第八章Advancedmathematics無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)第一節(jié)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)目錄/Contents第八章無窮級數(shù)第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法第三節(jié)任意項級數(shù)及其斂散性判別法第四節(jié)冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、冪級數(shù)的收斂域三、冪級數(shù)的運算目錄/Contents第四節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念

的級數(shù)稱為的冪級數(shù),簡記為,其中均為常數(shù),稱為冪級數(shù)的系數(shù)．定義8.6形如當時,上式變?yōu)榉Q為的冪級數(shù)．下面僅對進行討論,對只要令,就可以轉(zhuǎn)化為.

一、冪級數(shù)的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第四節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的收斂域三、冪級數(shù)的運算,可以用常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法確定其斂散性．當時,若冪級數(shù)收斂,則稱點為冪級數(shù)的收斂點；當取一確定值時,冪級數(shù)就成為一個常數(shù)項級數(shù)若冪級數(shù)發(fā)散,則稱點為冪級數(shù)的發(fā)散點.二、冪級數(shù)的收斂域記作.冪級數(shù)所有收斂點的集合,稱為冪級數(shù)的收斂域,在收斂域上,冪級數(shù)的和是的函數(shù),稱為冪級數(shù)

的和函數(shù),

記為..二、冪級數(shù)的收斂域顯然,和函數(shù)的定義域就是冪級數(shù)的收斂域,表示為我們已經(jīng)知道,冪級數(shù),當時,該級數(shù)收斂于；當時,該級數(shù)發(fā)散．因此它的收斂域為,并且當時,有.二、冪級數(shù)的收斂域冪級數(shù)絕對收斂.（1）如果冪級數(shù)當時收斂,則當時,（2）如果冪級數(shù)當時發(fā)散,則當時,冪級數(shù)發(fā)散.二、冪級數(shù)的收斂域（阿貝爾（Abel）定理）定理8.10證明（1）先設(shè)是冪級數(shù)的收斂點,即級數(shù)收斂.由級數(shù)收斂的必要條件可知.于是存在一個常數(shù),使得,二、冪級數(shù)的收斂域從而當時,有,因為收斂.由比較判別法知收斂,即冪級數(shù)絕對收斂.二、冪級數(shù)的收斂域假設(shè)存在,

,而收斂.由（1）可知收斂,這與發(fā)散矛盾．所以對于任意的,只要,就有發(fā)散.二、冪級數(shù)的收斂域（2）用反證法證明．關(guān)于冪級數(shù)的收斂半徑,有下面定義.整個實數(shù)軸上都收斂,則必有一個確定的正數(shù)存在,使得當時,由此可知,冪級數(shù)的收斂域是關(guān)于原點對稱的一個區(qū)間.二、冪級數(shù)的收斂域如果冪級數(shù)不是僅在一點收斂,也不是在定義8.7冪級數(shù)絕對收斂；當時,冪級數(shù)發(fā)散；當時,冪級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.則統(tǒng)稱數(shù)為冪級數(shù)的收斂半徑,稱區(qū)間為冪級數(shù)的收斂區(qū)間,二、冪級數(shù)的收斂域、、或.這時收斂域只有一個點；如果冪級數(shù)只在處收斂,則規(guī)定收斂半徑,收斂,則規(guī)定收斂半徑,這時收斂域是.由處級數(shù)的斂散性可以確定冪級數(shù)的收斂域是二、冪級數(shù)的收斂域如果冪級數(shù)在整個實數(shù)軸上都定理8.11設(shè)冪級數(shù),若,則冪級數(shù)的收斂半徑為二、冪級數(shù)的收斂域證明根據(jù)比值判別法：考慮級數(shù),由于如果,當,即時,冪級數(shù)絕對收斂；二、冪級數(shù)的收斂域當,即時,級數(shù)發(fā)散,由于此時,從而級數(shù)發(fā)散.如果,則對任何,冪級數(shù)絕對收斂.

