第03講復(fù)數(shù)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航...............................................................2

02知識導(dǎo)圖思維引航...............................................................3

03考點突破題型探究...............................................................4

知識點1:復(fù)數(shù)的概念..............................................................4

知識點2:復(fù)數(shù)的四則運算..........................................................4

解題方法總結(jié)......................................................................6

題型一；復(fù)數(shù)的概念................................................................6

題型二：復(fù)數(shù)的運算................................................................8

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義...........................................................10

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共舸復(fù)數(shù).....................................................12

題型五：復(fù)數(shù)的模.................................................................13

題型六：復(fù)數(shù)的三角形式...........................................................15

題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題.....................................................18

題型八：復(fù)數(shù)方程.................................................................23

04真題練習(xí)?命題洞見..............................................................25

05課本典例高考素材..............................................................26

06易錯分析答題模板..............................................................27

易錯點：復(fù)數(shù)運算法則的應(yīng)用有誤..................................................27

答題模板：復(fù)數(shù)式的計算...........................................................28

1/28

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年I卷第2題，5分

2024年0卷第1題，5分高考對復(fù)數(shù)的考查相對穩(wěn)定，每年必考題

（1）復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2023年1卷第2題，5分型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不

（2）復(fù)數(shù)的幾何意義2023年II卷第1題，5分大.復(fù)數(shù)的運算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何

（3）復(fù)數(shù)的四則運算2022年I卷H卷第2題，5分意義是?？键c，難度較低，預(yù)測高考在此處仍以

2021年II卷第1題，5分簡單題為主.

2021年I卷第2題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù).

（2）理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.

（3）掌握復(fù)數(shù)的四則運算，了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義.

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〃匈迪旦國?星姓己I骯…

X———.廠麗la+Ma，be冷的故叫做設(shè)數(shù).

弋駟螃幺尸（火中"是為數(shù):的,實部,。是復(fù)數(shù):的廢部,，為止數(shù)單?位.

實數(shù)

復(fù)數(shù)的分類7KS)

值數(shù)的概念）

更等?一:、a+bi=c+di^a=ctlb=d(a,b,c,dWA).:

共椀復(fù)數(shù)｛。+加與c+"〃l：為共挽攵數(shù)Btf=c,b=-d（a,b,c,〃€/?）.二）

復(fù)數(shù)a+Ma,be/O的模，也就是向過說的模.即“向線段。2的K度，、\

典計V/公式朋|=|a+M=Ja：+b：,?然，日=|fl-M=Ja：+b：,：y=a：+。：.

(

復(fù)數(shù)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±l)i

亞數(shù)運算Zl'Zi=ac-bd-￥(ad+bcyi

：iac+bdbc-ad

復(fù)數(shù)1a+M（%be期對應(yīng)平面內(nèi)的點：（4b）

I，▼，

"數(shù)：=a+砥％beR）對應(yīng)平面向求逅

宸數(shù)的四則運尊慢數(shù)的幾何意義

復(fù)平面內(nèi)實Wi上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點衣示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都衣東1Z數(shù):

復(fù)數(shù)。6町的模I：依東及平向內(nèi)的點水,力到原點的距肉

位數(shù)的三角去示式

輛用的主值

三角形式下的兩個復(fù)數(shù)相等

發(fā)般的三角形式

復(fù)數(shù)三角形式的乘法運鍛r（cos0^isin0）r（cos9.+isiii0）=rr\cos（6+e^+isiii（e+9）］.、

ll:zxili;

sm三角形式的除法運a黑黑黯中的如仇計麗皿「仇）］

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(a+bi)?(a-bi)=zz=a2+/=|z『

?(注意

z+z=2a

其中|z|二，/+加,叫z的模；￡=〃一析是z=a+次的共輒復(fù)數(shù)LcR).

C)a+hi(a+bi)(c-di)(ac+bd)+(be-ad)i2..2a.

c+di(c+di)■(c-di)c~+d~

實數(shù)的全部運算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)塞運算法則)都適用于復(fù)數(shù).

注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

以復(fù)數(shù)az?分別對應(yīng)的向量函，麗為鄰邊作平行四邊形OZ/Z?，對角線OZ表示的向量52就是

復(fù)數(shù)z#z2所對應(yīng)的向量.々-Z2對應(yīng)的向量是窯.

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)對應(yīng)平面內(nèi)的點z(a,b);

(2)復(fù)數(shù)2=4+6(4。€/<)對應(yīng)平面向量)之;

(3)復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù).

(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點z(a力)到原點的距離.

3、復(fù)數(shù)的三角形式

(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=〃+4都可以表示成,?(cosO+isin。)形式，其中「是復(fù)數(shù)z的模；6是以x軸

的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線0Z)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+〃的輻

角.「(cosO+isin。)叫做愛數(shù)z=a+6i的三角表示式，簡稱三角形式.

(2)輻角的主值

任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差24的整數(shù)倍.規(guī)定在04。<2乃范圍內(nèi)的

輻角。的值為輻角的主值.通常記作繾gz,g|J0<argz<2^.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角

形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.

(3)三角形式下的兩個復(fù)數(shù)相等

兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.

