2/2第十五章軸對(duì)稱大單元教學(xué)設(shè)計(jì)大單元主題背景分析（教材分析）教材地位教材地位與作用“軸對(duì)稱”位于人教版八年級(jí)上冊(cè)第15章，在初中數(shù)學(xué)體系里占據(jù)關(guān)鍵位置。它是對(duì)圖形變換的深入探究，此前學(xué)生已接觸簡(jiǎn)單平面圖形，像三角形、四邊形等，也了解平移這一圖形變換方式。軸對(duì)稱作為又一基礎(chǔ)圖形變化，不但豐富了圖形變換的知識(shí)架構(gòu)，還為后續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等特殊圖形的性質(zhì)與判定筑牢根基。在現(xiàn)實(shí)生活中，軸對(duì)稱現(xiàn)象隨處可見(jiàn)，如建筑設(shè)計(jì)、藝術(shù)創(chuàng)作、日常用品等，通過(guò)對(duì)這一章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能更好地感知數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)剖析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，進(jìn)一步培育空間觀念和幾何直觀素養(yǎng)。新課標(biāo)銜接新課標(biāo)銜接與核心素養(yǎng)2022版初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)在“圖形與幾何”領(lǐng)域著重強(qiáng)調(diào)圖形的變化，軸對(duì)稱便屬于其中關(guān)鍵主題。依據(jù)課標(biāo)要求，學(xué)生需理解軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，能夠繪制簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱圖形，借助軸對(duì)稱進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，并運(yùn)用其性質(zhì)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。在這一學(xué)習(xí)進(jìn)程中，可有效培育學(xué)生多方面的核心素養(yǎng)：?數(shù)學(xué)抽象：從生活里豐富的軸對(duì)稱實(shí)例中抽象出軸對(duì)稱圖形及兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的概念，提煉出軸對(duì)稱的本質(zhì)特征。?邏輯推理：在探究軸對(duì)稱性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)定理與判定定理、等腰三角形和等邊三角形性質(zhì)與判定定理時(shí)，歷經(jīng)觀察、猜想、驗(yàn)證、證明等環(huán)節(jié)，鍛煉邏輯推理能力。?直觀想象：借助繪制軸對(duì)稱圖形、利用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱等活動(dòng)，增強(qiáng)對(duì)圖形的直觀感知，培育空間想象能力，能夠在腦海中構(gòu)建出圖形經(jīng)軸對(duì)稱變換后的形態(tài)。?數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)解決諸如最短路徑等實(shí)際問(wèn)題，將實(shí)際情境抽象成數(shù)學(xué)模型，通過(guò)求解模型得出實(shí)際問(wèn)題的答案，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。學(xué)情分析學(xué)情分析八年級(jí)學(xué)生正處于從形象思維向抽象思維過(guò)渡的關(guān)鍵階段，他們對(duì)直觀、生動(dòng)的生活實(shí)例興趣濃厚，且具備一定的觀察、分析和歸納能力。此前已學(xué)習(xí)過(guò)一些基本圖形和圖形變換知識(shí)，積累了一定的幾何學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但在抽象概念的理解以及邏輯推理的嚴(yán)密性上還有待提升。在學(xué)習(xí)本章時(shí)，學(xué)生能夠輕松識(shí)別生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，可對(duì)于精準(zhǔn)提煉軸對(duì)稱的數(shù)學(xué)概念或許存在一定難度；在探究圖形性質(zhì)和證明定理過(guò)程中，部分學(xué)生可能在思路梳理和推理表述方面遭遇困難；對(duì)于將軸對(duì)稱知識(shí)靈活運(yùn)用于解決實(shí)際問(wèn)題，更是對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)提出了較高要求，需要教師加以引導(dǎo)和啟發(fā)。單元教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能知識(shí)與技能清晰識(shí)別軸對(duì)稱圖形，準(zhǔn)確理解軸對(duì)稱及相關(guān)概念，熟練掌握軸對(duì)稱的基本性質(zhì)。?能夠精準(zhǔn)繪制簡(jiǎn)單平面圖形關(guān)于給定對(duì)稱軸對(duì)稱的圖形，切實(shí)掌握用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱的方法。?透徹理解線段垂直平分線、等腰三角形、等邊三角形的概念，牢固掌握其性質(zhì)定理與判定定理，并能熟練運(yùn)用。數(shù)學(xué)思考數(shù)學(xué)思考?xì)v經(jīng)從具體實(shí)例抽象出軸對(duì)稱概念的過(guò)程，提升數(shù)學(xué)抽象能力。?通過(guò)探究軸對(duì)稱性質(zhì)、各類定理的證明，鍛煉邏輯推理能力，學(xué)會(huì)有條理地思考與表達(dá)。?借助圖形繪制、變換等活動(dòng)，發(fā)展空間觀念和直觀想象能力，提高對(duì)圖形的感知與處理能力。問(wèn)題解決問(wèn)題解決能夠敏銳發(fā)現(xiàn)并提出與軸對(duì)稱相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)加以分析和解決。?在解決問(wèn)題過(guò)程中，積極嘗試不同策略和方法，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。?通過(guò)小組合作探究活動(dòng)，提升合作交流能力與團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神，共同攻克問(wèn)題。情感態(tài)度情感態(tài)度積極主動(dòng)參與課堂探究活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)滿懷熱情，感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。?在解決問(wèn)題遭遇困難時(shí)，勇于堅(jiān)持和嘗試，培養(yǎng)克服困難的意志品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。?體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性。學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)活動(dòng)一軸對(duì)稱及其性質(zhì)活動(dòng)一活動(dòng)二線段的垂直平分線活動(dòng)二活動(dòng)三軸對(duì)稱的圖形的畫(huà)法活動(dòng)三活動(dòng)四等腰三角形活動(dòng)四活動(dòng)五最短路徑問(wèn)題活動(dòng)五學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)過(guò)程性評(píng)價(jià)過(guò)程性評(píng)價(jià)課堂表現(xiàn)：密切觀察學(xué)生在課堂上的參與度，包括是否積極回答問(wèn)題、參與小組討論，關(guān)注其思維活躍度和對(duì)知識(shí)的理解程度。對(duì)于主動(dòng)發(fā)言且回答正確的學(xué)生給予口頭表?yè)P(yáng)；針對(duì)在討論中提出新穎觀點(diǎn)或思路的小組，在班級(jí)內(nèi)進(jìn)行展示和肯定。?作業(yè)完成情況：認(rèn)真批改作業(yè)，對(duì)作業(yè)完成質(zhì)量高、解題思路清晰、書(shū)寫(xiě)規(guī)范的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng)，并在班級(jí)展示優(yōu)秀作業(yè)；針對(duì)作業(yè)中存在的普遍問(wèn)題，在課堂上集中講解；對(duì)于個(gè)別學(xué)生的問(wèn)題，進(jìn)行單獨(dú)輔導(dǎo)，要求學(xué)生及時(shí)訂正，并對(duì)訂正情況進(jìn)行二次批改。?小組活動(dòng)評(píng)價(jià)：在小組探究活動(dòng)中，觀察學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，如是否能明確分工、積極配合，對(duì)表現(xiàn)突出的小組和個(gè)人進(jìn)行記錄，活動(dòng)結(jié)束后進(jìn)行總結(jié)評(píng)價(jià)，可通過(guò)小組自評(píng)、互評(píng)和教師評(píng)價(jià)相結(jié)合的方式，讓學(xué)生相互學(xué)習(xí)，共同提高。終結(jié)性評(píng)價(jià)終結(jié)性評(píng)價(jià)單元測(cè)試：精心設(shè)計(jì)單元測(cè)試卷，涵蓋選擇題、填空題、解答題等多種題型，全面考查學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱知識(shí)的掌握程度，包括概念理解、性質(zhì)運(yùn)用、定理證明、圖形繪制以及實(shí)際問(wèn)題解決等方面。嚴(yán)格按照考試規(guī)范進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試結(jié)束后認(rèn)真批改，統(tǒng)計(jì)分析成績(jī)，了解學(xué)生的整體學(xué)習(xí)情況和知識(shí)薄弱點(diǎn)。?項(xiàng)目式學(xué)習(xí)成果展示：布置項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)，如讓學(xué)生利用軸對(duì)稱知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)校園景觀方案或一件藝術(shù)品等。學(xué)生以小組形式完成項(xiàng)目，在課堂上進(jìn)行成果展示。從項(xiàng)目的創(chuàng)新性、實(shí)用性、數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的合理性以及展示效果等方面進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，評(píng)選出優(yōu)秀項(xiàng)目進(jìn)行表彰。