10.15均勻密繞螺線管的長度為2L，半徑為a，單位長度上繞有n匝線圈，通有電流I(1)求螺線管軸線上的磁場分布。取長度與直徑的比例不同，軸線上的場強曲線有什么特點？(2)螺線管的磁感應線有什么特點？磁感應強度分布面有什么特點？zIOz2LB10.15圖xPldlaA1A2θ2θ1θzIOz2B10.15圖xPldlaA1A2θ2θ1θdN=ndl，電流強度為dI=IdN=Indl，(10.1)線圈在P點產(chǎn)生的磁感應強度為，設θ為軸線與P點到dl連線之間的夾角，則有a=rsinθ，即r=a/sinθ。由于l=acotθ，因此dl=-adθ/sin2θ，故，積分得，(10.2)磁感應強度的方向沿軸線向右。如果管長比半徑大很多，可認為直螺線管為無限長，令θ1=π，θ2=0，可得B0=μ0nI。(10.3)在半無限長管的一端的中心A1(θ1=π/2，θ2=0)或A2(θ1=π，θ2=π/2)，磁感應強度為B1=μ0nI/2=B0/2。(10.4)在直角坐標系中，場點P的磁感應強度為。(10.5)[圖示]如P10.15.1圖所示，不論長度與直徑之比為多少，軸線中間的磁感應強度最大。當長度與直徑之比為1時，軸線上磁感應強度的最大值遠沒有達到無限長螺線管的值。當長度與直徑的比值達到7時，軸線上磁感應強度最大值才達到無限長螺線管的值。當長度與直徑的比值更大時，軸線上磁感應強度的最大值保持不變，但范圍擴大。可見：長螺線管軸線上的磁感應強度與無限長螺線管的值相同。P10.15.1圖[算法]取半徑a為長度單位，取B0=μ0nI為磁感應強度單位，磁感應強度可表示為。(10.5*)[程序]P10_15_1.m如下。%通電螺線管軸線上的場強分布clear%清除變量l=1:2:13;%半長度與半徑比的向量zm=20;%橫坐標的最大范圍z=-zm:0.1:zm;%自變量向量[X,L]=meshgrid(z,l);%坐標和比值矩陣B=((L-X)./sqrt(1+(L-X).^2)+(L+X)./sqrt(1+(L+X).^2))/2;%相對磁感應強度fs=16;%字體大小figure%創(chuàng)建圖形窗口plot(z,B)%畫B的直角坐標曲面legend([repmat('\itL/a\rm=',length(l),1),num2str(l')])%加圖例holdon%保持圖像plot([-zm;zm],[0.5;0.5],'-.')%畫水平零線gridon%加網(wǎng)格xlabel('\itz/a','fontsize',fs)%顯示橫坐標ylabel('\itB\rm/\it\mu\rm_0\itnI','fontsize',fs)%顯示縱坐標axis([-zm,zm,0,1])%曲線范圍title('通電螺線管軸線上的磁感應強度分布','fontsize',fs)%顯示標題[解析](2)在環(huán)電流的磁感應強度的公式和中，z是空間P點在軸上的坐標，也是環(huán)電流的圓心到P點的軸坐標之間的距離。螺線管上任何一個圓環(huán)形電流元dI=Indl到P點的軸坐標之間的距離為z–l，因此圓環(huán)形電流元在空間產(chǎn)生的磁感應強度的兩個分量的微元為，(10.6a)。(10.6b)場強的兩個分量為，(10.7a)。(10.7b)[算法]取半徑a為長度單位，取B0=μ0nI為磁感應強度單位，磁感應強度的兩個分量可表示為，(10.7a*)。(10.7b*)這里，l*=l/a是約化積分變量。通過兩類完全橢圓積分計算螺線管的磁場，其效率更高。[程序]P10_15_2.m如下。%通電螺線管的磁場clear%清除變量s='(z-l).*cos(phi)./(1+(z-l).^2+x.^2-2*x.*cos(phi)).^(3/2)';%磁感應強度x分量字符串ddBx=inline(s,'x','z','l','phi');%磁感應強度x分量被積內(nèi)線函數(shù)s='(1-x.*cos(phi))./(1+(z-l).^2+x.^2-2*x.*cos(phi)).