3.3《垂徑定理》（2）—浙教版數(shù)學九年級上冊課堂分層訓練

一、基礎應用

1.下列命題正確的是（）

A.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑

B.平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦

C.弦的垂線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心

D.平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦

2.如圖所示一個圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心。下方，若。。的直徑為26cm,水面寬

AB=24cm,則水的最大深度為（）

C.8cmD.10cm

3.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣

的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（）

B.②C.③D.④

4.如圖，48是0。的直徑，CD為弦,。0_1.48于點￡,則下列結論中不成立的是（）

A.AC=MB.肥=附C.OE=BED.CE=DE

S.如圖，CO為O。的直徑，弦AB_L于E,OE=12,CD=26,那么弦AB的長為()

6.如圖，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半徑。4=10m,地面寬4B=16m,則高度CD

為?

7.如圖，AB是00的直徑，弦CD_LAB十點E,若AB=1(),CD=6,則BE=,

8.如下圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分.如果M是O0中弦。。的

中點，EM經(jīng)過圓心0交圓0于點E,并且CD=4m,EM=6m.求O。的半徑.

9.“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應用，例如古典園林中的門洞,

如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m,地面入口寬為1m,求該門洞的半徑.

A

二、能力提升

10.數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件

圓弧上任取兩點4B,連接48,作48的垂直平分線CO交4B于點D,交腦于點C,測出4E=

40cm,CD=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25mD.20cm

11.如圖，MN所在的直線垂直平分線段AB,利用這樣的工具，可以找到圓形工件的圓心.如果使

用此工具找到圓心，則最少使用的次數(shù)為（)

A.1B.2C.3D.4

12.如圖，。。的弦AB,AC的夾角為50。,M,N分別為演和At的中點，0M,ON分別交AB,

AC于點E,F,則NMON的度數(shù)為（)

A.110°B.120C.130°D.100°

13.如圖，石拱橋的主橋拱是圓弧形.如圖,一石拱橋的跨度AB=l6/〃，拱高。=4/〃，那么橋拱

所在圓的半徑04=〃!.

家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖繪出了“簡車”的工作原理，如圖②.當簡車工作時，盛水桶的運行

路徑是以軸心。為圓心的一個圓，且圓心始終在水面上方.若圓被水面截得的弦48氏為8血，水面下

盛水桶的最大深度（即水面下方圓上的點距離水面的最大距離）為2米.

①②

（1）求該圓的半徑.

（2）若水面下降導致圓被水面截得的弦4B的長度從原來的8米變?yōu)?米，則水面下盛水桶的最

大深度為多少米？

19.某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離48=4稱跨度，橋面最高點到A8的距離CO=/i稱拱

高,當/，和人確定時.有兩種設計方案可供選擇：①拋物線型：②圓弧型.已知這座橋的跨度/,=2。

米，拱高九=5米.

（1）如圖1，若設計成拋物線型，以48所在直線為％軸，48的垂直平分線為y軸建立坐標系，求

此函數(shù)表達式；

（2）如圖2,若設計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；

（3）現(xiàn)有一艘寬為15米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面2.2米.從以上兩種方案中，任

選一種方案，判斷此貨船能否順利通過你所選方案的橋？并說明理由.

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】4m

7.【答案】1

8.【答案】解：連接CO,如圖:

是弦CD的中點，且EM經(jīng)過圓心O,

AEM1CD,且CM=/x4=2.

在RsOCM中，令。O的半徑為rm,EM=6m,

VOC2=OM2+CM2,

Ar2=(6-r)2+22,

解得：r=學.

9.【答案】解：如圖，連接。4

設圓心為點O,洞高為0C=2.5m,入口寬為48=1巾,門洞的半徑為笛n,

根據(jù)題意，得0C=(2.5-x)m,AC=^AB=0.5m,

根據(jù)勾股東理，得工2=(2.5-乃2+(0.5)2,

解得％=1.3,

答：該門洞的半徑為1.3m.

10.【答案】C

11.【答案】B

12.【答案】C

13.【答案】4V5

14.【答案】1.2

15.【答案】證明：過點O作OE_LAB,交。O于點E,

：.AE=

AOE1CD,

，AB〃CD.

16.【答案】解：4AEF是等腰三角形.

證明：如圖，連結OM,ON,分別交AB,AC于點P,Q.

VM,N分別為和，府的中點，

AOM1AB,ON1AC,

/.ZMPE=ZNQF=90°,

AZPEM=90°-ZM,ZQFN=90°-ZN.

VOM=ON,AZM=ZN,

AZPEM=ZQFN.

又ZAEF=ZPEM，ZAFE=NQFN，

AZAEF=ZAFE,

/.AE=AF,即△AEF是等腰二角形.

17.【答案】(1)解：???4B垂直平分CD,

圓心。在0C的延長線上.

設。。的半徑為r米，則OC=(r-2)米.

v0D1AB,

CA=BC=義48=4(米).

在RtaCMC中，

由勾股定理得：AC2+OC2=A02,

即42+(-2)2=r2，

解得丁=5.

即該圓弧所在圓的半徑為5米.

(2)解：過尸點作FHJ.CD于H點，連接。尸，如圖所示:

vBE=1,

???CE=4-1=3.

’:乙FHC=乙HCE=(CEF=90°,

???四邊形EFHC為矩形，

FH=CE=3,EF=HC

在Rt△。尸”中，OH=y/OF2-FH2=4.

???OC=3,

HC=1.

EF=HC=1.

即支撐桿EF的高度為1米.

18.【答案】(1)解:如圖所示,

過。作0。_L4B于點C,交O0于點。，則0C_L4B,CD=2

*'?AC=2力8=x8=4（米）

設圓的半徑為I?米，則0/1=。。=丁米，0C=0D-CD=r-2（米），

在山△400中，OC2+AC2=0A2,

即"2）2+42=N，

解得丁=5,

???該圓的半徑為5米：

（2）解：如圖所示，設水面下降至/’8’，過點O作OD'JLA力于點C,，交0。于點

?**.4C-B=x6=3(米)，

???。0的半徑為5米，

???0A=0D1=5米

二在Rt△40C'中，oC=y]OA,2-ArC,2=V52-32=4(米)，

-'-CD=OD-OC=5-4=L(米)，

?,?水面下盛水桶的最大深度為1(米).

19.【答案】(1)解：根據(jù)題意，得48=20,CD=5,

10,0),8(10,0),C(0,5),

設拋物線的表達式為y=a(x+10)(%-10),

將C(0,5)代入表達式，得一100。=5,

解得：a=—4,

?，?y=一4(x+10)(%—10)=-克/+5，

???拋物線的表達式為y=-需產(chǎn)+5；

4U

(2)解：如圖，設圓心為0,連接。C交48于E點，連接40,

AE=^AB=10?

Vh=5,

???CE=St

在RCA4E041,^AO2=AE2^rOE2,

2

AAO=IO2+(04—5)2,

解得:AO=12.5,

???該圓弧所在圓的半徑為12.5米；

(3)解：①若設計成拋物線型時，當“7.5時，y=一呆2+5=—4X7.52+5=||,

???登米＜2.2米，

1O

???貨船不能順利通過該橋；

②若設計成圓