥代動(dòng)力學(xué)模型。一室模型是其中最簡單的模型之一，它通?？梢杂靡粋€(gè)（）方程來描述血液中藥物濃度隨時(shí)間的變化。(A)離散型差分(B)常微分(C)隨機(jī)微分(D)積分5.在分析醫(yī)療支出數(shù)據(jù)時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)不同年齡組別的支出模式差異顯著，且希望根據(jù)年齡等因素對個(gè)體進(jìn)行分組，則可能采用（）方法。(A)線性回歸分析(B)聚類分析(C)線性判別分析(D)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題中的橫線上）6.在醫(yī)學(xué)影像的計(jì)算機(jī)斷層掃描（CT）圖像重建中，最常用的數(shù)學(xué)方法是基于（）的迭代重建算法。7.決策樹算法中，選擇分裂屬性時(shí)常用的指標(biāo)有信息增益和（）。8.描述一組數(shù)據(jù)離散程度的常用統(tǒng)計(jì)量包括方差、標(biāo)準(zhǔn)差和（）。9.在建立傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型時(shí)，SIR模型是一個(gè)經(jīng)典模型，它將人群分為三類：易感者（S）、感染者（I）和移除者（R）。該模型通常用（）方程組來描述三類人群數(shù)量隨時(shí)間的變化。10.在機(jī)器學(xué)習(xí)中，過擬合現(xiàn)象指的是模型在（）上表現(xiàn)良好，但在（）上表現(xiàn)較差。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11.設(shè)某項(xiàng)醫(yī)療診斷測試的效果由其真陽性率（靈敏度）和假陽性率決定。已知該測試對某種疾病的真陽性率為90%，假陽性率為5%。現(xiàn)對1000人進(jìn)行測試，其中該疾病患者有100人，非患者有900人。(1)計(jì)算該測試在這1000人中識(shí)別出患者的總正確率（準(zhǔn)確率）。(2)如果有一個(gè)新開發(fā)的測試，其真陽性率提高到95%，假陽性率降低到2%，在其他條件不變的情況下，比較這兩個(gè)測試識(shí)別出該疾病患者的總正確率。12.給定一組二維數(shù)據(jù)點(diǎn)：A(1,2),B(2,3),C(3,5),D(4,4)。假設(shè)我們使用線性回歸模型y=wx+b來擬合這些點(diǎn)，請寫出最小二乘法求解參數(shù)w和b的正規(guī)方程。不要求解方程。13.簡述利用概率論中的條件概率公式計(jì)算診斷測試陽性的后驗(yàn)概率（即病人確實(shí)患有某種疾病的概率）的基本思路。假設(shè)已知疾病的先驗(yàn)概率、測試的靈敏度（真陽性率）和特異度（真陰性率）。四、綜合應(yīng)用題（每小題15分，共30分）14.在分析患者的長期治療效果時(shí)，收集了以下數(shù)據(jù)：患者的年齡（歲）、治療持續(xù)時(shí)間（月）、治療前的病情嚴(yán)重程度評分（1-10分）、治療后的病情改善評分（1-10分），以及最終的治療效果評級（好、中、差）。假設(shè)我們想利用這些數(shù)據(jù)建立一個(gè)預(yù)測治療效果評級的模型。(1)請簡述可以選用哪些數(shù)學(xué)方法（至少兩種）來構(gòu)建這個(gè)模型，并說明選擇這些方法的原因。(2)在選擇或比較不同的模型時(shí)，可能會(huì)用到哪些評估指標(biāo)？請列舉至少兩個(gè)。15.假設(shè)我們需要設(shè)計(jì)一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模型來模擬一個(gè)城市醫(yī)院急診室在高峰時(shí)段的病人到達(dá)過程和等待服務(wù)過程。(1)請?zhí)岢鲆粋€(gè)可能的模型框架，說明你會(huì)如何運(yùn)用排隊(duì)論中的概念（如顧客源、服務(wù)臺(tái)、隊(duì)列規(guī)則、服務(wù)時(shí)間分布）來構(gòu)建這個(gè)模型。(2)如果希望用該模型評估引入一個(gè)額外的護(hù)士對平均等待時(shí)間的影響，你需要收集或假設(shè)哪些數(shù)據(jù)？并簡述分析步驟。試卷答案一、選擇題1.C2.D3.A4.B5.B二、填空題6.