2/2第十五章軸對(duì)稱·能力提升建議用時(shí)：120分鐘，滿分：120分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．《國家寶藏》節(jié)目通過演繹文物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進(jìn)博物館，讓館藏文物一個(gè)個(gè)鮮活起來．下面四幅圖是我國一些博物館的標(biāo)志，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別．如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、C、D選項(xiàng)中的圖形都能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以都是軸對(duì)稱圖形．B選項(xiàng)中的圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形．故選：B．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】C【分析】本題考查關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：點(diǎn)和的橫坐標(biāo)均為2，縱坐標(biāo)分別為1和，互為相反數(shù)，根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征（橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)），可知兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．故選：C．3．如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，，為邊上一點(diǎn)，垂直平分，若，則的周長為（

）A．20 B．18 C．16 D．14【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長，先由線段垂直平分線的性質(zhì)得，結(jié)合，，故，即可作答．【詳解】解：∵為線段的垂直平分線，∴，∵∴，∵，∴，則的周長為，故選：D4．如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，P為上任一點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．直線、的交點(diǎn)不一定在上 B．是等腰三角形C．與面積相等 D．垂直平分，【答案】A【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握?qǐng)D形軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由軸對(duì)稱的性質(zhì)及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解．【詳解】解：與關(guān)于直線對(duì)稱，線段和線段關(guān)于直線對(duì)稱，直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，直線和直線的交點(diǎn)一定在上，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)A與點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線垂直平分，，是等腰三角形，B選項(xiàng)正確，不符合題意；與關(guān)于直線對(duì)稱，，與面積相等，C選項(xiàng)正確，不符合題意；與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)A與點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，垂直平分，，D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：A．5．如圖，點(diǎn)，分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、平角的定義，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，交于，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，，當(dāng)、、、在同一直線上時(shí)，最小，為，表示出，，再結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，交于，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，，，，∴，∴當(dāng)、、、在同一直線上時(shí)，最小，為，∵，，∴，，∵，，∴，故選：A．6．如圖，已知在等腰直角三角形ABC中，，，點(diǎn)D是斜邊上的一點(diǎn)，連接，與關(guān)于對(duì)稱，連接并延長交的延長線于點(diǎn)O，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)稱性得到，進(jìn)而得到，設(shè)，求出的度數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵與關(guān)于對(duì)稱，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則：，∴，∵；故選C．7．是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且．以D為頂點(diǎn)作一個(gè)角，使其兩邊分別交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，連接，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)來證明三角形全等，構(gòu)造另一個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到相等的角和線段，得出，得出相等的線段，然后利用等量代換可求解．【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∵是等腰三角形，，∴與重合，，∴，∴，，，∵是邊長為3的等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)在同一條直線上，∵，，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，∴的周長為，故選：A．8．，兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，隨著居民用水量的增加，現(xiàn)需要在河邊上修建一個(gè)自來水廠，分別向兩個(gè)小鎮(zhèn)供水．要使所用水管總長度最短，則下列圖形中，自來水廠的位置正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形最短線段問題，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可求解，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，可得，則，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)的值最小，即所用水管總長度最短，故選：．9．如圖，在中，，垂足為D，，．E，F(xiàn)為邊，上兩點(diǎn)，點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱?最短路線問題、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，由垂線段最短可知，即的最小值為，結(jié)合三角形面積公式求出即可．【詳解】解：如圖：連接，∵點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，∵，．∴,∴的最小值為6，故選B．10．如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，則有以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（

）A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，由于和是等邊三角形，可知，，，從而證出，可推知；由得，加之，，得到，再根據(jù)推出為等邊三角形，又由，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知正確；根據(jù)中，可知③正確；根據(jù)可知，可知錯(cuò)誤；由，得到，由，得到，故正確．熟記相關(guān)幾何性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：和是等邊三角形，，，即，在和中，，，故正確；，，又，，即，又，，，又，可知為等邊三角形，，，故正確；，，故③正確；，，，即，，，，則，故錯(cuò)誤；，，，，故正確；故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，，是的垂直平分線．若，，則的長為．【答案】10【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再證明，即可得到答案．本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)，等角對(duì)等邊，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，故答案為：10．12．如圖，在中，，．分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線分別交，于點(diǎn)F，G．以G為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)H，連接，．則．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及基本作圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖步驟得出線段和角的等量關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行角度計(jì)算．由作圖可知是的垂直平分線，故以G為圓心、為半徑畫弧得從而利用等腰三角形性質(zhì)得到角的等量關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理推出相關(guān)角的和為；根據(jù)及得出的度數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出的度數(shù)；最后利用三角形外角性質(zhì)求出的度數(shù)．【詳解】解：由題意得到：垂直平分，∴，又由作圖知，∴，∴，，∵∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．