反思性教學(xué)改進(jìn)教學(xué)結(jié)束后，全面收集學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，深入分析過(guò)程性評(píng)價(jià)和終結(jié)性評(píng)價(jià)結(jié)果，總結(jié)教學(xué)中的優(yōu)點(diǎn)與不足，據(jù)此提出針對(duì)性的改進(jìn)措施。若發(fā)現(xiàn)學(xué)生在軸對(duì)稱概念理解上存在模糊之處，后續(xù)可補(bǔ)充更多豐富且典型的實(shí)例，強(qiáng)化直觀教學(xué)；要是學(xué)生在定理證明環(huán)節(jié)困難較大，可增加證明思路引導(dǎo)和專項(xiàng)練習(xí)；針對(duì)學(xué)生實(shí)際問(wèn)題解決能力有待提升的狀況，可引入更多貼近生活的真實(shí)案例，加強(qiáng)建模訓(xùn)練，從而持續(xù)優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，提升教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生更好地掌握知識(shí)，發(fā)展核心素養(yǎng)。?單元教學(xué)結(jié)構(gòu)圖教學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)一軸對(duì)稱及其性質(zhì)活動(dòng)一情境引入思考：觀察下面的圖片，它們有什么特點(diǎn)？師生活動(dòng)：觀察圖片，舉手回答圖片的相同之處。設(shè)計(jì)意圖：觀察生活中的圖片，引出本課主題——軸對(duì)稱。探究新知如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.思考：生活中還有哪些軸對(duì)稱圖形？追問(wèn)：以下是我們常見(jiàn)的電子設(shè)備中的液晶數(shù)字，哪些是軸對(duì)稱？追問(wèn)：常見(jiàn)的漢字中哪些是軸對(duì)稱？活動(dòng)：每人輪流按順序報(bào)一個(gè)字母，如果你認(rèn)為你所報(bào)的字母的形狀是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，你就迅速站起來(lái)報(bào)是，并說(shuō)出它有幾條對(duì)稱軸；如果你認(rèn)為你報(bào)的字母的形狀不是軸對(duì)稱圖形，那么，你只需坐在座位上報(bào)不是就可以了.其他同學(xué)認(rèn)真聽(tīng)，如果報(bào)錯(cuò)了，及時(shí)提醒.追問(wèn)：常見(jiàn)的國(guó)旗中哪些是軸對(duì)稱圖形？追問(wèn)：常見(jiàn)的幾何圖形中哪些是軸對(duì)稱圖形？師生活動(dòng)：觀察圖片，學(xué)生判斷哪些是軸對(duì)稱圖形，教師訂正。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不同類型圖片的觀察，幫助學(xué)生理解生活中的軸對(duì)稱圖形。思考：下面的每對(duì)圖形有什么共同特點(diǎn)？又有什么區(qū)別？把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱，這條直線叫對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).思考：軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱有什么區(qū)別？師生活動(dòng)：觀察圖片，回答問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不同圖片的對(duì)比，幫助學(xué)生理解軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的區(qū)別。應(yīng)用新知例1.下列四組圖片中有哪幾組圖形成軸對(duì)稱？例2.猜字游戲例3.一輛汽車的車牌在水中的倒影如圖所示，你能確定該車車牌的號(hào)碼嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握軸對(duì)稱圖形的含義，會(huì)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)補(bǔ)全圖形?；顒?dòng)二線段的垂直平分線活動(dòng)二情境引入思考：如圖所示，某快遞公司為方便居民收取快遞，準(zhǔn)備在幸福大道上修建一個(gè)快遞收發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)快遞收發(fā)點(diǎn)應(yīng)建在什么地方，才能使A,B到它的距離相等?探究新知思考：如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn)A′，B′，C′分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)稱點(diǎn)，線段AA′，BB′，CC′與直線MN有什么關(guān)系？線段垂直平分線的定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.如圖，MN⊥AA′，AP=A′P.直線MN是線段AA′的垂直平分線.圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.思考：如圖,直線l垂直平分線段AB，P1,P2,P3,……是l上的點(diǎn)，請(qǐng)你猜想點(diǎn)P1，P2,P3,…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系.猜想：AP=BP.追問(wèn)：你能證明以上猜想嗎？線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.師生活動(dòng)：觀察圖片，動(dòng)手實(shí)踐，得出線段垂直平分線的性質(zhì)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。應(yīng)用新知例1.如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？例2.如圖，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC于E，求△ADE的周長(zhǎng)．思考：如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．線段垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．應(yīng)用格式：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.例3.△ABC中，AB=AC,D在AB邊上，M在線段AD上，且MB=MC,求證：DB=DC．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問(wèn)題的能力，運(yùn)用知識(shí).學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).從上面兩個(gè)結(jié)論可以看出，線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.思考：分析上面關(guān)于線段的垂直平分線的兩個(gè)命題，它們的題設(shè)和結(jié)論有什么關(guān)系?你還學(xué)習(xí)過(guò)其他具有類似關(guān)系的命題嗎?這兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反.我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆命題，如果把其中一個(gè)叫作原命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題.一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不成立.例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題都是成立的；而命題“對(duì)頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角”卻不成立.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理，其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理.在幾何中，有許多互逆的定理.例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題是互逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”也是互逆定理.你還能舉出類似的例子嗎？例4.命題：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直．(1)請(qǐng)寫(xiě)出該命題的逆命題；(2)判斷（1）中的命題是否是真命題？如果是真命題，請(qǐng)畫(huà)圖，寫(xiě)出已知、求證，并證明：如果是假命題，請(qǐng)舉反例畫(huà)圖說(shuō)明．思考：我們知道下面的圖形是對(duì)稱的，那么我們應(yīng)該如何驗(yàn)證呢？又如何作出它們的對(duì)稱軸呢？如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？分析：我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B，作出線段AB的垂直平分線，就可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸.為此作出到點(diǎn)A，B的距離相等的兩點(diǎn)，即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，從而作出線段AB的垂直平分線.(1)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于1/2AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點(diǎn)；(2)作直線CD.CD即為所求.例5.如圖，某小區(qū)有A，B，C三個(gè)單元，現(xiàn)準(zhǔn)備在小區(qū)內(nèi)建一個(gè)純凈水取水點(diǎn)，要求取水點(diǎn)到三個(gè)單元的距離相等，請(qǐng)你確定取水點(diǎn)的位置.追問(wèn)：根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，你會(huì)作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸嗎？總結(jié)：學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的作法,就可以作對(duì)稱軸了.由于成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸是其任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線,所以只要任意找一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),作出連接它們的線段的垂直平分線,就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸.