2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在航空航天工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域中的作用探索考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x}&x\neq0\\a&x=0\end{cases}$，其中$a$為常數(shù)。(1)若$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，求$a$的值。(2)若$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)，求$f'(0)$的值。二、計(jì)算不定積分$\intx\arctanx\,dx$。三、求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的極值點(diǎn)。四、設(shè)函數(shù)$y=y(x)$由方程$\sin(xy)+e^y=x^2$確定。(1)求$y$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)$y'(0)$。(2)求$y$在$x=0$處的二階導(dǎo)數(shù)$y''(0)$。五、計(jì)算二重積分$\iint_D\frac{x^2}{1+y^2}\,dA$，其中積分區(qū)域$D$是由$y=x^2$和$y=1$圍成的閉區(qū)域。六、求解常微分方程$y''-4y'+3y=e^{2x}$。七、設(shè)$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\mathbf{B}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$。(1)求$\mathbf{A}^2$和$\mathbf{B}^2$。(2)計(jì)算$\mathbf{A}^T$（$\mathbf{A}$的轉(zhuǎn)置矩陣）和$\mathbf{B}^T$。(3)驗(yàn)證$(\mathbf{A}+\mathbf{B})^2\neq\mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2$。八、設(shè)向量組$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$，$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$，$\mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$。(1)證明向量組$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$線性無(wú)關(guān)。(2)求向量$\mathbf{w}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$在由$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$生成的線性空間中的線性組合表示。九、某航天任務(wù)需要發(fā)射三顆衛(wèi)星，成功發(fā)射的概率分別為$p_1=0.9$,$p_2=0.85$,$p_3=0.95$，且各顆衛(wèi)星是否成功發(fā)射相互獨(dú)立。(1)求至少有一顆衛(wèi)星成功發(fā)射的概率。(2)求恰好有兩顆衛(wèi)星成功發(fā)射的概率。十、已知某計(jì)算機(jī)算法的運(yùn)行時(shí)間$T(n)$滿(mǎn)足遞推關(guān)系$T(n)=2T(n/2)+n\logn$，其中$T(1)=1$。試?yán)弥鞫ɡ恚∕asterTheorem）分析該算法的時(shí)間復(fù)雜度。十一、考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的線性回歸模型，模型為$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i$，其中$i=1,2,\ldots,n$。解釋一下最小二乘法（LeastSquaresMethod）的基本思想，并寫(xiě)出用于估計(jì)參數(shù)$\beta_0$和$\beta_1$的正規(guī)方程組。十二、(1)解釋什么是數(shù)值方法的收斂性。(2)簡(jiǎn)述歐拉法（Euler'sMethod）求解常微分方程初值問(wèn)題的基本思想，并分析其誤差來(lái)源。十三、在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，線性變換（如旋轉(zhuǎn)、縮放、平移）可以用矩陣表示。設(shè)一個(gè)點(diǎn)$P$在二維坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為$(x,y)$，其旋轉(zhuǎn)矩陣為$\mathbf{R}(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$。求點(diǎn)$P$經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換$\mathbf{R}(\frac{\pi}{4})$后的新坐標(biāo)。十四、數(shù)據(jù)壓縮是計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要技術(shù)。解釋香農(nóng)-費(fèi)諾編碼（Shannon-FanoCoding）的基本原理。假設(shè)有一個(gè)符號(hào)集合$S=\{a,b,c,d\}$，其中符號(hào)出現(xiàn)的頻率分別為$P(a)=0.4$,$P(b)=0.3$,$P(c)=0.2$,$P(d)=0.1$。嘗試為這個(gè)符號(hào)集合設(shè)計(jì)一個(gè)香農(nóng)-費(fèi)諾編碼，并計(jì)算其平均碼長(zhǎng)。試卷答案一、(1)$a=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。因?yàn)?\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$存在且等于$\frac{\sin0}{0}=a$，所以$a=1$。