第三章圓＊3垂徑定理

1.

垂徑定理：垂直于弦的

直徑

平分這條弦，并且平

分弦所對(duì)的

弧

.2.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于

弦

，且

平分弦所對(duì)的

弧

.直徑弧弦弧

垂徑定理的運(yùn)用【例1】如圖，已知☉O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD.

（1）證明：E是OB的中點(diǎn)；證明：連接AC.

∵直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，

垂徑定理常常與等腰三角形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題，等腰

三角形的“三線合一”性質(zhì)和垂徑定理是相通的，運(yùn)用

時(shí)更加顯得靈活，若再已知一個(gè)角為60°，則可判定出

等邊三角形，此時(shí)可結(jié)合銳角三角函數(shù)求線段的長(zhǎng).

垂徑定理的應(yīng)用【例2】工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否

符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)

底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具

有圖（1）所示的A，B，E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求.圖（2）是過(guò)球心及A，B，E三點(diǎn)的截面示意圖，已知☉O的直徑就是鐵球的直徑，AB是☉O的弦，CD切☉O于點(diǎn)E，AC⊥CD，BD⊥CD，若CD＝16

cm，AC＝BD＝4

cm，則這種鐵球的直徑為（C）CA.10

cmB.15

cmC.20

cmD.24

cm

垂徑定理還常常和勾股定理結(jié)合運(yùn)用，垂徑定理本

身包含“垂直”關(guān)系，當(dāng)構(gòu)成直角三角形時(shí)，運(yùn)用勾股

定理可解決求線段的問(wèn)題，總的來(lái)說(shuō)，垂徑定理和解直

角三角形緊密相關(guān).

1.

如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（A）第1題圖A2.

在☉O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點(diǎn)C，若

OC∶OB＝3∶5，則DE的長(zhǎng)為（C）A.6B.9C.12D.15C

第3題圖

第4題圖（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關(guān)系；AD＝BD.

（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑.（精確到1

m）19m.

5.

（許昌模擬）如圖，在☉O中，直徑AB＝10，弦

DE⊥AB于點(diǎn)C，若OC∶OA＝4∶5，則△ODE的周長(zhǎng)為

（D）A.

13B.14C.

15D.16第5題圖D6.

如圖，將一個(gè)球放置在圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高AB

＝20

cm，底面直徑BC＝12

cm，球的最高點(diǎn)到瓶底面的

距離為32

cm，則球的半徑為

7.5

cm.（玻璃瓶厚度忽略不計(jì)）7.5第6題圖

第7題圖（1）求BD的長(zhǎng)；解：（1）如圖，連接AD，作AH⊥BD于點(diǎn)H.

∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，∴BD＝2.（2）連接AD，求∠DAC的正弦值.解：（2）如圖，過(guò)D點(diǎn)作DM⊥AC于點(diǎn)M.

∵S△ACB＝S△ABD＋S△ACD，

D

（東營(yíng)中考）《九章算術(shù)》標(biāo)志中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整

的體系.第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)

題：今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，

鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何.用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表述為“如圖，