^(3/2)';%磁感應強度z分量字符串ddBz=inline(s,'x','z','l','phi');%磁感應強度z分量被積內(nèi)線函數(shù)phi=linspace(0,pi,30);%角度向量lm=4;%螺線管半長度與半徑之比l=linspace(-lm,lm);%管的長度向量(繞過奇點)dl=l(2)-l(1);%管的長度間隔zm=2*lm;%z坐標范圍z=linspace(0,zm,30);%橫坐標向量z(1)=sqrt(eps);%零改為小量xm=4/5*zm;%x坐標范圍x=linspace(0,xm,30);%縱坐標向量x(1)=sqrt(eps);%零改為小量[X,Z,L,PHI]=ndgrid(x,z,l,phi);%設置數(shù)據(jù)網(wǎng)點dBx=trapz(ddBx(X,Z,L,PHI),4)/2/pi*phi(2);%Bx分量對角度積分dBz=trapz(ddBz(X,Z,L,PHI),4)/2/pi*phi(2);%Bz分量對角度積分Bx=trapz(dBx,3)*dl;%Bx分量對長度積分Bz=trapz(dBz,3)*dl;%Bz分量對長度積分clearPHIL%清除矩陣sx=0.1:0.1:0.9;%磁感應線的起點橫坐標sz=zeros(size(sx))+0.001;%磁感應線的起點縱坐標figure%創(chuàng)建圖形窗口plot([0;0],[-xm;xm])%畫豎直軸線holdon%保持圖像plot([-zm;zm],[0;0])%畫水平軸線ms=6;%符號大小z=-lm:0.25:lm;%管的橫坐標向量x=ones(size(z));%上管的縱坐標向量plot(z,x,'ro',z,x,'r.','markersize',ms)%畫上面流出屏幕的電流plot(z,-x,'ro',z,-x,'rx','markersize',ms)%畫下面流出屏幕的電流plot([11]*lm,[-1+0.1;1-0.1],'r','linewidth',3)%畫右端的剖面plot([-1-1]*lm,[-1+0.1;1-0.1],'r','linewidth',3)%畫左端的剖面gridon%加網(wǎng)格axisequal%使坐標刻度相等fs=16;%字體大小title('通電螺線管的磁感應線','fontsize',fs)%顯示標題xlabel('\itz/a','fontsize',fs)%顯示橫坐標ylabel('\itx/a','fontsize',fs)%顯示縱坐標text(-zm,xm-1,'管的半徑為\ita','fontsize',fs)%標記文本txt=['管的長度為2\itL\rm='num2str(2*lm)'\ita'];%文本text(-zm,-xm+1,txt,'fontsize',fs)%標記文本Z=Z(:,:,1);%取橫坐標矩陣X=X(:,:,1);%取縱坐標矩陣streamline(Z,X,Bz,Bx,sz,sx)%畫第一象限磁感應線streamline(-Z,X,-Bz,Bx,-sz,sx)%畫第二象限磁感應線streamline(Z,-X,Bz,-Bx,sz,-sx)%畫第三象限磁感應線streamline(-Z,-X,-Bz,-Bx,-sz,-sx)%畫第四象限磁感應線Z=[-fliplr(Z),Z;-fliplr(Z),Z];%四象限橫坐標矩陣X=[flipud(X),flipud(X);-X,-X];%四象限縱坐標矩陣Bz=[fliplr(flipud(Bz)),flipud(Bz);fliplr(Bz),Bz];%四象限Bz矩陣Bx=[-fliplr(flipud(Bx)),flipud(Bx);fliplr(Bx),-Bx];%四象限Bx矩陣B=sqrt(Bz.^2+Bx.^2);%總場強A=atan2(Bx,Bz)*180/pi;%場強角度BC={Bz,Bx,B,A};%數(shù)據(jù)元胞zc={'\itB_z/B\rm_0','\itB_x/B\rm_0',...'\itB/B\rm_0','\it\alpha\rm/\circ'};%高坐標元胞tc={'\itz\rm分量','\itx\rm分量','總量\itB\rm','方向'};%標題的一部分txt='\itB\rm_0=\it\mu\rm_0\itnI';%磁感應強度單位文本fori=1:4%循環(huán)figure%創(chuàng)建圖形窗口surf(Z,X,BC{i})%畫第一象限曲面shadinginterp%染色boxon%加框axistight%帖軸t=['通電螺線管的磁感應強度的'tc{i}'的分布面'];%標題title(t,'fontsize',fs)%顯示標題xlabel('\itz/a','fontsize',fs)%顯示橫坐標ylabel('\itx/a','fontsize',fs)%顯示縱坐標zlabel(zc{i},'fontsize',fs)%顯示高坐標text(-zm,xm,max(BC{i}(:))/2,txt,'f