2/215.1圖形的軸對(duì)稱題型一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別1．（24-25八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A，B，C選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；D選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：D．2．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期中）在以下四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：一個(gè)平面圖形，沿某條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：．是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．3．（23-24八年級(jí)上·黑龍江綏化·期中）下列標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形的概念，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是找到對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后重疊，根據(jù)概念一一判斷即可；【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念一一判斷可知：第1，2，4是軸對(duì)稱圖形，共3個(gè)，故選：C．4．（24-25八年級(jí)上·重慶秀山·期末）剪紙藝術(shù)不僅具有藝術(shù)價(jià)值，還承載著豐富的文化內(nèi)涵和歷史記憶．它是中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，也是世界文化遺產(chǎn)的瑰寶．以下四幅剪紙圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】此題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，根據(jù)概念逐一判斷即可，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸）對(duì)稱，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．題型二求對(duì)稱軸條數(shù)1．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）下列圖形中，對(duì)稱軸最少的是（

）A．圓 B．等邊三角形 C．正方形 D．等腰三角形【答案】D【分析】本題考查了求對(duì)稱軸條數(shù)，熟練掌握常見的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)是解題的關(guān)鍵．分別列出各選項(xiàng)圖形的對(duì)稱軸條數(shù)，進(jìn)行比較即可．【詳解】解：A圓有無數(shù)條對(duì)稱軸；B等邊三角形有條對(duì)稱軸；C正方形有條對(duì)稱軸；D等腰三角形只有條對(duì)稱軸；對(duì)稱軸最少的圖形是等腰三角形，故選：．2．（2024八年級(jí)上·內(nèi)蒙古·專題練習(xí)）下列圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸的數(shù)量，正確掌握軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸的數(shù)量是關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)稱軸的概念判斷即可．【詳解】由軸對(duì)稱圖形的意義可知：A、同心圓有無數(shù)條對(duì)稱軸；B、等邊三角形有3條對(duì)稱軸；C、正六邊形有6條對(duì)稱軸；D、正八邊形有8條對(duì)稱軸；所以對(duì)稱軸條數(shù)最多的是同心圓；故選：A．3．（24-25八年級(jí)上·河南漯河·期中）下列圖形具有兩條對(duì)稱軸的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圖形的對(duì)稱軸，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)逐一判斷即可求解，掌握以上圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、該圖形只有一條對(duì)稱軸，不合題意；、該圖形不是軸對(duì)稱軸圖形，不合題意；、該圖形有兩條對(duì)稱軸，不合題意；、該圖形由四條對(duì)稱軸，不合題意；故選：．4．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，每個(gè)小方格均為邊長(zhǎng)為1的正方形，四個(gè)涂色的小正方形組成的圖形的對(duì)稱軸有m條，再將剩余的五個(gè)小正方形中的一個(gè)涂色，若由這五個(gè)涂色的小正方形組成的新圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)也為m，則涂色的正方形是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】本題考查了對(duì)稱軸的數(shù)量，根據(jù)對(duì)稱軸的定義逐一判斷即可．【詳解】解：由題意可知，四個(gè)涂色的小正方形組成的圖形的對(duì)稱軸有條，即，A、涂色的正方形是①，組成的圖形的對(duì)稱軸有條，不符合題意；B、涂色的正方形是②，組成的圖形的對(duì)稱軸有條，不符合題意；C、涂色的正方形是③，組成的圖形的對(duì)稱軸有條，符合題意；D、涂色的正方形是④，組成的圖形的對(duì)稱軸有條，不符合題意；故選：C．題型三根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征求解1．（24-25八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）在中，，于D，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，若，則．【答案】/54度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，由題意可得，由折疊的性質(zhì)可得，再由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵，，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∵，∴，∴，故答案為：．2．