2/2專題全等三角形模型之截長補短模型與手拉手模型目錄A題型建模?專項突破TOC\o"1-2"\h\u題型一、全等三角形模型之截長補短模型 1題型二、全等三角形模型之手拉手模型 6B綜合攻堅?能力躍升題型一、全等三角形模型之截長補短模型【常見模型及證法】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE補短：將短線段延長，證與長線段相等例1．現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種常見輔助線的做法．在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用．截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等．補短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段．請用截長法解決問題（1）（1）已知：如圖1等腰直角三角形中，，是角平分線，交邊于點．求證：．請用補短法解決問題（2）（2）如圖2，已知，如圖2，在中，，是的角平分線．求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)截長法，在上截取，連接，通過題目條件可證，進而證得是等腰直角三角形，等量代換即可得；（2）根據(jù)補短法，延長到，使，連接，根據(jù)已知條件可證，進而可證，等量代換即可得證．【詳解】（1）證明：如圖1，在上截取，連接，∵是角平分線，∴在和中∴∴，又∵是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．（2）如圖2，延長到，使，連接，∵是的角平分線，∴在和中∴，∴∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了截長法和補短法兩種方法證明線段和的問題，三角形全等的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)應(yīng)用，等量代換的應(yīng)用，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．【閱讀】在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用截長補短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系．截長法：將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等．補短法：延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等．【應(yīng)用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，，組成一個四邊形，以D為頂點作，交邊于M、N．(1)若，，證明：；經(jīng)過思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補短法，延長到點E，使，連接，先證明，再證明，即可求得結(jié)論．按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；(2)當時，三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出你的結(jié)論，不用證明）(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在的延長線上，完成圖③，其余條件不變，則之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)(3)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得AD=BD，延長到E，使，連接，利用全等三角形的判定得出，，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形即可證明；（2）證明方法與（1）一致，證明即可；

（3）在截取，連接，利用全等三角形的判定得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意得：AD=BD，延長到E，使，連接∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵∴∴，在和中∴，∴，∵，∴．（2）由（1）中條件得∠ACD+∠MDN=90°，證明方法同（1）類似，∴；（3），證明：在截取，連接，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∵∴即∴即，在和中，∴，∴，∵，∴．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，找出各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型二、全等三角形模型之手拉手模型【常見模型及證法】1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。證明：∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。證明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。例3．數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個核心要素：抽象、推理、模型．圖形與幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問題中進行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進行再探究、推理，以達到解決問題的目的(1)【模型探究】如圖1，和中，，且，連接．這一圖形稱為“手拉手模型”．求證，請你完善下列過程．證明：∵，∴（）①．即．…（）②(2)【類比推理】如圖2，中，，以B為端點引一條與腰相交的射線，在射線上取點D，使，求的度數(shù)．（提示：可構(gòu)建手拉手模型，在上找一點E，使）【答案】(1)等式的性質(zhì)，(2)42°【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由等式的性質(zhì)可得，則可證明，再利用即可證明；（2）在上取一點E，使，連接，由等邊對等角得到，則可證明，進而證明，得到，設(shè)和交于點O，由，可得．【詳解】（1）證明：∵，∴（等式的性質(zhì)）．即．又∵，∴；（2）解：在上取一點E，使，連接，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，設(shè)和交于點O，∵，∴．例4．在學(xué)習(xí)全等三角形知識時、數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進行了如下操作：(1)如圖1、兩個等腰三角形和中，連接、、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是手拉手模型，在這個模型中，和全等的三角形是，此時和的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2、兩個等腰直角三角形和中，連接，，兩線交于點，請判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，連接，，兩線交于點，請直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)．【答案】(1)，(2)且，理由見解析(3)，【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）先判斷出，進而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，，進而判斷出，即可得出結(jié)論；（3）由三角形與三角形都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，兩三角形的內(nèi)角都為，利用等式的性質(zhì)得到，利用可得出得，，求出，即可根據(jù)求解．【詳解】（1）解：∵，∴．∴，在和中，，∴，∴，∴和全等的三角形是，此時和的數(shù)量關(guān)系是．故答案為：，；（2）且；理由如下：∵，∴．∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∴，綜上所述：且．（3）和都為等邊三角形，，，，，即，在和中，，；，，∴，∴．一、填空題1．在四邊形中，，與互補，點E、F分別在射線、上，且，當，，時，的周長等于．【答案】13【分析】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．在上截取，先證，再證，可得，再由的周長即可解答．【詳解】解：在上取點G，使，∵，，∴，在與中，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，在與中，∴∴．∴∴的周長等于，∵，，，∴的周長等于故答案：．2．如圖所示，已知和都是等腰三角形，，連接，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④⑤【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是利用面積證明，屬于中考?？碱}型．作于M，于N，設(shè)交于O．證明，利用全等三角形的性質(zhì)、角平分線的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：如圖，作于M，于N，設(shè)交于O．∵，∴，在與中，，（），∴，，故①正確，∵，∴，∴，故④正確，∵，，，∴，∴，∴平分，故③正確；∴，∴，∵∴，故⑤正確；若②平分成立，則，∵，∴，推出，由題意知，不一定等于，∴不一定平分，故②錯誤，即正確的有①③④⑤，故答案為：①③④⑤．3．如圖，在中，和的平分線，相交于點，交于，交于，過點作于，下列四個結(jié)論：①；②當時，；③若，，則．其中正確的是．（填寫正確的序號）【答案】①②③【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及定義，三角形的內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)可知①正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定可知②正確；根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形的面積可知③正確．【詳解】解：∵在中，，∴，∵和是和的平分線，，∴，∴，故①正確；在上截取，∵和是和的平分線，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故②正確；作于于，連接，∵和的平分線，相交于點，，∴，∵，∴，故③正確；∴正確的序號為①②③；故答案為①②③．4．如圖，點，，在同一直線上，在這條直線同側(cè)作等邊和等邊，連接和，交點為，交于點，交于點，連接、，有個結(jié)論：①，②，③，④，請將所有正確結(jié)論的序號填在橫線上．【答案】①②④【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題意、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)可以判斷各小題是否成立，從而可以解答本題．【詳解】解：等邊和等邊，，，，，在和中，，，故正確，，即，在和中，，，故正確，題目中沒有說明平分，故無法推出，故錯誤，，，，，故正確，故答案為：．二、解答題5．如圖，交于，交于平分平分，直線經(jīng)過點并與分別交于點．

