2024-2025北京海淀區(qū)高二年級(jí)期末試卷

數(shù)學(xué)2025.01

學(xué)校_____________班級(jí)姓名

考1.本試卷共8頁(yè)，共三道大題,19道小題。滿(mǎn)分100分。考試時(shí)間90分鐘。

生2.在試卷上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱(chēng)，班級(jí)名稱(chēng),姓名。

須3.答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答。

知4.考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷交回。

第一部分(選擇題共40分)

一，選擇題共10小題,每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(I)直線(xiàn)省工+)，-1=0的傾斜角為

(A)I(B)-

3

2兀

(c(D)—

43

正三棱柱ABC-的所有棱長(zhǎng)都為4,七產(chǎn)分別是48的

中點(diǎn)，則E尸的長(zhǎng)是

(A)26(B)277

(C)4(D)6

(3)已知雙曲線(xiàn)。:/-今=1的右焦點(diǎn)為尸(2,0),則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為

(A)y=±-x(B))，=±&

-3

(C)y=±-x(D)y=±3x

,3

(4)在四面體。-ABC中，若麗？二麗^爾二雙己方二明^^二萬(wàn)人弓二以則初/二

(A)—(a+h+c)(B)-(a+b-c)

22

(C)-(a-b+c)(D)-(b+c-a)

22

(5)已知直線(xiàn)/"+)，+。=0與圓0：/+丁2=4交于48兩點(diǎn).若圓。上存在一點(diǎn)尸，使得四邊形Q4P8為菱形，則實(shí)數(shù)

。的值是

(A)±—(B)±1

2

(C)土&(D)±2

(6)已知/,〃?是兩條不同的直線(xiàn)，a,6是兩個(gè)不同的平面，且/ua,則"http:///"[”是“〃/〃”的

②若給定點(diǎn)M,0),則對(duì)任意的點(diǎn)尸，都存在點(diǎn)Q,使得=

(A)①②均正確(B)①②均錯(cuò)誤

(C)①對(duì)②錯(cuò)(D)①錯(cuò)②對(duì)

(9)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-48cA中，E為4耳的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸沿著線(xiàn)段8G從點(diǎn)4移動(dòng)

到點(diǎn)G.則下列結(jié)論中正確的是

(A)直線(xiàn)與直線(xiàn)為異面直線(xiàn)(B)恒為鈍角

(C)三棱錐尸的體積越來(lái)越大(D)D萬(wàn)上

(10)在立面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)0(0,0),A(—2,0),090$夕6§畝。),則/04＞的最大值為

(A)-(B)-

64

(C)-(D)—

312

第二部分(非選擇題共60分)

二,填空題共5小題.每小題4分洪20分。

(11)已知向量。=(4,九0),8=(1,2,12),且。_L6，則實(shí)數(shù)加=,|。-例=.

(12)已知圓f+,2=/和圓*一5)2+爐=9相交于AB兩點(diǎn)，則半徑，可以是_______(寫(xiě)出一個(gè)符合題目要求的取值

即可).

(13)已知拋物線(xiàn)C:V=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，點(diǎn)。為其準(zhǔn)線(xiàn)上的點(diǎn),且滿(mǎn)足。尸J.4'.若|PF|=4,則點(diǎn)

P的橫坐標(biāo)為_(kāi)_,△PQF的面積為_(kāi)______.

(14)中國(guó)國(guó)家博物館中的清代仿官窯四方委角象耳瓶向我們展示了我國(guó)古代工匠的高超技藝：瓶唇口，直頸，頸兩側(cè)飾

對(duì)稱(chēng)象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一種工藝術(shù)語(yǔ)，指的是將方形器物的尖角抹平晌內(nèi)收縮，如同把角

折起來(lái).如圖，該瓶的瓶身相當(dāng)于是在長(zhǎng)方體ABC。-AAGA中抹去八個(gè)形狀與大小都相同的三棱錐.在長(zhǎng)方體

ABC。-AAGA中，AC=x,4A=2/為M的中點(diǎn),E與G分別是棱AD與棱AB上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足

Q

AE=AF=AG.已知委角之后的長(zhǎng)方體體積是長(zhǎng)方體ABC。-AEGA體積的子則長(zhǎng)方體ABC。-A8CA的體

對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度為_(kāi)______.

（15）已知曲線(xiàn)。：42_|刈=〃）,2一|田）給出下列四個(gè)結(jié)論：

①對(duì)任意2eR,曲線(xiàn)C關(guān)于x軸,），軸，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

②當(dāng)義?1時(shí)，曲線(xiàn)。是由兩條直線(xiàn)和?個(gè)正方形組成的圖形.

