2025年大學(xué)數(shù)學(xué)半期考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.-\(\cosx\)C.\(\sinx\)D.-\(\sinx\)2.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(3x^2\)5.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.26.向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)=（）A.0B.1C.2D.37.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.無法判斷8.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂D.絕對(duì)收斂9.微分方程\(y'=y\)的通解是（）A.\(y=C\)B.\(y=Ce^x\)C.\(y=e^x\)D.\(y=Cx\)10.行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-10答案：1.A2.B3.B4.A5.A6.A7.B8.B9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充要條件是（）A.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義4.下列積分中，計(jì)算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)5.向量\(\vec{a}=(1,-1,2)\)，\(\vec=(2,1,-1)\)，則（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=-1\)B.\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直C.\(|\vec{a}|=\sqrt{6}\)D.\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行6.對(duì)于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說法正確的是（）A.若偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)都存在，則函數(shù)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微B.若函數(shù)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微，則偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)都存在C.若函數(shù)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)，則偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)都存在D.若偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)都連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微7.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)8.微分方程\(y''+3y'+2y=0\)的特征根是（）A.\(r_1=-1\)B.\(r_2=-2\)C.\(r_1=1\)D.\(r_2=2\)9.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則（）A.\(|A|=-2\)B.\(A\)的伴隨矩陣\(adj(A)=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)C.\(A\)可逆D.\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)10.下列關(guān)于線性方程組的說法正確的是（）A.齊次線性方程組一定有解B.非齊次線性方程組可能無解C.若系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，則非齊次線性方程組有解D.若系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，則非齊次線性方程組無解答案：1.ABD2.ACD3.BC4.ABCD5.AC6.BD7.ABC8.AB9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）2.若\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增的。（）4.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無關(guān)。（）5.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec=(0,1)\)垂直。（）6.二元函數(shù)\(z=xy\)的偏導(dǎo)數(shù)\(z_x=y\)，\(z_y=x\)。（）7.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）8.微分方程\(y'=2x\)的通解是\(y=x^2+C\)。（）9.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)。（）10.線性方程組\(Ax=b\)，若\(A\)是方陣且\(|A|\neq0\)，則方程組有唯一解。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的極值。答案：先求導(dǎo)\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(y'\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)時(shí)，\(y'\lt0\)；\(x\gt2\)時(shí)，\(y'\gt0\)。所以極大值\(y(0)=5\)，極小值\(y(2)=1\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)，則\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=[\lnx]_{1}^{e}=\lne-\ln1=1-0=1\)。3.求向量\(\vec{a}=(2,-3,1)\)與\(\vec=(1,1,-1)\)的夾角余弦值。答案：\(\vec{a}\cdot\vec=2\times1+(-3)\times1+1\times(-1)=-2\)，\(|\vec{a}|=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\)，\(|\vec|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，夾角余弦值\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{-2}{\sqrt{14}\times\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{42}}{21}\)。4.求微分方程\(y'+y=0\)的通解。答案：這是一階線性齊次微分方程，其通解公式為\(y=Ce^{-\intP(x)dx}\)，這里\(P(x)=1\)，\(\intP(x)dx=x\)，所以通解\(y=Ce^{-x}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的連續(xù)性。答案：\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1(x\neq1)\)，\(\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)，但\(f(1)\)無定義，所以函數(shù)在\(x=1\)處不連續(xù)，是可去間斷點(diǎn)。2.討論級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的斂散性與\(p\)的關(guān)系。答案：當(dāng)\(p\gt1\)時(shí)，級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂；當(dāng)\(p\leq1\)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散?？梢酝ㄟ^積分判別法等方法證明，\(p=1\)時(shí)為調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，\(p\gt1\)時(shí)積分判別可知收斂。3.討論二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)的幾何意義及性質(zhì)。答案：幾何意義是開口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面，頂點(diǎn)在原點(diǎn)