（24-25八年級(jí)上·廣西河池·期末）如圖，在中，，，，垂足為，與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角的和差運(yùn)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．利用軸對(duì)稱的性質(zhì)先證明，再求解結(jié)合角的和差運(yùn)算可得答案．【詳解】解：∵，與關(guān)于直線對(duì)稱，，，∵，∴．故答案為：3．（22-23八年級(jí)上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，．【答案】/36度【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得．【詳解】解：設(shè)，則，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，，若，則在中，，解得，即當(dāng)時(shí)，．故答案為：．4．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，中，，，，D為上的一動(dòng)點(diǎn)，把沿翻折得到，連，當(dāng)取最小值時(shí)，的面積是．

【答案】/【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．如圖，由，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小，過D作于G，作于F，，，由對(duì)折可得：，，可得，再利用等面積法求解即可．【詳解】解：如圖，∵，當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小，過D作于G，作于F，，，由對(duì)折可得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．題型四臺(tái)球桌面上的軸對(duì)稱問題1．（23-24八年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期中）2005年4月3日，斯諾克中國(guó)公開賽，中國(guó)江蘇神奇小子丁俊暉奇跡般地戰(zhàn)勝了世界頭號(hào)選手亨德利，奪得了自己首個(gè)世界臺(tái)球職業(yè)排名賽冠軍，如圖，是一個(gè)經(jīng)過改造的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中陰影部分分別表示六個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），那么該球最后將落入的球袋是號(hào)袋．【答案】3【分析】主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．根據(jù)題意畫出圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)判定正確選項(xiàng)．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，臺(tái)球走過的路徑為：∴該球最后將落入的球袋是3號(hào)．故答案為：3．2．（23-24八年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，桌球的桌面上有M，N兩個(gè)球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中N球，則A，B，C，D，4個(gè)點(diǎn)中，可以反彈擊中N球的是點(diǎn)．【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱的知識(shí)，注意結(jié)合圖形解答，不要憑空想象，實(shí)際操作一下．【詳解】解：如圖，可以瞄準(zhǔn)點(diǎn)擊球．故答案為：．3．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·期中）數(shù)學(xué)在我們的生活中無處不在，就連小小的臺(tái)球桌上都有數(shù)學(xué)問題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證為．

【答案】【分析】本題考查了臺(tái)球桌上的軸對(duì)稱問題，根據(jù)圖形得出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：4．（22-23八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，桌面上有A、B兩球，若要將B球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個(gè)點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有個(gè)．【答案】2【分析】根據(jù)入射角等于反射角，結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：如圖，將B球射向桌面的點(diǎn)1和點(diǎn)6，可使一次反彈后擊中A球，故可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有2個(gè)，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)找到使入射角等于反射角相等的點(diǎn)．題型五軸對(duì)稱中的光線反射問題1．（2024·江西·二模）我們知道光的反射是一種常見的物理現(xiàn)象.如圖，某V型路口放置如圖所示的兩個(gè)平面鏡，，兩個(gè)平面鏡所成的夾角為，位于點(diǎn)D處的甲同學(xué)在平面鏡中看到位于點(diǎn)A處的乙同學(xué)的像，其中光的路徑為入射光線經(jīng)過平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點(diǎn)C處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由光的反射定律以及平行線的性質(zhì)，推出，再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出的度數(shù)．【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道，，，故選：C．2．（2025·山西呂梁·二模）如圖，為平面鏡，為水面，．一束光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過平面鏡反射后，從光線變成光線，再經(jīng)過水面折射，從光線變成光線．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查求角度，涉及反射性質(zhì)、平行線性質(zhì)、對(duì)頂角相等等知識(shí)，如圖所示，由反射性質(zhì)得到，再由平行線性質(zhì)、對(duì)頂角相等確定，最后數(shù)形結(jié)合表示出即可得到答案．?dāng)?shù)形結(jié)合，掌握反射性質(zhì)、平行線性質(zhì)、對(duì)頂角相等等知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示：由反射性質(zhì)可知，，，，則，，，，，，故選：B．