同樣地,對(duì)于軸對(duì)稱圖形,只要任意找一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),作出連接它們的線段的垂直平分線,就得到此圖形的對(duì)稱軸.師生活動(dòng)：利用尺規(guī)作圖，明確作圖步驟和方法，教師指導(dǎo)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)習(xí)線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖，解決實(shí)際問(wèn)題，為學(xué)習(xí)作圖形的對(duì)稱軸做鋪墊。思考：右圖中的六角星有幾條對(duì)稱軸？如何作出這些對(duì)稱軸呢？作法：(1)找出六角星上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A和B，連接AB．(2)作出線段AB的垂直平分線l.則l就是這個(gè)六角星的一條對(duì)稱軸.用同樣的方法，一共可以找出六條對(duì)稱軸，所以六角星有六條對(duì)稱軸.例6.畫(huà)出下列圖形的對(duì)稱軸．思考：尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.追問(wèn)：你能寫(xiě)出已知和求作嗎？已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.作法：(1)任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁；(2)以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E；(3)分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于1/2DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)F(不同于點(diǎn)C)；(4)作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.追問(wèn)1：為什么直線CF即為所求？∵從作法的（2）（3）步可知CD=CE，DF=EF，∴點(diǎn)C，F(xiàn)都在DE的垂直平分線上．∴CF就是線段DE的垂直平分線．∵點(diǎn)D，E在直線AB上，∴CF就是所求直線AB的垂線．追問(wèn)2：為什么任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁？如果K、C在同側(cè)，則以KC為半徑畫(huà)弧將會(huì)與直線AB沒(méi)有交點(diǎn).追問(wèn)3：為什么要以大于1/2DE的長(zhǎng)為半徑作??？如果以小于1/2DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧將沒(méi)有交點(diǎn).師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生思考回答。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題串的形式，讓學(xué)生充分掌握經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線的尺規(guī)作圖方法，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤?；顒?dòng)三軸對(duì)稱的圖形的畫(huà)法活動(dòng)三情境引入思考：前面我們學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì),知道了作軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸的方法.1.找到軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)2.連接這一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)3.作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線師生活動(dòng)：觀察圖片，回顧舊知。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)熟悉的窗花圖案，回顧作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的方法。探究新知思考：果果的父母給孩子定制了一份特別的周歲禮物，將孩子的腳印制作成相框留作紀(jì)念.如何根據(jù)左腳的腳印制作兩腳的足跡呢？思考：果果的父母制作的兩腳的足跡有何特點(diǎn)？追問(wèn)：1.點(diǎn)P和點(diǎn)P’有何關(guān)系？2.線段PP’與對(duì)稱軸有何關(guān)系？歸納：由一個(gè)平面圖形可以得到與它關(guān)于一條直線l對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形的形狀、大小完全相同(位置、朝向可能不同)；新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)；連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.應(yīng)用新知例1.已知點(diǎn)A和直線l，畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′.解：如圖所示即為所求，步驟如下：1.過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為O，2.在垂線上截取OA′=OA，3.點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn).例2.已知線段AB和直線l，畫(huà)出線段AB關(guān)于直線l的對(duì)稱線段A′B′.（1）過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA′=OA，點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn).（2）過(guò)點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足為P，在垂線上截取PB′=PB，點(diǎn)B′就是點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn).（3）連接A′、B′，則線段A′B′即是所畫(huà).思考：已知線段AB，畫(huà)出AB關(guān)于直線l對(duì)稱的線段.歸納總結(jié)：幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，對(duì)于某些圖形，只要畫(huà)出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.注意：（1）特殊點(diǎn)對(duì)畫(huà)軸對(duì)稱圖形特別重要，找特殊點(diǎn)時(shí)，要把確定圖形形狀的特殊點(diǎn)找全，否則畫(huà)出的圖形將不準(zhǔn)確或不完整.（2）常見(jiàn)的特殊點(diǎn)，除線段的端點(diǎn)外，還有線與線的交點(diǎn)、中點(diǎn)等.總結(jié)：畫(huà)軸對(duì)稱圖形的方法可以歸納為“一找、二畫(huà)、三連”：1.在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）2.畫(huà)出各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)3.依次連接各對(duì)稱點(diǎn)例3.如圖，把下列圖形補(bǔ)成關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形.例4.如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形．（請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成以下作圖，保留作圖痕跡）．(1)畫(huà)出△A1B1C1，使得△A1B1C1和△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱；

(2)請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A,C兩點(diǎn)的距離相等.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)踐，讓學(xué)生真正掌握軸對(duì)稱圖形的畫(huà)法，加深對(duì)軸對(duì)稱性質(zhì)的理解.思考：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中你能畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′嗎?追問(wèn)1：你能說(shuō)出點(diǎn)A與點(diǎn)A'坐標(biāo)的關(guān)系嗎？追問(wèn)2：你能寫(xiě)出其他點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?這些對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)有何特點(diǎn)？總結(jié)：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).思考：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中你能畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′嗎?追問(wèn)1：你能說(shuō)出點(diǎn)A與點(diǎn)A'坐標(biāo)的關(guān)系嗎？追問(wèn)2：你能寫(xiě)出其他點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?這些對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)有何特點(diǎn)？總結(jié)：關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生思考回答。小組交流，班內(nèi)匯報(bào)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察、操作、交流得出體會(huì)一對(duì)關(guān)于x軸或者y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，加強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)所表示規(guī)律的能力。應(yīng)用新知例5.填空：1.點(diǎn)P(-5，6)與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_________.2.點(diǎn)M(a，-5)與點(diǎn)N(-2，b)關(guān)于x軸對(duì)稱，則a=_____，b=_____.3.