康普頓散射7.基尼不純度8.變異系數(shù)9.微分10.訓(xùn)練集；測試集三、計(jì)算題11.(1)準(zhǔn)確率=(真陽性+真陰性)/總?cè)藬?shù)=(90%*100+95%*900)/1000=(90+855)/1000=945/1000=0.945或94.5%?？傉_率即準(zhǔn)確率。(2)新測試準(zhǔn)確率=(95%*100+(1-2%)*900)/1000=(95+882)/1000=977/1000=0.977或97.7%。比較兩個(gè)準(zhǔn)確率：0.977>0.945，新測試的準(zhǔn)確率更高。12.根據(jù)最小二乘法，目標(biāo)是最小化殘差平方和Σ(y_i-(wx_i+b))^2。對w和b分別求偏導(dǎo)并令其為0，得到正規(guī)方程組：Σ(w*x_i^2+b*x_i)=Σ(x_i*y_i)Σ(w*x_i+b)=Σ(y_i)或?qū)懗删仃囆问剑?X^T*X)*[w;b]=X^T*[y]其中X是設(shè)計(jì)矩陣（包含各點(diǎn)的x值和一列1），y是結(jié)果向量（包含各點(diǎn)的y值），[w;b]是參數(shù)向量。13.基本思路是使用貝葉斯定理。設(shè)D表示病人患有疾病，T表示測試結(jié)果為陽性。我們想計(jì)算P(D|T)，即已知測試陽性的情況下病人患病的概率。根據(jù)貝葉斯定理：P(D|T)=[P(T|D)*P(D)]/P(T)其中：*P(D)是疾病的先驗(yàn)概率。*P(T|D)是測試的靈敏度，即在病人患病時(shí)測試陽性的概率。*P(T)是測試陽性的總概率，可以通過全概率公式計(jì)算：P(T)=P(T|D)P(D)+P(T|?D)P(?D)，其中P(?D)是疾病未發(fā)生的先驗(yàn)概率，P(T|?D)是測試的假陽性率，即在病人未患病時(shí)測試陽性的概率。四、綜合應(yīng)用題14.(1)可以選用：*邏輯回歸：原因是因?yàn)橹委熜Чu級（好、中、差）是分類變量，邏輯回歸適用于預(yù)測二分類或多分類結(jié)果，可以處理自變量（年齡、持續(xù)時(shí)間、評分）是連續(xù)或離散的情況。*決策樹/隨機(jī)森林：原因是因?yàn)檫@些方法可以處理混合類型的數(shù)據(jù)，并能自動(dòng)進(jìn)行特征選擇，同時(shí)可以可視化模型，易于解釋哪些因素對最終評級影響較大。(2)評估指標(biāo)：*準(zhǔn)確率（Accuracy）：模型預(yù)測正確的樣本比例。*AUC（AreaUndertheROCCurve）：在ROC曲線上衡量模型區(qū)分正負(fù)類（或不同評級）能力的綜合指標(biāo)，值越接近1越好。15.(1)模型框架：*運(yùn)用排隊(duì)論中的M/M/c模型（或其變種）。M表示顧客（病人）到達(dá)過程符合泊松分布，M表示服務(wù)時(shí)間分布符合負(fù)指數(shù)分布，c表示服務(wù)臺(tái)（護(hù)士或診室）數(shù)量。*顧客源：假設(shè)城市中需要就診的病人按一定泊松率λ到達(dá)急診室。*服務(wù)臺(tái)：急診室中的護(hù)士或醫(yī)生，提供診療服務(wù)，服務(wù)臺(tái)數(shù)量為c。*隊(duì)列規(guī)則：病人到達(dá)后若所有服務(wù)臺(tái)均忙，則排隊(duì)等待，隊(duì)列長度理論上無限（或設(shè)有限制）。*服務(wù)時(shí)間：醫(yī)生為每位病人提供診療并完成服務(wù)所需的時(shí)間，假設(shè)服從負(fù)指數(shù)分布，均值為1/μ。*模型可以用來計(jì)算關(guān)鍵性能指標(biāo)，如平均等待時(shí)間Lq、平均隊(duì)列長度、平均系統(tǒng)時(shí)間（等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間）Ls、忙期比例等。(2)需要收集或假設(shè)的數(shù)據(jù)：*病人平均到達(dá)率λ（每小時(shí)或每分鐘到達(dá)的病人數(shù)）。*現(xiàn)有服務(wù)臺(tái)數(shù)量c（當(dāng)前護(hù)士或醫(yī)生數(shù)量）。*單個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率μ（每小時(shí)或每分鐘能處理完的病人數(shù)）。*新增護(hù)