3．（2024·河南平頂山·三模）光的反射定律為：入射光線、反射光線和法線(垂直于反射面的直線)都在同一平面內(nèi)，且入射光線和反射光線分別位于法線的兩側(cè)，入射光線與法線的夾角入射角等于反射光線與法線的夾角反射角，興趣小組想讓太陽光垂直射入水井，運(yùn)用此原理，如圖，在井口放置一面平面鏡以改變光的路線，當(dāng)太陽光線與水平線的夾角時(shí)，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好豎直射入井底即，則調(diào)整后平面鏡與水平線的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查相交線，垂線等知識(shí)，作出法線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)F，作，求出，從而得出，繼而得解．【詳解】解：過點(diǎn)F，作，則，依題意得：，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：B．4．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（

）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】B【分析】利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P，點(diǎn)B的射線交于一點(diǎn)O，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．題型六折疊問題1．（23-24八年級(jí)上·重慶永川·期中）一張三角形紙片部分如圖所示，將折疊，為折痕，A點(diǎn)落在的位置，若，則．【答案】【分析】本題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握四邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．由翻折的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出答案．【詳解】解：將折疊，為折痕，A點(diǎn)落在的位置，若，，在四邊形中，，，．故答案為：．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，在中，；，D是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，將沿著翻折得到，當(dāng)與的邊垂直時(shí)，的度數(shù)是．【答案】或或【分析】本題主要考查了三角形折疊中的角度問題，分當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上討論，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和折疊的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在線段上且時(shí)，如圖，由折疊可知：，∴，由折疊可知：，∵，∴；當(dāng)點(diǎn)在線段上且時(shí)，由折疊的性質(zhì)可得，∴；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上且時(shí)，如圖所示，同理可得；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上且時(shí)，如圖所示，∴，∵，∴；∴由折疊的性質(zhì)可得；綜上所述，當(dāng)與的邊垂直時(shí)，的度數(shù)是或或．故答案為：或或．3．（24-25八年級(jí)上·甘肅隴南·階段練習(xí)）如圖所示，把沿直線翻折后得到，如果，那么度．【答案】60【分析】本題主要查了折疊的性質(zhì)．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再由補(bǔ)角的性質(zhì)解答，即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，∵，∴，∴．故答案為：604．（24-25八年級(jí)上·北京順義·期中）將圖1中的折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，得圖形2，若，則的周長(zhǎng)是．【答案】8【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，由周長(zhǎng)的計(jì)算即可求解．【詳解】解：將圖1中的折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，∴，∵的周長(zhǎng)為，故答案為：8．題型七畫對(duì)稱軸1．（24-25八年級(jí)上·山東德州·期中）畫出下列軸對(duì)稱圖形的所有的對(duì)稱軸．【答案】見解析【分析】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，對(duì)稱軸兩邊的部分能夠完全重合，作出各圖形的對(duì)稱軸即可．【詳解】解：如圖：2．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）畫出圖中的軸對(duì)稱圖形的所有對(duì)稱軸．【答案】見解析【分析】本題考查了畫對(duì)稱軸，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，對(duì)稱軸兩邊的部分能夠完全重合作出各圖形的對(duì)稱軸即可．【詳解】解：如圖所示．3．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，和關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，請(qǐng)畫出這條直線．【答案】見解析【分析】本題考查了畫對(duì)稱軸，連接，取的中點(diǎn)E，作直線即為對(duì)稱軸．【詳解】解：如圖所示，直線即為對(duì)稱軸．4．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）利用圖形中的對(duì)稱點(diǎn)，畫出圖形的對(duì)稱軸．【答案】見解析【分析】本題考查了畫軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)來畫，先從圖上找出幾個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，連接，作垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂線就是對(duì)稱軸．