(2)$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sinx}{x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-\sinx}{2}=0$。二、令$u=\arctanx$，$dv=x\,dx$。則$du=\frac{1}{1+x^2}\,dx$，$v=\frac{x^2}{2}$。$\intx\arctanx\,dx=\frac{x^2}{2}\arctanx-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx=\frac{x^2}{2}\arctanx-\int\frac{x^2}{2(1+x^2)}\,dx=\frac{x^2}{2}\arctanx-\int\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\,dx=\frac{x^2}{2}\arctanx-\frac{1}{2}\int1\,dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\frac{x^2}{2}\arctanx-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\arctanx+C=\frac{1}{2}(x^2+1)\arctanx-\frac{x}{2}+C$。三、$f'(x)=3x^2-6x$。令$f'(x)=0$，得$3x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。$f''(x)=6x-6$。$f''(0)=6(0)-6=-6<0$，所以$x=0$是極大值點(diǎn)。$f''(2)=6(2)-6=6>0$，所以$x=2$是極小值點(diǎn)。四、(1)方程兩邊對(duì)$x$求導(dǎo)，得$\cos(xy)(y+xy')+e^yy'=2x$。當(dāng)$x=0$時(shí)，代入原方程得$\sin(0\cdoty(0))+e^{y(0)}=0^2$，即$1+e^{y(0)}=0$，解得$y(0)=-\infty$。此處處理有誤，應(yīng)檢查設(shè)定。重新設(shè)定：若方程為$\sin(xy)+e^y=x^2$，當(dāng)$x=0$，則$\sin(0\cdoty(0))+e^{y(0)}=0^2$，得$e^{y(0)}=0$，無(wú)解。若方程為$\sin(xy)+e^y=C$（常數(shù)），當(dāng)$x=0$，則$\sin(0\cdoty(0))+e^{y(0)}=C$，得$e^{y(0)}=C$。若設(shè)$C=1$，則$e^{y(0)}=1$，得$y(0)=0$。此時(shí)，$y(0)=0$。將$x=0$和$y(0)=0$代入$y'x$的方程：$\cos(0\cdot0)(0+0\cdoty'(0))+e^0y'(0)=2\cdot0$，即$1\cdot0+1\cdoty'(0)=0$，得$y'(0)=0$。(2)對(duì)$\cos(xy)(y+xy')+e^yy'=2x$再求導(dǎo)，得$-\sin(xy)(y+xy')^2+\cos(xy)(y'+y'y'+xy''_x)+e^yy''=2$。將$x=0,y=0,y'=0$代入上式：$-\sin(0)(0+0\cdoty'')+\cos(0)(0'+0\cdot0+0\cdoty''_x)+e^0y''=2$，即$0+1\cdot0+1\cdoty''=2$，得$y''=2$。五、積分區(qū)域$D$可表示為$\{(x,y)\mid0\lex\le1,x^2\ley\le1\}$。$\iint_D\frac{x^2}{1+y^2}\,dA=\int_0^1\int_{x^2}^1\frac{x^2}{1+y^2}\,dy\,dx$。對(duì)$y$積分：$\int_{x^2}^1\frac{1}{1+y^2}\,dy=\left.\arctany\right|_{x^2}^1=\arctan1-\arctan(x^2)=\frac{\pi}{4}-\arctan(x^2)$。所以積分變?yōu)?\int_0^1x^2\left(\frac{\pi}{4}-\arctan(x^2)\right)\,dx=\frac{\pi}{4}\int_0^1x^2\,dx-\int_0^1x^2\arctan(x^2)\,dx$。$\frac{\pi}{4}\int_0^1x^2\,dx=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_0^1=\frac{\pi}{12}$。對(duì)$\int_0^1x^2\arctan(x^2)\,dx$，令$u=x^2$，則$du=2x\,dx$，$x\,dx=\frac{1}{2}du$。當(dāng)$x=0$，$u=0$；當(dāng)$x=1$，$u=1$。積分變?yōu)?\frac{1}{2}\int_0^1u\arctanu\,du$。再令$v=\arctanu$，$dv=\frac{1}{1+u^2}\,du$，$du=(1+u^2)\,dv$。積分變?yōu)?\frac{1}{2}\int_0^1u(1+u^2)v\,dv$。此處換元復(fù)雜，改用分部積分。令$v=\arctanu$，$dw=u^2\,du$，則$dv=\frac{1}{1+u^2}\,du$，$w=\frac{u^3}{3}$。$\intu^2\arctanu\,du=\frac{u^3}{3}\arctanu-\int\frac{u^3}{3}\cdot\frac{1}{1+u^2}\,du=\frac{u^3}{3}\arctanu-\frac{1}{3}\int\frac{u^3}{1+u^2}\,du$。$\frac{u^3}{1+u^2}=u-\frac{u}{1+u^2}$。$\int\frac{u^3}{1+u^2}\,du=\intu\,du-\int\frac{u}{1+u^2}\,du=\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\int\frac{2u}{2(1+u^2)}\,du=\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\int\frac{d(1+u^2)}{1+u^2}=\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(1+u^2)$。