2.14一艘沿直線行駛的汽船，速度為v0。汽船關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，受到阻力f與速度v方向相反、大小與速率的n次方成正比，比例系數(shù)為kn。求船運(yùn)動(dòng)的速度和路程。當(dāng)n取不同的正數(shù)時(shí)，船的速度和路程隨時(shí)間如何變化？[解析]沿著船航行的方向建立坐標(biāo)軸x，當(dāng)x=0時(shí)，v=v0。根據(jù)牛頓第二定律可得方程。(2.1)(1)當(dāng)n=0時(shí)，則阻力為常量f=-k0，加速度也為常量a=-k0/m。船的速度為，(2.2)坐標(biāo)表示路程。(2.3)(2)當(dāng)n=1時(shí)，將(2.1)式分離變量，積分得，因此速度為。(2.4)速度隨時(shí)間增加而趨于零。由于v=dx/dt，所以，積分得，所以路程為(2.5)路程隨時(shí)間增加，最后趨于mv0/k1。(3)當(dāng)n=2時(shí)，由(2.1)式得，積分得，化簡(jiǎn)得速度與時(shí)間的關(guān)系。(2.6)速度隨時(shí)間增加也趨于零。路程的微分為，積分得。(2.7)路程隨時(shí)間按對(duì)數(shù)規(guī)律增加。(4)當(dāng)n>0且不為1或2時(shí)，由(2.1)式得，積分得，化簡(jiǎn)可得速度公式。(2.8)路程的微分為，設(shè)，則，因此，積分得，因此路程公式為。(2.9)[討論]①路程和速度的統(tǒng)一公式1)當(dāng)n=0時(shí)，由(2.8)式可得(2.2)式，由(2.9)式可得(2.3)式。2)當(dāng)n→1時(shí)，設(shè)，則ε→0，由(2.8)式得，根據(jù)定義，可得。這就是(2.4)式。當(dāng)n→1時(shí)，(2.8)式中的指數(shù)趨于無窮大，因此n=1點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，不過，這樣的奇點(diǎn)是可去奇點(diǎn)。由(2.9)式得，從而可得(2.5)式。3)當(dāng)n→2時(shí)，由(2.8)式得。這就是(2.6)式。設(shè)，根據(jù)羅必塔法則，當(dāng)ε→0時(shí)，。取ε=n-2，，由(2.9)式可得(2.7)式。當(dāng)n→2時(shí)，(2.9)式中的分母趨于0，因此n=2點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，這樣的奇點(diǎn)也是可去奇點(diǎn)。由此可見：(2.8)式和(2.9)式包括了當(dāng)n=0,1,2的情況。②路程和速度與指數(shù)n的關(guān)系1)在0≤n<1情況下，(2.10)式可化為，當(dāng)船停止時(shí)，v=0，船行駛的時(shí)間為，(2.10)由(2.9)式可知船行駛的總路程為。(2.11)2)在n=1的情況下，由(2.4)式可知：當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，速度v→0；由(2.5)式可知：路程x→mv0/k1。3)在1<n的情況下，由(2.8)式可知：當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，速度v→0。在1<n<2的情況下，當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，船行駛的路程仍由(2.11)式計(jì)算。在n≥2的情況下，(2.9)式可化為，可見：路程隨時(shí)間增加。[圖示](1)如P2.13a圖所示，不論指數(shù)n如何，船的速度都隨時(shí)間減小。當(dāng)n=0時(shí)，船作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，速度隨時(shí)間直線減小，直到零為止。當(dāng)n=0.5時(shí)，速度隨時(shí)間按拋物線的規(guī)律減小。雖然速度是隨時(shí)間減小的，但是由于時(shí)間單位tn隨指數(shù)n變化，因此不能說：指數(shù)越大，速度趨于零的過程就越慢。(2)如P2.13b圖所示，船的路程隨時(shí)間增加，但都是減速增加的。當(dāng)n=0時(shí)，路程隨時(shí)間按拋物線的規(guī)律增加，然后停止。當(dāng)n=0.5時(shí)，路程也有一個(gè)限度。當(dāng)n=1或n=1.5時(shí)，路程隨時(shí)間趨于各自的極限。由于時(shí)間單位tn和路程單位xn都隨指數(shù)n變化，需要根據(jù)具體數(shù)值才能判斷在不同指數(shù)下，船運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系。P2.13a圖P2.13b圖[算法]方法一：用解析式。設(shè)，，則速度和路程的公式可簡(jiǎn)化為，(2.8*)。(2.9*)tn就是時(shí)間單位，xn就是路程單位，v0就是速度單位。[程序]P2_14.m如下。%船受的摩擦力與速率的n次方成正比的運(yùn)動(dòng)與題目的標(biāo)題一致(用解析式)與題目的標(biāo)題一致clear%清除變量tm=5;%最大時(shí)間t=0:0.1:tm;%時(shí)間向量n=0:0.5:3;%指數(shù)向量[N,T]=meshgrid(n+sqrt(eps),t);%化為矩陣V=1./(1+(N-1).*T).^(1./(N-1));%求速度X=((1+(N-1).*T).