【詳解】解：如圖，題型八作已知線段的垂直平分線1．（24-25八年級(jí)上·廣東汕尾·期中）如圖，海豐縣有兩所初級(jí)中學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)，表示初級(jí)中學(xué)，，表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一所青少年綜合實(shí)踐活動(dòng)基地--耕藝館，希望耕藝館到兩所初級(jí)中學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出這間耕藝館P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】本題了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖：首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．分別作的垂直平分線和（或的鄰補(bǔ)角）的平分線，它們的交點(diǎn)即為點(diǎn)．【詳解】解：如圖，點(diǎn)、點(diǎn)為所作．2．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，電信部門要在區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)，的距離必須相等，到兩條高速公路和的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修在什么位置？請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖上標(biāo)出它的位置．（要求：畫圖留下痕跡，但不要求寫作法）【答案】見解析【分析】本題主要考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線和線段的中垂線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖．分別作出角的平分線和線段的中垂線，兩線的交點(diǎn)即為所求．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．3．（24-25八年級(jí)上·陜西商洛·期末）“西氣東輸”是造福子孫后代的創(chuàng)世紀(jì)工程．現(xiàn)有兩條高速公路和A，B兩個(gè)城鎮(zhèn)（如圖），準(zhǔn)備建立一個(gè)燃?xì)庵行恼綪，使中心站到兩條公路距離相等，并且到兩個(gè)城鎮(zhèn)距離相等．(1)請(qǐng)你畫出中心站P的位置（不寫做法，保留作圖痕跡）．(2)請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，簡(jiǎn)要說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的判定和線段垂直平分線的判定，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）作出兩條公路相交形成夾角的平分線與線段的垂直平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)；（2）點(diǎn)到兩條公路距離相等，說明點(diǎn)在兩條公路相交形成夾角的平分線上，兩個(gè)城鎮(zhèn)距離相等，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上，那么交點(diǎn)即為點(diǎn)的位置．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求：（2）解：由題意得，點(diǎn)到兩條公路距離相等，說明點(diǎn)在兩條公路相交形成夾角的平分線上，兩個(gè)城鎮(zhèn)距離相等，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上，那么交點(diǎn)即為點(diǎn)的位置．4．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期末）如圖，已知銳角，．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使，且（保留作圖痕跡，不寫做法）．【答案】見解析【分析】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．作的平分線，的垂直平分線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)滿足條件．【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求．題型一線段垂直平分線的性質(zhì)1．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，在中，，垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且，連接．(1)求證：；(2)若的周長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等是解題關(guān)鍵．（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得，，即可得到結(jié)論；（2）由題意可得，再結(jié)合，求解即可．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴．（2）解：∵的周長(zhǎng)為，∴，∵，∴，∵，，∴．2．（23-24八年級(jí)上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖1，在和中，．連接．(1)求證：；(2)將和繞點(diǎn)A向相反方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)F．①若，求的度數(shù)；②連接，求證：平分；③若G為上一點(diǎn)，，且，連接，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析；③【分析】（1）根據(jù)，推出，結(jié)合證明，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)，得出，根據(jù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；②過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，根據(jù)，得出，證明，即可證明結(jié)論；③連接，證明，得出，證明，根據(jù)等腰三角形三線合一得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：，，即：，在和中，，，；（2）①解：根據(jù)解析（1）可知，，，，又，；②證明：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，如圖所示：，，∴，，平分；③解：；理由如下：連接，如圖3所示：，，在和中，，，，，，即：，，，在和中，，，，，，，，，，，，垂直平分，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉“手拉手”模型的證明是解題的關(guān)鍵．