點(diǎn)P(-5，6)與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______.4.點(diǎn)M(a，-5)與點(diǎn)N(-2，b)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a=____，b=_____.5.點(diǎn)M(a，-5)與點(diǎn)N(-2，b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a=____，b=_____.例6.如圖，已知網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.(1)作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A′B′C′，并分別寫(xiě)出A′，B′，C′三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求△ABC的面積．總結(jié)：在直角坐標(biāo)系中畫(huà)軸對(duì)稱圖形的方法計(jì)算：計(jì)算出已知圖形中的一些特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；描點(diǎn)：根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)；連接：按原圖對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接所描各點(diǎn)得到對(duì)稱圖形.例7.已知點(diǎn)A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．(1)若點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，求a、b的值；(2)若A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，求(4a＋b)2025的值．師生活動(dòng)：學(xué)生思考例題，主動(dòng)練習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生解題并講評(píng)。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)例題鞏固所學(xué)，熟悉點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的規(guī)律，并能利用其解決實(shí)際問(wèn)題?；顒?dòng)四等腰三角形活動(dòng)四情境引入思考：觀察圖片，你能找到什么特殊的幾何圖形？師生活動(dòng)：觀察圖片，回答問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活中的圖片，得到等腰三角形的定義。探究新知定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.思考：找一張等腰三角形紙片，動(dòng)手折一折，它是軸對(duì)稱圖形嗎？其中有哪些相等的角和線段？等腰三角形的性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角).追問(wèn)1：你能寫(xiě)出已知和求證嗎？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.追問(wèn)2：你能寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？師生活動(dòng)：學(xué)習(xí)等腰三角形的概念，舉手回答問(wèn)題，學(xué)生思考等邊對(duì)等角的證明方法。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)折紙活動(dòng)理解等腰三角形的性質(zhì)1，通過(guò)一題多解鍛煉學(xué)生的邏輯思維。例1.填空：（1）等腰直角三角形的每一個(gè)銳角的度數(shù)是；（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的頂角的度數(shù)是；（3）如果等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角等于80°，那么這個(gè)三角形的最小內(nèi)角等于.(4)△ABC中，AB=AC,∠A=36?,則∠B=，∠C=.(5)△ABC中，AB=AC,∠B=36?,則∠A=，∠C=.例2.如圖，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度數(shù).例3.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理完成下列填空.在△ABC中，AB=AC.(1)∵AD⊥BC，∴∠____=∠____，_____=_____.(2)∵AD是中線，∴____⊥____，∠____=∠____.(3)∵AD是角平分線，∴____⊥____，____=____.思考：對(duì)于以上三組條件和結(jié)論，你有何思考？總結(jié)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一”).注意：一定是需要底邊上的中線和高才行！例4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求證：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.例5.△ABC，AB=AC=5,AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D.（1）若△BCD的周長(zhǎng)為8，求BC的長(zhǎng)；（2）若∠ABD=∠DBC,求∠A.師生活動(dòng)：學(xué)生思考例題，主動(dòng)練習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生解題并講評(píng)。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)例題鞏固所學(xué)，熟悉等腰三角形的性質(zhì)，并能利用其熟練解題。探究：已知△ABC中，∠A=∠C,求證：AB=BC.等腰三角形的判定方法:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.師生活動(dòng)：結(jié)合猜想，學(xué)生說(shuō)出已知和求證，指定學(xué)生板演。教師歸納定理，寫(xiě)出幾何語(yǔ)言，同時(shí)講解判定和性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系。設(shè)計(jì)意圖：在自主探究的過(guò)程中，學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生的合作意識(shí)，提升交流能力，使學(xué)生在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中領(lǐng)悟得到真命題的方法。例6.如圖，D是AC上的一點(diǎn)．(1)若∠A=∠ABD，則________=_______(2)若CB=CD，則∠_______=∠_______例7.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線DE交AB于E，試說(shuō)明DE=BE的理由.例8.尺規(guī)作圖：已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高為h(如圖所示)，求作這個(gè)等腰三角形.思考：下面的交通標(biāo)志是什么圖形？什么是等腰三角形？在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.追問(wèn)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角之間有何關(guān)系？等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.追問(wèn)：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？有幾條對(duì)稱軸？等邊三角形一定是銳角三角形嗎？等邊三角形仍然滿足“三線合一”嗎？追問(wèn)：等邊三角形和等腰三角形有什么區(qū)別和聯(lián)系？師生活動(dòng)：以小組為單位先猜想、再通過(guò)合作探究，得出結(jié)論后表達(dá)交流。先獨(dú)立猜想，然后以小組為單位對(duì)本組成員的所有猜想通過(guò)畫(huà)圖利定義進(jìn)行驗(yàn)證。設(shè)計(jì)意圖：類比等腰三角形的學(xué)習(xí)方法理解和掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，使學(xué)生對(duì)研究幾何圖形的一般方法有了進(jìn)一步的感知和體驗(yàn)。例9.如圖，△ABC為等邊三角形，DE∥BC，分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.求證：△ADE為等邊三角形.例10.求證：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.歸納：等邊三角形的判定方法三條邊都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形例11.如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解答，并板書(shū)展示，學(xué)生相互評(píng)價(jià)。設(shè)計(jì)意圖：夯實(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。思考：如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，那么直角邊BC與斜邊AB有什么關(guān)系呢?含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.即BC=CD=1/2BD=1/2AB.應(yīng)用格式：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB.思考：如何證明以上結(jié)論？追問(wèn)：如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，若BC=1/2AB，那么∠A＝30°嗎？互為逆命題在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解答，并板書(shū)展示，學(xué)生相互評(píng)價(jià)。設(shè)計(jì)意圖：利用等邊三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，同時(shí)學(xué)習(xí)互逆命題的概念。例12.如圖，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足為點(diǎn)D，∠A=30°.求證:AB=4BD.例13.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC,DE垂直于橫梁AC,AB=7.4cm,∠A=30°.求立柱BC,DE的長(zhǎng).