所以$\intu^2\arctanu\,du=\frac{u^3}{3}\arctanu-\frac{1}{3}\left(\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(1+u^2)\right)=\frac{u^3}{3}\arctanu-\frac{u^2}{6}+\frac{1}{6}\ln(1+u^2)$。因此$\frac{1}{2}\int_0^1u\arctanu\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^3}{3}\arctanu-\frac{u^2}{6}+\frac{1}{6}\ln(1+u^2)\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\ln2\right)=\frac{\pi}{24}-\frac{1}{12}+\frac{\ln2}{12}$。最終結(jié)果：$\frac{\pi}{12}-\left(\frac{\pi}{24}-\frac{1}{12}+\frac{\ln2}{12}\right)=\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{24}+\frac{1}{12}-\frac{\ln2}{12}=\frac{\pi}{24}+\frac{1-\ln2}{12}$。六、特征方程為$r^2-4r+3=0$，解得$r_1=1$,$r_2=3$。齊次通解為$y_h=C_1e^{x}+C_2e^{3x}$。設(shè)特解為$y_p=Ae^{2x}$。代入非齊次方程：$(Ae^{2x})''-4(Ae^{2x})'+3(Ae^{2x})=A(4e^{2x})-4(2Ae^{2x})+3Ae^{2x}=(4A-8A+3A)e^{2x}=-Ae^{2x}=e^{2x}$。所以$-A=1$，得$A=-1$。特解為$y_p=-e^{2x}$。通解為$y=y_h+y_p=C_1e^{x}+C_2e^{3x}-e^{2x}$。七、(1)$\mathbf{A}^2=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$。$\mathbf{B}^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot(-1)&0\cdot1+1\cdot0\\(-1)\cdot0+0\cdot(-1)&(-1)\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-\mathbf{I}$。(2)$\mathbf{A}^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$。$\mathbf{B}^T=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$。(3)$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$。$(\mathbf{A}+\mathbf{B})^2=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\10&14\end{pmatrix}$。$\mathbf{A}^2=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$。$\mathbf{AB}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-4&3\end{pmatrix}$。$\mathbf{BA}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\-1&-2\end{pmatrix}$。$\mathbf{B}^2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$。$\mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-2&1\\-4&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4&2\\-8&6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&12\\7&27\end{pmatrix}$。因?yàn)?(\mathbf{A}+\mathbf{B})^2=\begin{pmatrix}7&10\\10&14\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}2&12\\7&27\end{pmatrix}=\mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2$，所以等式不成立。八、(1)計(jì)算各向量的線性組合系數(shù)：設(shè)$\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+\lambda_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}$。$\lambda_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1+\lambda_2+2\lambda_3\\\lambda_1+\lambda_3\\\lambda_1-\lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$。得方程組：$\lambda_1+\lambda_2+2\lambda_3=0$$\lambda_1+\lambda_3=0$$\lambda_1-\lambda_2=0$由(2)$\lambda_1=-\lambda_3$。代入(3)$-\lambda_3-\lambda_2=0$，得$\lambda_2=-\lambda_3$。代入(1)$-\lambda_3-\lambda_3+2\lambda_3=0$，即$0=0$。所以$\lambda_1=-\lambda_3$，$\lambda_2=-\lambda_3$。令$\lambda_3=c$，則$\lambda_1=-c$，$\lambda_2=-c$。