③當(dāng)4=-1時(shí)，曲線(xiàn)C上任意兩點(diǎn)距離的最大值為2夜.

@當(dāng)義＜0時(shí)，曲線(xiàn)C圍成的區(qū)域面積最小值為4.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三，解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題8分)

如圖，在斜三棱柱ABC-A禺G中，,點(diǎn)M為AC的中點(diǎn).

(I)求證：向?！ㄆ矫鍭BM.

(II)若平面44CG_L平面人8C,求證：BM1AC,.

（17）（本小題11分）

已知圓C的圓心為C（3,0），且過(guò)點(diǎn)4（1,方），直線(xiàn)/的方程為y=kx-2.

（I）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（II）若直線(xiàn)/與圓C相切，求A的值.

（III）若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)〃滿(mǎn)足|PO|=21PC|,且點(diǎn)尸在直線(xiàn)/上，求攵的取值范圍.

(18)(本小題11分)

如圖，在四棱錐P-A6C￡＞中，申_LAB,8C_LA8,AQ//4C,勿=4)=2,48=6，8。=1,￡：為凡)的中點(diǎn),平面

BCE與被PA交于點(diǎn)、F.p

(I)求證：/為Q4的中點(diǎn)./j\\\

(II)若G為CO的中點(diǎn)，再?gòu)臈l件①，條件②這兩個(gè)條件中選

擇一個(gè)作為已知，求二面角A-/G-￡的余弦值.

條件①：BCLPB.

條件②：PG=y/l.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

(19)(本小題10分)

設(shè)曲線(xiàn)W:F(x,)，)=0,對(duì)曲線(xiàn)W進(jìn)行如下變換：將W上的任意一點(diǎn)P(x,y)沿著向量〃=仇&)平移,得到點(diǎn)

P"+〃》+&),稱(chēng)該變換為了仇外變換，得到的曲線(xiàn)記為W'

(I)若曲線(xiàn)w：x+)，+i=o,對(duì)w進(jìn)行r(-i,o)變換,直接寫(xiě)出曲線(xiàn)M的方程.

(II)若曲線(xiàn)W：8U+0』=1經(jīng)過(guò)7(瓦外變換后得到的曲線(xiàn)W關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

43

(i)直接寫(xiě)出〃+A的值和曲線(xiàn)的離心率.

(ii)已知點(diǎn)43,0),過(guò)曲線(xiàn)W的右焦點(diǎn)A/作直線(xiàn)/與曲線(xiàn)W，交于P,Q兩點(diǎn).

對(duì)于下列兩個(gè)問(wèn)題，只需選做一個(gè)，第一個(gè)問(wèn)題滿(mǎn)分為6分，第二個(gè)問(wèn)題滿(mǎn)分為8分.若選擇兩個(gè)問(wèn)題作答，則按

序號(hào)較小的解答計(jì)分.

①記^MAP,△MAQ的面職分別為航，反，若S=2s2,求直線(xiàn)/的斜率.

②直線(xiàn)”,AQ分別與直線(xiàn)x=5交于D,E兩點(diǎn)，若=孩，求直線(xiàn)/的斜率.

8

海淀區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分建議

一、選擇題：

題

12345678910

號(hào)

答

DABBCCDADB

案

二,填空題(共5小題,每小題4分洪20分)

(11)-213(12)3(答案不唯一)

(13)3—(14)4

3

(15)①②③

說(shuō)明：兩空題悌一空2分,第二空2分.

15題對(duì)一個(gè)給1分，對(duì)兩個(gè)給3分，都對(duì)給4分，有錯(cuò)的則給0分

三,解答題(共4小題洪40分)

(16)(共8分)

解：(I)連接A優(yōu)交A8于點(diǎn)N,連接MN.

因?yàn)橛肁為平行四邊形，所以N為4用的中點(diǎn)……1分

在AABC中，MN為中位線(xiàn),所以MN〃與C,……2分

又gCa平面4ZM/,MVu平面44M,...3分

所以4。/平面48M.……4分

(II)在AABC中,A8=8C,點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，所以8MJ_AC,……5分

因?yàn)槠矫鍭|ACG_L平面44c.

平面A14CG口平面A8C=AC,8Mu底面ABC,...6分

所以8WJL平面/%C￡……7分

又AGu平面A4CC,所以BM_LAG.……8分

(17)(共11分)

解：(I)因?yàn)閳AC的圓心為C(3,0),且過(guò)點(diǎn)4(1,6).