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問(wèn)題的能力，運(yùn)用知識(shí).學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).活動(dòng)五最短路徑問(wèn)題活動(dòng)五情境引入思考：如圖，一位將軍從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，將軍到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？探究新知思考：如何把前面我們提到的“將軍飲馬”問(wèn)題抽象成我們熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在直線l上確定一點(diǎn)C，使得AC+BC最短.追問(wèn)1：現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？連接AB，與直線l相交于點(diǎn)C.根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)C即為所求.追問(wèn)2：如果點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？能夠借助異側(cè)兩點(diǎn)的思路來(lái)解決同側(cè)問(wèn)題？如果將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等，就可以了！利用軸對(duì)稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.總結(jié)：“將軍飲馬”問(wèn)題解決思路(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；(2)連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師板書(shū)展示，學(xué)生相互討論。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)情境引入，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用異側(cè)兩點(diǎn)之間的最短距離的學(xué)習(xí)，類比同側(cè)兩點(diǎn)之間的最短距離，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)建立新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，幫助學(xué)生快速獲得問(wèn)題的答案。應(yīng)用新知例1.如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C在小正方形的頂點(diǎn)上.(1)在圖中畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱的△DEF;

(2)在直線MN上找一點(diǎn)P,使PB+PC的長(zhǎng)最短.(1)分別作出點(diǎn)A,B,C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可；

(2)由題意，PB+PC=PB+PF,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求作.例2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5,D,E,F分別是AB,BC,AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，求DE+EF+FD的最小值.解：如圖，作D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M,關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N,連接CM,CN,CD,EN,FM,DN,DM.∴DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,∴CD=CM=CN,∵∠MCA=∠DCA,∠BCN=∠BCD,∠ACD+∠BCD=90°，∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M,C,N共線，∵DE+EF+FD=FM+EN+EF,∵FM+EN+EF≥MN,∴當(dāng)M,F,E,N四點(diǎn)共線時(shí)，且CD⊥AB時(shí)，DE+EF+FD的值最小為MN=2CD,∵CD⊥AB,∴1/2AB?CD=1/2BC?AC,∴CD=12/5，∴DE+EF+FD的最小值為24/5.思考：如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)？追問(wèn)：如何把“造橋選址”問(wèn)題抽象成我們熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題？如圖所示：將河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN垂直于直線b，交直線a于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)N在什么位置的時(shí)候，AM+MN+NB的值最小？追問(wèn)：如圖，假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N，作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.追問(wèn)：你知道為什么嗎？歸納總結(jié):在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇.例3.如圖，為了做好交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊(duì)從點(diǎn)A處出發(fā)，先到公路l1上設(shè)卡檢查，再到公路l2上設(shè)卡檢查，最后到點(diǎn)B處執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？例4.如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′，EE′(橋?qū)挷挥?jì))，設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握將軍飲馬和造橋選址問(wèn)題的解決方式和背后的原理，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問(wèn)題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).課堂小結(jié)師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.本節(jié)課你學(xué)到了什么？什么是軸對(duì)稱？其性質(zhì)是什么？什么是線段的垂直平分線？其性質(zhì)是什么？如何用尺規(guī)作圖？如何畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸？如何用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱？等腰三角形的概念是什么？有何性質(zhì)？如何判定？如何判定一個(gè)三角形是等邊三角形？含有30°的直角三角形有何性質(zhì)？什么是互逆命題？如何解決“將軍飲馬”和“造橋選址”兩類問(wèn)題？依據(jù)是什么？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).由教師引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，目的是充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有助于學(xué)生在理解新知識(shí)的基礎(chǔ)上，及時(shí)把知識(shí)系統(tǒng)化、條理化.當(dāng)堂練習(xí)1．加快建設(shè)體育強(qiáng)國(guó)，就是要弘揚(yáng)中華體育精神．下列體育圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（

）2.如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA＝5，則線段PB的長(zhǎng)度為()A．6B．5C．4D．33.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論不正確的是 ()A.AE=BE B.AC=BEC.CE=DE D.∠CAE=∠B4．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=60°,∠ACF=48°,則∠ABC的度數(shù)為()A．48°B．36°C．30°D．24°5.如圖，在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，以下結(jié)論不一定成立的是()A.∠CAD=1/2∠CABB.AE=BEC.DE⊥ABD.∠ADC=∠ADE6.在如圖所示的網(wǎng)格中,能找出與A,B兩點(diǎn)構(gòu)成以AB

為底邊的等腰三角形的格點(diǎn)數(shù)有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)7.如圖，在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．30°B．40°C．50°D．70°8.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，若BM+CN=9,則線段MN的長(zhǎng)為（）A.6B.7C.8D.99.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE=DF,②DB=DC,③AD⊥BC,④AC=3BF，其中正確的結(jié)論共有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)10.已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,最短邊BC=4cm,則最長(zhǎng)邊AB的長(zhǎng)是()A、5cmB、6cmC、7cmD、8cm11.如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定12.仔細(xì)觀察下列圖案，并按規(guī)律在橫線上畫(huà)出合適的圖案．13.如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙按圖那樣折疊后，B、D兩點(diǎn)落在B′、D′兩點(diǎn)處，若∠AOB′=70°，則∠B′OG的度數(shù)為_(kāi)____.14.已知點(diǎn)P(2a+b,-3a)與點(diǎn)P’(8,b+2).若點(diǎn)P與點(diǎn)P’關(guān)于x軸對(duì)稱，則a=_____,b=_______.若點(diǎn)P與點(diǎn)P’關(guān)于y軸對(duì)稱，則a=_____,b=_______.15．畫(huà)出下列軸對(duì)稱圖形的所有的對(duì)稱軸．16.已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.17.