(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，直接寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析；(2)（1）中結(jié)論不成立，；【分析】（1）在上截取，連，根據(jù)題意證明，得到，，再由證明，由平角定義得到，則有，再證明，得到，則；（2）延長交于點H，根據(jù)題意證明，得到，，再由平分，證明，得到，則．【詳解】（1）證明：如圖，在上截取，連，

∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵∴，即，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴．（2）（1）中的結(jié)論不成立，；理由：延長交于點H，

∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及全等三角形的性質(zhì)和判定，解答過程中，根據(jù)題意做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．6．兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，和是頂角相等的等腰三角形，、分別是底邊．求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點B、D、E在同一條直線上，為中邊上的高，連接，請判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)嘗試探究：如圖3，在（2）問的條件下，延長交于點P，與交于點N，連接，，，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，，再結(jié)合圖形及全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（2）由（1）知且，結(jié)合圖形及等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；（3）作，垂直于的延長線于，根據(jù)全等三角形的判定得出，，，再由全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：和是頂角相等的等腰三角形，，，即在和中，，，；（2）解：由（1）知且，是等腰直角三角形，且，，，；（3）作，垂直于的延長線于，，，，同理，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，∵，∴，在和中，，，，，，設(shè)，，，，，解得，．7．【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)課上，張老師給出如下問題：如圖1，平分，求證：．如圖2，小穎同學(xué)嘗試構(gòu)造“手拉手”模型，給出一種解題思路：過作，交于點，以此來證明陰影部分的三角形全等，得到．請你參考小穎的解題思路寫出證明過程．【類比分析】（2）張老師將圖1進行變換并提出了下面問題，請你解答：如圖3，，平分，求證：．【學(xué)以致用】（3）如圖4，在中，，，D是邊的中點，，與邊相交于點與邊相交于點．請直接寫出線段的值：___________．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8【分析】（1）利用證明，得出即可；（2）過點作，，垂足分別為，，由角平分線的性質(zhì)可得，由“”可證，可得；（3）取中點，連接，根據(jù)證，得，即可得證，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖，過點作，，垂足分別為，，，又平分，，，，在四邊形中，，又，，又，，且，，，；（3）取中點，連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，，點、分別是、邊上的中點，，又是等邊三角形，，，，，，，，，，∵，，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．8．（1）問題發(fā)現(xiàn)：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，和是頂角相等的等腰三角形，即，，且，分別連接，．求證：；（2）類比探究：如圖2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一條直線上．請判斷線段與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由．（3）問題解決：如圖3，若和均為等腰直角三角形，且，，，點，，在同一條直線上，為中邊上的高，連接，若，，請直接寫出四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2），，理由見解析；（3）【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)、三線合一等性質(zhì)，熟練掌握三角形的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得，利用全等的性質(zhì)可得，，又因為是等腰直角三角形，可得，從而可知，即．（3）由是等腰直角三角形，為中邊上的高，可證得，根據(jù)（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得，從而得，即可求出的長，最后求出四邊形的面積．【詳解】（1）證明：即在和中，．（2）與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．理由如下：，，即，在和中，，，，，是等腰三角形且，，，，．（3）解：由（1）的方法得，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，．，，，，四邊形的面積9．綜合與探究數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以對角互補的四邊形為活動主題，開展了如下探究．(1)如圖1，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且．請?zhí)骄烤€段之間的數(shù)量關(guān)系．下面是學(xué)習(xí)委員琳琳的解題過程，請將余下內(nèi)容補充完整．解：延長EB到G，使得，連接AG在和中∴，∴∴∴，∴……