所以圓C的半徑r=|C4|=J(3—1尸+(0-75)2=3,……2分

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3/+J?=9.4分

(II)因?yàn)橹本€(xiàn)/與圓C相切.

所以圓心r(3,0)到直線(xiàn)--2=0的距離為3,

所以〃=能斗=3,……6分

解得％=—上.……7分

12

(III)設(shè)P(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)尸滿(mǎn)足|P01=21PC|.

所以Jf+J=2/彳_3產(chǎn)+)，2，即*—4)2+)，=4,...9分

所以點(diǎn)P在以(4,0)為圓心，半徑為2的圓上.

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在直線(xiàn)/上.

所以圓3-4)2+)2=4與直線(xiàn)/有公共點(diǎn)，……10分

所以圓心(4,0)到直線(xiàn)"一y—2=0的距離d=.中"I<2.

J2?+1

4

解得火……11分

3

(18)(共11分)

解：(I)因?yàn)?0〃8cAOz平面8CE,8Cu平面8CE.

所以40〃平面8CE.……1分

因?yàn)锳Ou平面皿＞,且平面BCED平面PAD=EF.

所以4。//EE……3分

在中，因?yàn)镋為尸。的中點(diǎn),所以廠(chǎng)為孫的中點(diǎn).……4分

(II)選擇條件①.

因?yàn)锳B工BC,BCLPB,且廢0人2=8,所以8C_L平面

因?yàn)樾平面as,所以……5分

乂因?yàn)榍褹B[}BC=B.

所以E4I底面4?7X....6分

以A為原點(diǎn)，以A反AD,AP的方向分別為x軸,y軸,z軸正方向.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.……7分

由題意可知40,0.0),C(x/3,l,0),0(020),E(O,1J),F(O,O,1),G(—,-,0).

22

n-FE=0

所以8分

n-EG=0

y=0,

所以百1n

—x+-y-z=()

22,

令x=2,得z=\/5,所以〃=(2,0,G).9分

同理，求得平面4尸G的法向量m=(-x/3,L0)

可得cos<m,it>=—10分

m\\n\7

乂因?yàn)槎娼茿-AG-E的平面角為鈍角.

所以二面角A-FG-E的余弦值為-亨.

11分

選擇條件②.

因?yàn)锳8=G,4C=1,N44C=^，所以AC=2.

2

在AAS中,G為C。的中點(diǎn),AC=4),所以AG_LCD,且AG=6

在ARAG中,幺=2,46=&,。6=>/7,則PAA.AG.5分

又因?yàn)镼4J_AB.

且A8DAG=A,所以B4_L底面A8CZ).6分

下面同條件①.

(19)(共10分)

解：(I)W的方程為x+y+2=01分

￡

(II)⑴〃+&=0,2分

2

(ii)法一:

)廣

依題意,IH:三+—=1,"(1,0),設(shè)直線(xiàn)/:)，=々(4-1),4分

43

設(shè)。(％,)，］),。(.小必)?

聯(lián)立方程、,得(3+4公)/—8h+4公-12=(),5分

3x~+4y-=12,

所以A=144(22+I)>O.

8公4k2-12

6分

…=訴乎"MT

選擇①:

因?yàn)?=2s2,所以1|41/||3=2心4州|必|),?1=-2%.

7分

所以k{xx-1)=-2k(x2-1),X1+2x2-3=0.

4*2-9

N+2々一3=0%=3+4公

8k243+9

所以X+X,------7所以

1-3+4二3+4公

4k2-124公-12

解得女=±且，所以/的斜率心土正.

……8分

22

選擇②:

因?yàn)锳(3,0),所以AP:y=—^(x—3).

x-3

令x=5,得。(5,義匚).

……7分

-3

同理皿懸）?

2k(x-1)2k(x-1)1)

所以|。目=12=|24

X]-3X]—3r,

22

"|(1+--)-(1+—-)=|4Z;|...8分

王一3x2-3-3(西+%)+91

T71IR\2\lk2+1

124、1

3+4上廠(chǎng)48kJ/?+1

所以?xún)?|軟|...9分

4^-12.16》+15

--------、-------+9

3+4代、3+4k2

48M2+1解得』？

所以

16k2+1584

所以直線(xiàn)/的斜率為k=±3

……10分

4

法二:

22

依題意,W':二+二=1,"(1,0),設(shè)直線(xiàn)/:X=ry+1,4分

43'

x=ty+L

設(shè)尸（大,乂），。（孫