如圖，已知△ABC和直線l，畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形.18.在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-4,1）,B（-2,1）,C（-2,3）.（1）作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）將△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度；做出平移后的△A2B2C2；（3）求四邊形AA2B2C的面積.19.如圖，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=120°，點(diǎn)D,E是底邊上兩點(diǎn)，且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度數(shù).20.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別在AB和BC上，DE的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且BD=CF,DE=EF.求證：AB=AC.21.如圖，已知△ABC是等邊三角形，D，E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且CD=AE，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，求證：BP=2PQ.22.如圖，等腰△ABC底邊BC=4,面積為12，腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F,若D為BC邊上中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，求△BDM的周長(zhǎng)的最小值.師生活動(dòng)：學(xué)生做練習(xí)，教師訂正答案.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固、強(qiáng)化課堂上所學(xué)的知識(shí)，并且培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).通過(guò)分層練習(xí)，進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加完善.同時(shí)強(qiáng)化本課的教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn).單元作業(yè)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．第十五屆全運(yùn)會(huì)將于2025年11月9日至21日舉行，由廣東、香港、澳門(mén)三地共同舉辦．體育精神就是健康向上、不懈奮斗的精神，下列關(guān)于體育運(yùn)動(dòng)的圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故A不符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故B不符合題意；C．是軸對(duì)稱圖形，故C符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故D不符合題意．故選：C．2．如圖，在中，，分別以A，B兩點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．9 B．6 C．3 D．12【答案】C【分析】本題考查了作圖基本作圖：作已知線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．利用基本作圖得到垂直平分，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，所以，再計(jì)算出，再利用角平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由作法得垂直平分，∴，，，，∴，∵，，，∴．故選：C．3．如圖，在中，為內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交于點(diǎn)，若在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，由，可得，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：，，推出，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得，最后根據(jù)平角的定義即可求解．【詳解】解：由條件可知，在的垂直平分線上，N在的垂直平分線上，，，，，，．故選：C．4．學(xué)習(xí)情境·問(wèn)題討論如圖，直線l與線段交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上，且．小明說(shuō)：“直線l是的垂直平分線．”小亮說(shuō)：“需再添加一個(gè)條件，小明的結(jié)論才正確．”下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．小明說(shuō)得不對(duì)B．小亮說(shuō)得對(duì)，可添?xiàng)l件為“”C．小亮說(shuō)得對(duì)，可添?xiàng)l件為“”D．小亮說(shuō)得對(duì)，可添?xiàng)l件為“平分”【答案】B【分析】本題考查了垂直平分線的知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、可添?xiàng)l件為才能說(shuō)：直線l是的垂直平分線；B、添?xiàng)l件為，則，不能證明；C、添?xiàng)l件為，在和中，，，，，直線l是的垂直平分線；D、添?xiàng)l件為平分，在和中，，，，，直線l是的垂直平分線；故選：B．5．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊后，點(diǎn)D，C分別落在點(diǎn)的位置，交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平角的定義求出，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．故選：A．6．如圖所示，現(xiàn)要在一塊三角形草坪上建一涼亭供大家休息，使涼亭到草坪三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條高所在直線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】本題考查了垂直平分線的判定，根據(jù)到線段的端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，進(jìn)行分析，即可作答．【詳解】解：∵涼亭到草坪三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴涼亭的位置應(yīng)選在三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D7．如圖，在中，，是邊上的中線，且，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的三線合一、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．由三線合一得，進(jìn)而求出，由得，求出即可求解．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵，是邊上的中線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．8．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則的值是（

）A． B． C．3 D．1【答案】D【分析】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)符號(hào)相反，即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，，解得：，，∴．故選：D．9．下列正多邊形中，對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（

）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】D【分析】本題考查求對(duì)稱軸的條數(shù)，根據(jù)正n邊形有n條對(duì)稱軸，即可求解．【詳解】解：正三角形有3條對(duì)稱軸，正方形有4條對(duì)稱軸，正五邊形有5條對(duì)稱軸，正六邊形有6條對(duì)稱軸，所以四個(gè)選項(xiàng)中對(duì)稱軸條數(shù)最多的是正六邊形，故選D．10．點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，根據(jù)此性質(zhì)來(lái)求解點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D．11．如圖，若，，的周長(zhǎng)為，不能作出的中點(diǎn)的尺規(guī)作圖是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】本題考查作圖基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的定義以及判定判斷即可．【詳解】解：若，，的周長(zhǎng)為，∴，，A、由作圖可知為的垂直平分線，能作出的中點(diǎn)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由作圖可知為的角平分線，再由等腰三角形三線合一可得能作出的中點(diǎn)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、記兩弧交點(diǎn)為，由作圖可得是等邊三角形，則，再由可得垂直平分，故能作出的中點(diǎn)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由作圖可知為的平分線，不能作出的中點(diǎn)，故本選項(xiàng)符合題意，故選：D．11．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，則的周長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再求出，據(jù)此即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：垂直平分線段，，，，，的周長(zhǎng)為，故答案為：6．12．若與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．則【答案】【分析】此題主要考查了關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，直接利用關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，得出,的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，解得：，則．故答案為：．13．如圖，中，平分，且平分，于，于．