3．（24-25八年級(jí)上·河北保定·期中）如圖，在中，垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，，垂足為D，且，連接．(1)求證：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)32【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，且，可得垂直平分，則，根據(jù)垂直平分，可得，據(jù)此可證明；（2）根據(jù)線段垂直平分線的定義得到，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式和線段之間的關(guān)系可得的周長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵，垂足為D，且，∴垂直平分，∴，∵垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，∴，∴；（2）解：∵垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，∴．∵，∴．由（1）得，∴的周長(zhǎng)．4．（24-25八年級(jí)上·湖南常德·期中）如圖，在中，，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若的長(zhǎng)為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，然后利用三角形的內(nèi)角和定理可得，最后利用三角形的外角性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)已知可得，再用線段的和差關(guān)系，以及等量代換可得，即可求得的周長(zhǎng)．【詳解】（1）解：（1）∵，且是的中點(diǎn)，垂直平分，∴，∵，，∵，∴，∴（2）解：∵是的中點(diǎn)，∴，∵，且，∴的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，外角的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型二線段垂直平分線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用1．（24-25八年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）（1）如圖1，在，，為內(nèi)一點(diǎn)，且，求證：直線垂直平分，以下是小明的證明思路，請(qǐng)補(bǔ)全框中的分析過程．要證直線垂直平分，只要證點(diǎn)、點(diǎn)都在的垂直平分線上，即要證______=_____，______=_____（2）如圖（2），在中，，點(diǎn)、分別在、上，且，請(qǐng)你只用無刻度的直尺畫出邊的垂直平分線，并說明理由．（3）如圖3，在五邊形中，，，，請(qǐng)你只利用無刻度的直尺畫出邊的垂直平分線．【答案】（1），，，；（2）見解析；（3）見解析【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；（1）利用線段垂直平分線定理的逆定理；（2）連接、，它們相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，如圖（2），證明得到，則，然后根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可判斷垂直平分；（3）如圖（3），連接、、、，與相交于，延長(zhǎng)交于，則為所作．【詳解】（1）證明：∵，，直線垂直平分；故答案為，；（2）如圖，連接、，它們相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，如圖（2），則為的垂直平分線．理由如下：，，，，，，，而，垂直平分；（3）如圖（3），為所作．2．（24-25八年級(jí)上·陜西渭南·期末）【問題探究】（1）如圖1，在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，求證：；【問題解決】（2）如圖2，四邊形是一個(gè)工業(yè)區(qū)，點(diǎn)是一個(gè)入口，是兩個(gè)倉庫，點(diǎn)分別是粗加工廠和精密加工廠，點(diǎn)分別在上，是兩條小路，是兩條運(yùn)輸公路，為方便從粗加工廠運(yùn)輸?shù)骄芗庸S，現(xiàn)要沿修建一個(gè)運(yùn)輸軌道，為了估計(jì)成本，現(xiàn)管理人員需要知道運(yùn)輸軌道與運(yùn)輸公路之間的數(shù)量關(guān)系．已知，．請(qǐng)你幫助管理人員探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定以及性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)線段垂直平分線的判定以及性質(zhì)得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得出，等量代換可得出．（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，由全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差等量代換可證明．【詳解】證明：（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，．，垂直平分，，在中，，．（2），證明如下：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，，在和中，，，，在和中，，，，．3．（24-25八年級(jí)上·河南安陽·期末）“風(fēng)箏飛滿天，笑語樂無邊”，由喜聞樂見的風(fēng)箏可以抽象得到一種特殊的四邊形—箏形．如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．(1)初步認(rèn)識(shí)箏形后，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)通過觀察、測(cè)量、折紙等方法猜想箏形有什么性質(zhì)，請(qǐng)你試著寫出圖中箏形的兩條性質(zhì)（定義除外）：①；②；(2)選擇（1）題中你寫的其中一條箏形的性質(zhì)進(jìn)行證明；(3)如圖，若，，求箏形的面積．【答案】(1)垂直平分，(2)見解析(3)30【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)題意易得垂直平分，；（2）根據(jù)中垂涎的判定方法，全等三角形的判定方法進(jìn)行判斷即可；（3）分割法求出箏形的面積即可．【詳解】（1）解：觀察可知：垂直平分，；故答案為：垂直平分，；（2）性質(zhì)1：∵，，∴點(diǎn)均在線段的中垂線上，∴垂直平分；性質(zhì)2：∵，∴；（3）∵垂直平分，∴．4．（22-23八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為外一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．過點(diǎn)作的垂線于點(diǎn)，，已知．過作于點(diǎn)，于點(diǎn)