(2)班長李浩發(fā)現(xiàn)在如圖2所示的四邊形中，若，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且，（1）中的結(jié)論仍然是成立的，請你寫出結(jié)論并說明理由．

(3)如圖3，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊延長線上的點，且，請判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）證明，即可得出結(jié)論；（2）延長到點，使，連接，先證明，再證明，即可得出結(jié)論；（3）在上取一點，使，先證明，再證明，即可得出結(jié)論．本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用截長補短法，構(gòu)造全等三角形．【詳解】（1）解：延長到G，使得，連接，

在和中，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，∴，∴；（2）；理由如下：延長到點，使，則，

∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3），理由如下：在上取一點，使，

∵，，∴，又，∴，∴，，∴，∴，又，∴，∴．’10．已知，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．(1)為探究上述問題，小王同學(xué)先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當時．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點，使，連接．請你在圖1中添加上述輔助線，并補全下面的思路．小明的解題思路：先證明_____；再證明了_____，即可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系為_____．(2)請你借鑒小王的方法探究圖2，當時，上述結(jié)論是否依然成立，如果成立，請證明你的結(jié)論，如果不成立，請說明理由．(3)如圖3，若、分別是邊、延長線上的點，其他已知條件不變，此時線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為_____．（不用證明）【答案】(1)圖見解析，，，(2)成立，證明見解析(3)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用截長補短法，構(gòu)造全等三角形．（1）根據(jù)題意，畫出圖形，先證明，再證明，即可得出結(jié)論；（2）延長到點，使，連接，先證明，再證明，即可得出結(jié)論；（3）在上取一點，使，先證明，再證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：補全圖形，如圖：解題思路為：先證明，再證明，即可得出之間的數(shù)量關(guān)系為；故答案為：，，；（2）解：成立，證明如下：延長到點，使，則，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3）解：在上取一點，使，∵，，∴，又，∴，∴，，∴，∴，又，∴，∴．故答案為：．11．【問題情境】在一次數(shù)學(xué)活動課上，九年一班同學(xué)用形狀相同的等腰三角形組合新圖形，并嘗試編制習(xí)題，下面是四個小組的探究情況．（1）一組：和是等腰直角三角形，．連接，構(gòu)建“手拉手”模型（如圖1），得到了；在此基礎(chǔ)上，又利用“蝴蝶型”，如圖2的劃斜線部分，得到了．二組：如圖3，和是等邊三角形，，連接的延長線與相交于點．猜想也能構(gòu)建上述兩種模型得到結(jié)論．請你模仿一組同學(xué)的思路，證明二組同學(xué)猜想的結(jié)論；【類比分析】（2）三組：如圖4，在和中，，連接．則與的數(shù)量關(guān)系為_______，直線與直線的夾角為_______；【變式拓展】（3）四組：只需用，就能構(gòu)建上面任一圖形．請你結(jié)合圖4，用一句話解釋這一過程_______；（4）四組：如圖5，和是等腰直角三角形，，，連接是線段的中點，連接．若，請你求出的長．【答案】（1）見解析；（2）（或相等），或；（3）把繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得（或旋轉(zhuǎn)），連接；（4）2【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識：（1）先證明，再證明可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（2）方法同（1）；（3）由（2）知，結(jié)合旋轉(zhuǎn)可得出結(jié)論；（4）延長到使，連接，證明得，得，進一步證明，再證明即可得出結(jié)論【詳解】