2/2專題巧構(gòu)等腰三角形的基本模型目錄A題型建模?專項(xiàng)突破TOC\o"1-2"\h\u題型一、等腰三角形中過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形 1題型二、利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形 8題型三、巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形 12題型四、利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形 18B綜合攻堅(jiān)?能力躍升題型一、等腰三角形中過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形模型分析：在等腰三角形內(nèi)部或外部作任意一邊的平行線均可構(gòu)造出新的等腰三角形.條件：如圖1，若AC=BC,過點(diǎn)D作D作DE//BC.結(jié)論：△ADE是等腰三角形.條件：如圖2，若AC=BC,過點(diǎn)D作D作DE//AB.結(jié)論：△CDE是等腰三角形.1.如圖，是的角平分線，，交于點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形．(2)當(dāng)時(shí)，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．2．綜合與探究如圖，在中，，為延長線上的一動點(diǎn)，且，交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：是等腰三角形．(2)如圖2，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論，并說明理由．3．【問題初探】（1）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，點(diǎn)E是延長線上的一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)D，若，求證：．①如圖2，小樂同學(xué)從中點(diǎn)的角度，給出了如下解題思路：在線段上截取，使，連接，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出結(jié)論；②如圖3，小亮同學(xué)從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)M，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出了結(jié)論；請你選擇一位同學(xué)的解題思路，寫出證明過程；【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的做法非常巧妙，為了讓同學(xué)們更好的理解這種轉(zhuǎn)化的思想方法，李老師提出了新的問題，請你解答，如圖4，在中，點(diǎn)E在線段上，D是的中點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)N，若，求證：；【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，，平分，點(diǎn)E在線段的延長線上運(yùn)動，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)D，且，請直接寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系．題型二、利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形模型分析：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。1.已知如圖中，，平分，平分，過作直線平行于，交，于，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的周長．2.如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D．過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)E．(1)求的度數(shù)；(2)求證：是等腰三角形；(3)若，求的長（用含m，n的式子表示）．3.（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．圖中有個(gè)等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個(gè)等腰三角形；與，間的關(guān)系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于E，交于F．圖中有個(gè)等腰三角形．與，間的數(shù)量關(guān)系是．題型三、巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形模型解析：如圖，△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD?△ACD,從而得AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對的角平分線重合，易得這個(gè)三角形是等腰三角形.1.如圖，在中，的平分線交于D，過C作交于II，交于N．(1)求證：為等腰三角形；(2)求證：．2.如圖1：在中，平分，且，(1)若，求的長；(2)如圖2，若交于，交于，且為等腰三角形，求的長．3.利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖①平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作,

垂足為C，延長交于點(diǎn)B，可證得，則，．【問題提出】（1）如圖②，在中，平分，于點(diǎn)E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，求∠的度數(shù)；【問題探究】（2）如圖③，在中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系；【問題解決】（3）如圖④是一塊肥沃的土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，他進(jìn)行了如下操作：①作的平分線；②再過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D．已知米，米，面積為平方米，求劃出的的面積．題型四、利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形模型分析：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，一般通過轉(zhuǎn)化倍角尋找等腰三角形．條件：如圖1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.結(jié)論：△BDC是等腰三角形.條件：如圖2，若∠ABC=2∠C,延長CB到D,使BD=BA,連接AD.結(jié)論：△ADC是等腰三角形.條件：如圖3，若∠B=2∠ACB,以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延長線于點(diǎn)D.結(jié)論：△DBC是等腰三角形.1.如圖1，是的角平分線，，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明的解題思路如下：①如圖2，在上取一點(diǎn)，使，連接．②由，平分，是公共邊，可得（理由：________），則，．③由，則．又因?yàn)椋?，則___________．又由，得．④根據(jù)上述的推理可知，，之間的數(shù)量關(guān)系為________．(1)請你補(bǔ)全小明的解題思路．(2)小明又想嘗試其它方法：延長到點(diǎn)，使，連接．請你幫助小明，完成解答過程．2.問題背景：在中，，點(diǎn)為線段一動點(diǎn)，當(dāng)滿足某種條件時(shí)，探討在線段、、、四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系．(1)在圖1中，當(dāng)時(shí)，則可得，請你給出證明過程．(2)當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：；(3)當(dāng)是的角平分線時(shí)，判斷、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．3．已知在中，滿足．

(1)【問題解決】如圖1，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)E，使得，連接，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系_________；(2)【問題拓展】如圖2，當(dāng)，AD為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)E，使得，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎?若成立，請你證明；若不成立，請說明理由．(3)【猜想結(jié)論】如圖3，當(dāng)為的外角平分線時(shí)，在的延長線上取一點(diǎn)E，使得，連接，請直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系_________．1．已知如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且，．求證：是等腰三角形．2．常見的“角平分線+平行線→等腰三角形”模型有以下兩種：(1)如圖①，平分，，則；(2)如圖②，，平分，則是等腰三角形．3．如圖，已知，平分，交于點(diǎn)E．(1)求證：是等腰三角形；(2)若于點(diǎn)D，，求的度數(shù)．4．（1）學(xué)完等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，小明逆向思考提出了一個(gè)問題：如圖1，在中，是邊上的一點(diǎn)，平分，且，求證：．（2）如圖2，在中，平分，，，求證：．5．問題初探：（1）如圖1，在等腰直角中，，，將沿著折疊得到，的對應(yīng)邊落在上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，折痕交于點(diǎn)．求證：；方法遷移：（2）如圖2，是的角平分線，．求證：；問題拓展：（3）如圖3，在中，，是的外角的平分線，交的延長線于點(diǎn)．請你直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．6．【基礎(chǔ)探究】（1）如圖1，平分，，是等腰三角形嗎？為什么？【形成經(jīng)驗(yàn)】當(dāng)角平分線遇上平行線時(shí)一般會產(chǎn)生等腰三角形．【經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用】（2）如圖2，，平分，平分，試探究線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展提升】（3）如圖3，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，且平分，請直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．7．綜合與實(shí)踐問題提出：如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，可以探究，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系．方法運(yùn)用（1）我們可以通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形來解題．如圖2，在上取一點(diǎn)E，使，連接．請你根據(jù)給出的輔助線判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并寫出解題過程；（2）以上方法叫做“截長法”：我們還可以采用“補(bǔ)短法”，即通過延長線段構(gòu)造全等三角形來解題．如圖3，延長線段到E，使得________，連接________．請補(bǔ)全空格，并在圖3中畫出輔助線．延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“截長法”或“補(bǔ)短法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是、上的點(diǎn)，且，判斷線段，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8．閱讀下面材料并完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)：利用軸對稱研究邊與角之間的數(shù)量關(guān)系．學(xué)習(xí)了等腰三角形，我們知道：在一個(gè)三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等．那么，不相等的邊（或角）所對的角（或邊）之間的大小關(guān)系怎樣呢？大邊所對的角也大嗎？如圖1，在中，如果，那么我們可以將折疊，使邊落在上，點(diǎn)C落在上的D點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)E，則．（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．．這說明，在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大，小邊所對的角較小．類似地，應(yīng)用這種方法還可以說明，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大，小角所對的