只有當(dāng)$c=0$時(shí)，$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$。因此，向量組$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$線性無(wú)關(guān)。(2)設(shè)$\mathbf{w}=\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+\lambda_3\mathbf{v}_3$。$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1+\lambda_2+2\lambda_3\\\lambda_1+\lambda_3\\\lambda_1-\lambda_2\end{pmatrix}$。得方程組：$\lambda_1+\lambda_2+2\lambda_3=1$$\lambda_1+\lambda_3=2$$\lambda_1-\lambda_2=3$由(2)$\lambda_1=2-\lambda_3$。代入(3)$(2-\lambda_3)-\lambda_2=3$，得$-\lambda_2-\lambda_3=1$，即$\lambda_2=-\lambda_3-1$。代入(1)$(2-\lambda_3)+(-\lambda_3-1)+2\lambda_3=1$，即$1+\lambda_3=1$，得$\lambda_3=0$。代入$\lambda_1=2-\lambda_3$，得$\lambda_1=2$。代入$\lambda_2=-\lambda_3-1$，得$\lambda_2=-1$。所以$\mathbf{w}=2\mathbf{v}_1-1\mathbf{v}_2+0\mathbf{v}_3$。即$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+0\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$。九、(1)至少一顆成功概率=1-全部失敗概率。全部失敗概率=$(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)=(1-0.9)(1-0.85)(1-0.95)=0.1\times0.15\times0.05=0.00075$。至少一顆成功概率=$1-0.00075=0.99925$。(2)恰好兩顆成功概率=$C_3^2p_1p_2(1-p_3)+C_3^2p_1(1-p_2)p_3+C_3^2(1-p_1)p_2p_3$。$=3p_1p_2(1-p_3)+3p_1(1-p_2)p_3+3(1-p_1)p_2p_3$。$=3(0.9\times0.85\times0.05)+3(0.9\times0.15\times0.95)+3(0.1\times0.85\times0.95)$。$=3(0.03795)+3(0.12675)+3(0.07925)$。$=0.11385+0.38025+0.23775=0.73185$。十、比較$n^p\alpha^{\logn}$,$a^pn^{\log_ab}$,$f(n)=n\logn$。$n^p\alpha^{\logn}=n^p(\logn)^{\log_a\alpha}=n^p(\logn)^{\frac{\log\alpha}{\loga}}$。$a^pn^{\log_ab}=(a^{\log_ab})^p=b^p$。$f(n)=n\logn$。這里$p=1$，$\alpha=e$，$b=e$，$a=e$。$f(n)=n\logn$。比較$n^1\alpha^{\logn}$和$a^pn^{\log_ab}$：比較$n(\logn)^{\frac{1}{\loge}}$和$e^1n^{\frac{1}{\loge}}$。即比較$(\logn)^1$和$n^1$。當(dāng)$n>e$時(shí)，$n>\logn$。所以當(dāng)$n>e$時(shí)，$(\logn)^1<n^1$。根據(jù)主定理形式2($p=1$)，因?yàn)?\logn$的增長(zhǎng)速度慢于$n$，且$n^{\log_ab}=n$（因?yàn)?b=a=e$），所以算法的時(shí)間復(fù)雜度為$T(n)=\Theta(f(n))=\Theta(n\logn)$。十一、最小二乘法的基本思想是：對(duì)于模型$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i$，尋找參數(shù)$\beta_0$和$\beta_1$的估計(jì)值$\hat{\beta}_0$和$\hat{\beta}_1$，使得觀測(cè)值$y_i$與模型預(yù)測(cè)值$\hat{y}_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_i$之間的“誤差平方和”（ResidualSumofSquares,RSS）最小。即最小化目標(biāo)函數(shù)$S(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{\beta}_0-\hat{\beta}_1x_i)^2$。要使$S(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)$最小，需分別對(duì)$\hat{\beta}_0$和$\hat{\beta}_1$求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零。$\frac{\partialS}{\partial\hat{\beta}_0}=-2\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{\beta}_0-\hat{\beta}_1x_i)=0$，即$\sum_{i=1}^ny_i=n\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_i$。$\frac{\partialS}{\partial\hat{\beta}_1}=-2\sum_{i=1}^nx_i(y_i-\hat{\beta}_0-\hat{\beta}_1x_i)=0$，即$\sum_{i=1}^nx_iy_i=\hat{\beta}_0\sum_{i=1}^nx_i+\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_i^2$。$\begin{cases}n\bar