(1)求證：；(2)如果，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）連接、，先證出，，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再設(shè)，根據(jù)線段的和差建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接、，且平分，，平分，于，于，，，在與中，，∴，．（2）解：平分，于，于，，，在與中，，∴，，由（1）已證：，設(shè)，∵，，∴，，∴，解得，∴．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，且、、．(1)在圖中畫(huà)出線段關(guān)于y軸對(duì)稱的線段，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，直接寫(xiě)出的面積為；(3)在x軸上有一條長(zhǎng)度是1的運(yùn)動(dòng)線段（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），使得最小，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)M．（保留必要的畫(huà)圖的痕跡）．【答案】(1)見(jiàn)解析，(2)5.5(3)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了利用軸對(duì)稱變換進(jìn)行作圖以及最短路線問(wèn)題，畫(huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始．凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行四邊形．（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到線段的端點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，再連接即可；根據(jù)點(diǎn)的位置即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)割補(bǔ)法即可得到的面積；（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，作軸，使得，連接交x軸于一點(diǎn)，則該交點(diǎn)即為點(diǎn)M．【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為：；（2）解：的面積為；故答案為：；（3）解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，作軸，使得，連接交x軸于一點(diǎn)，則該交點(diǎn)即為點(diǎn)M，連接，由，，可得四邊形為平行四邊形，故，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得，故（最短），而的長(zhǎng)為定值，故此時(shí)最?。?5．如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，(1)畫(huà)出關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形，并寫(xiě)出三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（），（），（）；(2)在x軸上找一點(diǎn)P，使的值最?。ㄖ恍枳鲌D保留作圖痕跡）；(3)在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得，如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，，B1-4,2，(2)見(jiàn)解析；(3)(0,72)【分析】（1）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此畫(huà)出圖形，進(jìn)而即可寫(xiě)出坐標(biāo)；（2）利用軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題的原理，作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短．（3）先根據(jù)坐標(biāo)求出的面積，再設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積公式列出關(guān)于點(diǎn)縱坐標(biāo)的方程，求解得到點(diǎn)坐標(biāo)．本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形變換、最短路徑問(wèn)題以及三角形面積公式的應(yīng)用，熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征和利用圖形割補(bǔ)法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：求關(guān)于軸的對(duì)稱圖形及頂點(diǎn)坐標(biāo)已知，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，如圖，為所求，由圖可得，B1-4,2，（2）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．連接交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)即為所求，（3）解：．設(shè)，則S△AOQ=∵S△AOQ=1∴12即|y|=7解得或．∴點(diǎn)坐標(biāo)為(0,72)或16．已知點(diǎn)，；(1)若點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，求a，b的值；(2)若點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，求的值．【答案】(1)，(2)1【分析】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，代數(shù)式求值．（1）根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”列方程組求解即可；（2）根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”列方程組求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴2a-b=2b-15+a=-解得，∴，；（2）解：∵點(diǎn)A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，∴2a-b=-2b-1解得，∴．17．如圖，中，，D是的中點(diǎn)，，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)長(zhǎng)2，求的周長(zhǎng)．【答案】28【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、與三角形的中線有關(guān)的計(jì)算，由題意可得，再結(jié)合的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)長(zhǎng)2，求出，最后再利用三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵D是的中點(diǎn)，∴，∵的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)長(zhǎng)2，∴，∴，∵，，∴，∴的周長(zhǎng)．18．如圖，在中，平分，，且，求證：是等邊三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】此題考查了等邊三角形的判定，根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出，則，結(jié)合，即可判定是等邊三角形．【詳解】證明：平分，，，，，，是等邊三角形．能力提升能力提升1．如圖，已知是一塊平面鏡，光線在平面鏡上經(jīng)點(diǎn)反射后，形成反射光線，我們稱為入射光線，為反射光線．鏡面反射有如下性質(zhì)：入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，即．如圖，和是兩塊平面鏡，入射光線經(jīng)過(guò)兩次反射后，得到反射光線．則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反射的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)和判定逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、∵入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，∴，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴，∴，∵，∴，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴，∵，∴，∵，∴，不能得出，原結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵，∴，∵，，，∴，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．小明用兩個(gè)全等的三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“燕尾”的平面圖案，如圖，，連接并延長(zhǎng)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，則下列推斷錯(cuò)誤的是（）A．平分 B．C．是的中點(diǎn) D．【答案】D【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的性質(zhì)、等角的補(bǔ)角相等、等腰三角形的“三線合一”等知識(shí)，推導(dǎo)出，且是解題的關(guān)鍵．由全等三角形的性質(zhì)得，，則，可判斷A不符合題意；由，平分，得，，則，D是的中點(diǎn)，可判斷B不符合題意，C不符合題意；假設(shè)成立，則是等邊三角形，則，推導(dǎo)出，與已知條件不符，可知不成立，可判斷D符合題意，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：，，，，，平分，故A不符合題意；，平分，，，，D是的中點(diǎn)，故B不符合題意，C不符合題意；假設(shè)成立，則，，，，與已知條件不符，不成立，故D符合題意．故選：D．3．如圖，是等邊邊上的高，，分別是，上的兩個(gè)定點(diǎn)，，，若在上有一動(dòng)點(diǎn)，使最短，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題等知識(shí)，正確地畫(huà)出圖形找到的最小值時(shí)點(diǎn)H的位置是解題的關(guān)鍵．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則在上，與的交點(diǎn)為，此時(shí)最短，利用條件求解即可．【詳解】解：是等邊三角形，是邊上的高，，平分，，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則在上，與的交點(diǎn)為，，，，，又，是等邊三角形，，的最小值為．