13．如圖，在中，平分，，若與互補(bǔ)，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，補(bǔ)角性質(zhì)，等腰三角形的判定，延長交于點(diǎn)，可證，得到，，由補(bǔ)角性質(zhì)可得，即得，得到，進(jìn)而即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．14．如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)固定，，點(diǎn)，可在槽中滑動(dòng)，若，則的度數(shù)是．【答案】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)，可得，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知，進(jìn)一步根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．15．如圖，在“問題解決策略：特殊化”課中，小茗同學(xué)拿了兩塊相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一個(gè)探究活動(dòng)：將的直角頂點(diǎn)放在的斜邊的中點(diǎn)處，設(shè)，此時(shí)重疊部分四邊形的面積為．【答案】【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．連接，證明，可得，從而得到重疊部分四邊形的面積，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵和均是等腰直角三角形，∴，，∵點(diǎn)M是斜邊的中點(diǎn)，∴，，∴，，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴重疊部分四邊形的面積．故答案為：16．如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是邊，邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)點(diǎn)恰好落在邊上，若是等腰三角形，那么的度數(shù)為．【答案】或或．【分析】本題考查直角三角形中的折疊問題，等腰三角形性質(zhì)，分類討論．由，，得，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，可得；進(jìn)而求出．由即可求解，同理可求當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)．【詳解】解：∵，，∴，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，∴，∴；由折疊可知：，∴，②當(dāng)時(shí)，如圖：∴，∴；由折疊可知：，∴，③當(dāng)時(shí)，如圖：∴，∴，∴；由折疊可知：，∴，綜上所述，為或或．故答案為：或或．解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題；每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）17．如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，與的交點(diǎn)F在直線上．若．(1)求的長度；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與關(guān)于直線對(duì)稱，確定對(duì)稱點(diǎn)，從而確定對(duì)稱線段，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)即可解決問題；（2）根據(jù)與關(guān)于直線對(duì)稱，確定對(duì)稱角和對(duì)稱三角形，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）解：與關(guān)于直線對(duì)稱，，，．（2）與關(guān)于直線對(duì)稱，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．18．如圖，已知的頂點(diǎn)都在圖中方格的格點(diǎn)上．(1)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的，并直接寫出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)在軸上找一點(diǎn)使得最小，畫出點(diǎn)所在的位置（保留作圖痕跡，不寫畫法）．【答案】(1)圖見解析，(2)圖見解析【分析】本題考查了畫軸對(duì)稱圖形、兩點(diǎn)之間線段最短、軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的畫法和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)、、，再順次連接即可得，然后據(jù)此寫出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)即可得；（2）先作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，再連接，交軸于點(diǎn)，由此即可得．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．則．（2）解：如圖，點(diǎn)即為所求．．19．如圖，已知點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，、分別是點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，連接與、分別相交于點(diǎn)、，已知．(1)求的周長；(2)連接、，若，求的度數(shù)．【答案】(1)10(2)【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記軸對(duì)稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，再結(jié)合三角形的周長公式可得答案；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，再結(jié)合角的和差運(yùn)算可得答案；【詳解】（1）解：、分別是點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，且、分別在、上，，，又，．（2）解：連接，、分別是點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，，，又，，，又，．20．如圖，在與中，，，，過點(diǎn)作，交于，交于，連結(jié)，交于．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求證：平分；(3)若，求的長．【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析(2)見解析(3)．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，熟練運(yùn)用等邊三角形的判定是本題的關(guān)鍵．（1）證明是等邊三角形，可得，再由平行線的性質(zhì)可得，則結(jié)論得證；（2）由題意可證是的垂直平分線，由是等邊三角形，可得，可得平分；（3）由，是等邊三角形，可得，可得的長．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：∵，∴是等邊三角形．∴．∵，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）證明：∵，∴是的垂直平分線，即．∵，∴．∴平分；（3）解：∵，∴，∴，∴．∵是等邊三角形，∴，∴．21．在中，垂直平分，分別交、于點(diǎn)、，垂直平分，分別交，于點(diǎn)M、N．(1)如圖1，若，，則的度數(shù)；(2)如圖1，若，求的度數(shù)；(3)如圖2，若，求的度數(shù)．【答案】(1)44(2)36°(3)24°【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）、三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求出、，計(jì)算即可；（2）仿照（2）的方法計(jì)算；（3）仿照（1）的方法計(jì)算．【詳解】（1）解：，，，垂直平分，，，同理可得：，；（2）解：，，，，；（3）解：，，．22．已知，如圖，，點(diǎn)分別為垂足，，．(1)證明：；(2)試說明平分(3)延長相交于點(diǎn)，連結(jié)．證明：垂直平分線段．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，中垂線的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵：（1）證明即可得證；（2）根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在角的角平分線上，進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的中垂線上，進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）證明：，，又，；（2），平分；（3）證明：（），，，即，又，垂直平分線．23．已知：，，過點(diǎn)A作，垂足為D，過點(diǎn)B做，垂足為．(1)如圖1，，，則______；(2)如圖2，猜想，，的關(guān)系，并證明；(3)如圖3，在中，，點(diǎn)D、E是邊上兩點(diǎn)，連接，以為腰作等腰直角，，作于點(diǎn)E，，若，，直接寫出的面積．【答案】(1)4(2)，見解析(3)30【分析】該題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．（1）證明即可求解．（2）證明即可求解．（3）過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，如圖所示，證明，求出，再根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：，垂足為D，，垂足為E，，，在中，，，，，在和中，，，，，，，，，故答案為：4；（2）解：，，的關(guān)系是：，證明如下：，垂足為D，，垂足為E，，，在中，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，如圖所示：在中，，，，，，于點(diǎn)H，于點(diǎn)E，，，是等腰直角三角形，且，，，，在和中，，，，，，，的面積為：．24．已知為等邊三角形，，為上一點(diǎn)，，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，延長交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連接，，求證：；(3)如圖3，已知，為射線上一點(diǎn)，連接，，，連接，若的面積為，