(1)求證：(2)證明：為的平分線．(3)求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先證出垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直的定義可得，然后利用定理即可得證；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（3）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)線段和差、等量代換即可得證．【詳解】（1）證明：∵，，∴垂直平分，∴，∵，，∴，在和中，，∴．（2）證明：由（1）已證：，∴，在和中，，∴，∴，∴為的平分線．（3）證明：∵，，∴，，∵，∴．1．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·期末）綜合與探究【教材呈現(xiàn)】用全等三角形研究“箏形”．研究幾何圖形，我們往往先給出這類圖形的定義，再研究它的性質(zhì)和判定方法．在人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材的數(shù)學(xué)活動(dòng)中有這樣一段描述：如圖，四邊形中，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．請(qǐng)結(jié)合教材內(nèi)容，解決下面問題：(1)【性質(zhì)探究】通過觀察、測(cè)量、折疊、證明等操作活動(dòng)，對(duì)如圖1的箏形的性質(zhì)進(jìn)行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正確的有．（填序號(hào)）．(2)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖2，在箏形中，，點(diǎn)P是對(duì)角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N．求證：四邊形是箏形．(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，，點(diǎn)D、E分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形為箏形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)③④⑤(2)見解析(3)或【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和逐一判斷即可；（2）根據(jù)“箏形”的性質(zhì)同（1）得∶得出，由角平分線的性質(zhì)定理得出，再通過證明可得，再結(jié)合運(yùn)用“箏形”即可證明結(jié)論；（3）分“箏形”兩種情況，分別根據(jù)“箏形”的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵“箏形”，∴①不一定成立；②不一定成立；故①②都是錯(cuò)誤的；∵，∴垂直平分，故③是正確的；在和中，，∴，∴，∴平分和，即④正確；∵，∴，故⑤是正確的．故答案為：③④⑤．（2）證明：在箏形中，，同（1）得：，∴，依題意知：，∴，∵，∴∴，∵，∴四邊形是箏形．（3）解：分兩種情況∶①如圖：當(dāng)四邊形是箏形且時(shí)，∴；②如圖：當(dāng)四邊形是箏形時(shí)且時(shí)，則，∴，∴．綜上所述，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)以及掌握分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（24-25八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在中，，．若點(diǎn)在的平分線所在的直線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，過點(diǎn)作于，作交的延長(zhǎng)線于，且．求證：點(diǎn)D在的垂直平分線上；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，平分，交于點(diǎn)，交與點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．①；②若，，求的長(zhǎng)度．(3)如圖3，過點(diǎn)的直線，若，，點(diǎn)到三邊所在直線的距離相等，則點(diǎn)到直線的距離是______．【答案】(1)見解析(2)①；②(3)1或2或3或6【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練使用各性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）①點(diǎn)在的平分線所在的直線上，過點(diǎn)作于，作交的延長(zhǎng)線于，得出，借助，得到，即可證明點(diǎn)在的垂直平分線上；（2）①先利用角平分線的定義求得，再利用三角形的外角性質(zhì)求得，即可求解；②延長(zhǎng)交于，證明，得到，再由，即可求解；（3）分4種情況討論，分別畫出圖形利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）證明：連接，，如圖1，點(diǎn)在的平分線所在的直線上，過點(diǎn)作于，作交的延長(zhǎng)線于，，在和中，，，，點(diǎn)在的垂直平分線上；（2）解：①平分，平分，，，即，，，即，；故答案為：；②延長(zhǎng)交于，如圖2，，，，在和中，，，，∵，，，，，，，，，，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，如圖，，，點(diǎn)到直線的距離是；當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，如圖設(shè)點(diǎn)到三邊的距離為，由題意得：，，，，點(diǎn)到直線的距離是；綜上，點(diǎn)到直線的距離是2或6．當(dāng)點(diǎn)D在的右邊時(shí)，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為y，同理可得：，∴，點(diǎn)D到直線l的距離是；當(dāng)