故選：D．4．如圖，在中，AD是的角平分線，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)．若，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接、，證明垂直平分，推出，由三角形三邊關(guān)系可知，，即的值最小為，通過(guò)證明，推出，因此利用三角形外角的性質(zhì)求出即可．本題考查垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是找出取最小值時(shí)點(diǎn)E的位置．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接、，，，，∴，，，垂直平分，，，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)處時(shí)，最小，，，，，，，即當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為故答案為：5．如圖，已知長(zhǎng)方形紙帶，將紙帶沿折疊后，點(diǎn)、分別落在、的位置，再沿折疊成圖2，點(diǎn)、分別落在、的位置（1）若，則度（2）已知，則的大小為度．【答案】75【分析】本題考查了翻折變換和平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用翻折的性質(zhì)得到相等的線段或角．（1）由折疊得，，結(jié)合平行線的性質(zhì)求得，由角度的和差得到；（2）設(shè)∠QHG=x，由翻折可得∠QHF=∠D=90°，∠GHE=∠B=90°，∠HGF=∠C=90°，所以∠GHF=90°-x，∠QHE=∠QHG+∠GHE=x+90°，根據(jù)∠QHE=2∠GHF，可得x+90°=290°-x，解得x，【詳解】解：（1）由折疊得，，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）設(shè)∠QHG=x，由翻折可知：∠QHF=∠D=90°，∠GHE=∠B=90°，∠HGF=∠C=90°，∴∠GHF=90°-x，∠QHE=∠QHG+∠GHE=x+90°，∵∠QHE=2∠GHF，∴∠QHE=290°-x∴x+90°=290°-x解得：，∴∠QHG=30°，∴∠GHF=90°-x=60°，∴∠GFH=30°，由折疊可知：∠DFG=∠GFH=30°，∴∠GFC=180°-30°=150°，∴∠GFC=75°，故答案為：75．6．由16個(gè)相同的小正方形拼成的正方形網(wǎng)格，現(xiàn)將其中的兩個(gè)小正方形涂黑（如圖）．請(qǐng)你用兩種不同的方法分別在圖中再將兩個(gè)空白的小正方形涂黑，使它成為軸對(duì)稱圖形，并用虛線畫(huà)出它的對(duì)稱軸．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)畫(huà)出圖形即可．【詳解】解：如圖，．7．已知一張三角形紙片（如甲圖），其中．將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到邊上的點(diǎn)E處，折痕為（如乙圖），再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為（如丙圖）．(1)請(qǐng)直接找出丙圖中除外的所有等腰三角形；(2)請(qǐng)求出甲圖中各角的度數(shù)．【答案】(1)丙圖中除外的所有等腰三角形：(2)，【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的特征，可作出判斷；（2）由等腰三角形的性質(zhì)，可得，由折疊，得，，則，再在中利用三角形內(nèi)角和定理列方程，求出的度數(shù)，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：丙圖中除外的所有等腰三角形：；（2）解：∵，∴，由折疊，得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故甲圖中各角的度數(shù)分別為．8．【問(wèn)題呈現(xiàn)】（1）如圖1，是的平分線，是上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則線段和的數(shù)量關(guān)系是_____．【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，且．試判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．試說(shuō)明．【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案；（2）先證明，得到，再證明，得到，即可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，得到，，進(jìn)而得到，再證明，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵是的平分線，，，∴，故答案為：；（2）∵平分，，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴；（3）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴．9．“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李顧《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”問(wèn)題．(1)如圖．直線是一條輸氣管道，，是管道同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)計(jì)劃在直線上修建一個(gè)供生站，向兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（）A.B.C.

D.(2)如圖，草地邊緣與小河河岸在點(diǎn)處形成夾角，牧馬人從地出發(fā)，先讓馬到草地吃草，然后再去河邊飲水，最后回到地．請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)一條路線，使其所走的路徑最短，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)最短路徑如圖，理由見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的最短路線問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)軸對(duì)稱和垂直平分線的性質(zhì)可得正確選項(xiàng)．（2）作點(diǎn)關(guān)于直線和的對(duì)稱點(diǎn)和，連接和，連接，分別交直線和于點(diǎn)和，連接和，根據(jù)軸對(duì)稱和垂直平分線的性質(zhì)可得最短路徑．【詳解】（1）解：∵作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，故直線是的垂直平分線，∴，∴，∴鋪設(shè)管道最短的是選項(xiàng)，故選：．（2）解：作點(diǎn)關(guān)于直線和的對(duì)稱點(diǎn)和，連接和，連接，分別交直線和于點(diǎn)和，連接和，如圖：根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得直線和分別是和的垂直平分線，∴，∴，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得出路徑最短為．素養(yǎng)挑戰(zhàn)素養(yǎng)挑戰(zhàn)1．如圖，內(nèi)角和外角的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，有以下結(jié)論，①；②；③；④，⑤其中正確的結(jié)論是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)平行線性質(zhì)得出，從而得出，由等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)已知條件，不能得出全等；③由于E是兩條角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出點(diǎn)E到、、的距離相等，從而得出為外角平分線這個(gè)重要結(jié)論，再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)與外角性質(zhì)進(jìn)行角度的推導(dǎo)即可輕松得出結(jié)論；⑤根據(jù)，于是得到，推出，即可得到結(jié)論；④由，，于是得到，即可得到結(jié)論．【詳解】解：①∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；同理，②與不含相等的邊，所以不能得出全等的結(jié)論，故②錯(cuò)誤；③過(guò)點(diǎn)E作于N，于D，于M，如圖，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴平分，設(shè)，，，如圖，則，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，故③正確；④∵，∴，∴，即，故⑤正確；⑤∵，，∴．故④正確．綜上，①③④⑤正確，一共4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．2．如圖，，點(diǎn)、、、…在射線上，點(diǎn)、、…在射線上，、、…均為等邊三角形，從左起第個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為，第個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為，以此類推，若，則．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出，以及，得出a3=4a1=4，a4【詳解】解：如圖，∵△A∴A1B∴∠2=120∵∠MON=30°，∴∠1=180又，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30∴O∴A∵△A2B∴∠11=∠10=60∵∠4=∠∴A1B∴∠1=∠6=∠∴a2=2a4=8a以此類推：a2025故答案為：22024【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a3=4a1=4，3．小明同學(xué)喜歡玩折紙游戲，他在學(xué)習(xí)完角的知識(shí)后，他發(fā)現(xiàn)折紙的過(guò)程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，于是他找到若干張長(zhǎng)方形紙片來(lái)研究折紙的過(guò)程中角的變化，首先他在長(zhǎng)方形紙片的邊上找到一點(diǎn)E，然后沿著進(jìn)行第一次折疊（如圖1），使得D點(diǎn)落在F處．(1)此時(shí)（如圖1）小明經(jīng)過(guò)測(cè)量得到，請(qǐng)你幫他計(jì)算_________．(2)第一次折疊后，小明繼續(xù)對(duì)紙片進(jìn)行折疊，他將紙片沿著B(niǎo)E進(jìn)行第二次折疊（如圖2），使得A點(diǎn)落在G處，小明發(fā)現(xiàn)的大小會(huì)隨著E點(diǎn)的位置改變而發(fā)生改變