于是收斂半徑.如果,則對于除外的其他一切值,級數(shù)發(fā)散.于是收斂半徑.二、冪級數(shù)的收斂域于是收斂半徑.另外,我們可以根據(jù)根值法來求級數(shù)的收斂半徑.定理8.12設(shè)冪級數(shù),若,則冪級數(shù)的收斂半徑為二、冪級數(shù)的收斂域（1）

；

（2）；（3）

；

（4）.二、冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域：【例1】故收斂半徑．所以冪級數(shù)的收斂域是．,二、冪級數(shù)的收斂域（1）冪級數(shù)的系數(shù),解因為（2）冪級數(shù)的系數(shù),故收斂半徑．所以冪級數(shù)的收斂域是．,二、冪級數(shù)的收斂域因為（3）冪級數(shù)的系數(shù),因為,故收斂半徑,收斂區(qū)間為.二、冪級數(shù)的收斂域此級數(shù)(條件)收斂；當時,冪級數(shù)成為交錯級數(shù),此級數(shù)發(fā)散．當時,冪級數(shù)成為調(diào)和級數(shù),所以冪級數(shù)的收斂域為．二、冪級數(shù)的收斂域（4）冪級數(shù)的系數(shù),因為,故收斂半徑,收斂區(qū)間為.二、冪級數(shù)的收斂域此級數(shù)(絕對)收斂；此級數(shù)收斂．當時,冪級數(shù)成為交錯級數(shù),當時,冪級數(shù)成為級數(shù),所以冪級數(shù)的收斂域為．二、冪級數(shù)的收斂域（1）；（2）.其系數(shù),因為,故冪級數(shù)的收斂半徑,收斂區(qū)間為,即.二、冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域：【例2】（1）解法一

令,則冪級數(shù)變?yōu)?解當時,冪級數(shù)成為級數(shù),此級數(shù)發(fā)散．所以冪級數(shù)的收斂域為．解法二由于這個冪級數(shù)的奇次項系數(shù)為零,故不能根據(jù)定理8.11或8.12直接求考慮級數(shù),

,因為,二、冪級數(shù)的收斂域收斂半徑.可利用比值或根值判別法來處理,當,即時,冪級數(shù)收斂；當,即時,冪級數(shù)發(fā)散,所以收斂半徑．當時,級數(shù)發(fā)散,故冪級數(shù)的收斂域為．二、冪級數(shù)的收斂域（2）令,則冪級數(shù)變?yōu)?其系數(shù),因為所以冪級數(shù)收斂半徑,收斂區(qū)間為,即．,二、冪級數(shù)的收斂域當時,冪級數(shù)成為交錯級數(shù),此級數(shù)(條件)收斂；當時,冪級數(shù)成為級數(shù),此級數(shù)發(fā)散．所以冪級數(shù)的收斂域為．二、冪級數(shù)的收斂域e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第四節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的收斂域三、冪級數(shù)的運算1．代數(shù)運算它們的收斂半徑分別是和,記,則三、冪級數(shù)的運算設(shè),定理8.13＝,；＝,；＝,,其中．三、冪級數(shù)的運算2．分析運算則其和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù),即,．三、冪級數(shù)的運算(連續(xù)性)

設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,定理8.14則它在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo),

即,且所得冪級數(shù)的收斂半徑仍為,但收斂域可能變化.三、冪級數(shù)的運算(逐項可導(dǎo)性)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,定理8.15則它在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項積分,但收斂域可能變化.即.且所得冪級數(shù)的收斂半徑仍為,三、冪級數(shù)的運算(逐項可積性)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,定理8.16因為,故收斂半徑,收斂區(qū)間為．三、冪級數(shù)的運算求冪級數(shù)的和函數(shù)．【例3】冪級數(shù)的系數(shù),解此級數(shù)發(fā)散；當時,冪級數(shù)成為級數(shù),此級數(shù)(條件)收斂．當時,冪級數(shù)成為交錯級數(shù),所以冪級數(shù)的收斂域為．三、冪級數(shù)的運算設(shè),

,上式在收斂區(qū)間內(nèi)逐項求導(dǎo),得,上式在收斂區(qū)間內(nèi)逐項積分,得,三、冪級數(shù)的運算即,由于,故,,所以,.三、冪級數(shù)的運算因為.

故收斂半徑,收斂區(qū)間為．三、冪級數(shù)的運算求冪級數(shù)的和函數(shù),并求級數(shù)的值．【例4】冪級數(shù)的系數(shù),解此級數(shù)發(fā)散；當時,冪級數(shù)成為級數(shù),當時,冪級數(shù)成為級數(shù),此級數(shù)也發(fā)散．所以冪級數(shù)的收斂域為．三、冪級數(shù)的運算設(shè),

,上式在收斂區(qū)間內(nèi)逐項積分,得,上式在收斂區(qū)間內(nèi)逐項求導(dǎo),得,

,所以,．三、冪級數(shù)的運算級數(shù)的值為