^((N-2)./(N-1))-1)./(N-2);%求路程%----------------------------------------------------------V(N<1&T>1./(1-N))=nan;%將不合理的速度改為非數(shù)X(N<1&T>1./(1-N))=nan;%將不合理的路程改為非數(shù)figure%創(chuàng)建圖形窗口plot(t,V)%畫速度曲線族gridon%加網(wǎng)格fs=16;%字體大小title('摩擦力與速率的\itn\rm次方成正比的速度與時(shí)間','fontsize',fs)%顯示標(biāo)題xlabel('時(shí)間\itt/t_n','fontsize',fs)%顯示橫坐標(biāo)ylabel('速度\itv/v\rm_0','fontsize',fs)%顯示縱坐標(biāo)m=length(n);%指數(shù)個(gè)數(shù)legend([repmat('\itn\rm=',m,1)num2str(n')])%圖例text(0,0.1,'\itt_n\rm=\itm/k_nv\rm_0^{\itn\rm-2}','fontsize',fs)%標(biāo)記時(shí)間文本figure%創(chuàng)建圖形窗口plot(t,X)%畫路程曲線族gridon%加網(wǎng)格title('摩擦力與速率的\itn\rm次方成正比的路程與時(shí)間','fontsize',fs)%顯示標(biāo)題xlabel('時(shí)間\itt/t_n','fontsize',fs)%顯示橫坐標(biāo)ylabel('路程\itx/x_n','fontsize',fs)%顯示縱坐標(biāo)legend([repmat('\itn\rm=',m,1)num2str(n')],2)%圖例text(0,1,'\itx_n\rm=\itv\rm_0\itt_n','fontsize',fs)%標(biāo)記路程文本方法二：用一個(gè)微分方程的數(shù)值解。由于，由(2.1)式可得，即。(2.1*)其中，t*=t/tn，v*=v/v0。當(dāng)t=0時(shí)，v*=1。船運(yùn)動(dòng)的路程為，求出速度的數(shù)值解，通過數(shù)值積分就能求船運(yùn)動(dòng)的路程，路程的單位是xn=v0tn。[程序]P2_14_.m的計(jì)算部分如下。%船受的摩擦力與速率的n次方成正比的運(yùn)動(dòng)同上(用一個(gè)微分方程數(shù)值解)同上clear%清除變量tm=5;%最大時(shí)間dt=0.01;%時(shí)間間隔t=0:dt:tm;%時(shí)間向量n=0:0.5:3;%指數(shù)向量n(n==1)=1+eps^(1/2);%為1的指數(shù)加小量n(n==2)=2+eps^(1/2);%為2的指數(shù)也加小量[N,T]=meshgrid(n,t);%化為矩陣X=[];%路程矩陣置空V=[];%速度矩陣置空m=length(n);%指數(shù)個(gè)數(shù)fori=1:m%按指數(shù)循環(huán)s=num2str(n(i));%取指數(shù)并化為字符串f=inline(['-v.^'num2str(n(i))],'t','v');%被積內(nèi)線函數(shù)[tt,v]=ode45(f,t,1);%求微分方程數(shù)值解x=cumsum(v)*dt;%累積路程X=[X,x];%連接路程矩陣V=[V,v];%連接速度矩陣end%結(jié)束循環(huán)%----------------------------------------------------------(后面部分與上一程序的相同)方法三：用微分方程的數(shù)值解。設(shè)約化時(shí)間為t*=t/tn，約化路程為x*=x/xn，其中，，由dx/dt=v可得，即，設(shè)x(1)=x*，x(2)=dx*/dt*，可得，。當(dāng)t=0時(shí)，x*=x(1)=0，v*=x(2)=1。這就是初始條件。[程序]P2_14__.m的計(jì)算部分如下。%船受的摩擦力與速率的n次方成正比的運(yùn)動(dòng)同上(用兩個(gè)微分方程數(shù)值解)同上clear%清除變量tm=5;%最大時(shí)間t=0:0.1:tm;%時(shí)間向量n=0:0.5:3;%指數(shù)向量[N,T]=meshgrid(n+sqrt(eps),t);%化為矩陣X=[];%路程矩陣置空V=[];%速度矩陣置空m=length(n);%指數(shù)個(gè)數(shù)fori=1:m%按指數(shù)循環(huán)[tt,XV]=ode45('P2_14__fun',t,[01],[],n(i));%求微分方程數(shù)值解X=[X,XV(:,1)];%連接路程矩陣V=[V,XV(:,2)];%連接速度矩陣end%結(jié)束循環(huán)%----------------------------------------------------------(后面部分與上面兩個(gè)程序的相同)程序在執(zhí)行時(shí)將調(diào)用函數(shù)P2_14_fun.m。%船的速度和加速度函數(shù)functionf=fun(t,x,flag,n)f=[x(2);%速度-x(2)^n];%加速度[說明]用常微分方程指令求微分方程的數(shù)值解特別簡(jiǎn)單。方法四：用微分方程的符號(hào)解。由(2.1*)式可得，上式可改寫為。初始條件為x*=0，dx*/dt*=1，由此可求路程的符號(hào)解。[程序]P2_14___.m的計(jì)算部分如下。%船受的摩擦力與速率的n次方成正比的運(yùn)動(dòng)同上(求微分方程符號(hào)解)同上clear%清除變量tm=5;%最大時(shí)間t=