(4)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算

①兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即

，;(cosq+/sin)?r2(cos^2+zsin02)=rtr2[cos(^+62)+Zsin(^+)]

②復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義

復(fù)數(shù)卬向?qū)?yīng)的向量為說，運，把向量西繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角(如果冬<0,就要把

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函繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)角網(wǎng)I),再把它的模變?yōu)樵瓉淼墓?，得到向量②彳，表示的?fù)數(shù)就是

積?

(5)復(fù)數(shù)三角形式的除法運算

兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)

的輻角所得的差,即黯笠翳胃……⑹.

【診斷自測】(2024?河北衡水?模擬預(yù)測)若2=上匕為純虛數(shù)，awR,則|z+l|=()

47+1

A.72B.73C.2D.3

【答案】A

1+i(1+i)(?-i)a+l+("l)i

【解析】

a+i(a-i)(a+i)a1+1

a+\

=0

因為z為純虛數(shù)，所以所以a=1,z=-i,

a-\

H0

a2+\

所以|z+l|="i|=0.

故選:A.

解題方法總結(jié)

復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

⑴aW回W6表小以原點O為圓心，以a和力為半徑的兩圓所夾的圓環(huán);

(2)|z—(a+/?)|=r(r>0)表示以(見〃)為圓心，r為半徑的圓.

題型一：復(fù)數(shù)的概念

【典例1?1】(2024?新疆?三模)復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,則z的虛部為()

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】C

【解析】設(shè)z=a+/)i口R,則z+2i=a+bi+2i=a+(Z?+2)i.

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因為|z+2i|=|z|,所以/+e+2）2=〃2+從,解得:b=-l,則z的虛部為-1.

故選:C

【典例1?2】（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）設(shè)更數(shù)z=±1，則）的虛部是（）

-1-i

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】A

l+i（l+i）（1+i）

【解析】z==_??.f則”j,虛部是］.

-l+i+i）

故選:A.

【方法技巧】

無論是復(fù)數(shù)模、共朝復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實部和虛部兩部分，所以在解決復(fù)

數(shù)有關(guān)問題時要將復(fù)數(shù)的實部和虛部都認(rèn)識清楚.

【變式1?1】（2024?重慶?三模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2z-泛=1,則z的虛部為（）

1

B.——C.3D.-3

A.\3

【答案】A

【解析】i殳復(fù)數(shù)z=a+6i（a,bwR）,

因為復(fù)數(shù)z滿足2z-iF=l,可得2〃+2/)i-i(〃-bi)=l,

即2。一b+(2A-o)i=l,則2a—8=1,2b-a=0,解得力=；,

所以復(fù)數(shù)z的虛部為;.

故選：A.

【變式1?2】（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）若z-（2+i）=3-i2g,則z的虛部為（）

7D..|i

A.-1B.—c

5-4

【答案】C

々-2024

J—122(27)42.

【解析】2=

2+i2+i(2+i)(2-i)55*

2

所以z的虛部是

故選:C

【變式1?3］若復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z+2i|,且J—為純虛數(shù)，則2=

2-z

【答案】1-/7-/+1

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【解析】因為乙為純虛數(shù)，設(shè)——=〃i(awR,且a/。)，則z=3-,z+2i=—2"+(2a+2》

2-z2-z1+ai\+a\

因為|z|=|z+2i],所以^^」一方j(luò)哈:2)",所以2向=5(_勿)2+(24+2)2,

解得。二一1,所以z=W=l—i

1-1

故答案為：l-i.

題型二：復(fù)數(shù)的運算

【典例2-1】(2024?四川?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足z—2T=2—3i,則？=()

A.-2-iB.2-iC.-2+iD.2+i

【答案】A

【解析】令復(fù)數(shù)z=a+〃i,4eR,〃ER.則z-2N=a+/)i-2(a—/)i)=—a+3/>i=2-3i,

-a=21〃=-2

根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的條件有”解得(「所以z=-2-i.

3b=-3[n=-l

故選：A

【典例2?2】設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(l-i)(1+2i)=()

A.3+3iB.—l+3iC.3+iD.—1+i

【答案】C

【解析】由(l—i)(l+2i)=l+2i—i—2i2=3+i.

故選:C.

【方法技巧】

設(shè)Z]=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d€R)?則

(1)z(±z2=a±c+(b±d)i

(2)zt-z2=ac-bd+(ad+bc)i

c、z.ac+bdbe-ad..八、

⑶—=-^-7T+—^i(z2*°)

z2c-+d-c+d-

~z—i

【變式2”】（2024?青海海南一模）已知z=3+2i,則h^二（）

（IT）

A.3-3/B.3+3i

8/28

【答案】D

【解析】因為z=3+2i,所以[=3—2i，

則三」建立止上生U=j

'(1-i)2(1-i)2-2i222

故選：D.

【變式2-2](2024?江西景德鎮(zhèn)?三模)下列有關(guān)復(fù)數(shù)4，z2的等式中錯誤的是()

A.|z,+z2|=|z,|+|z2|B.z.+z^z.+z,

C.2產(chǎn)2=2產(chǎn)2D.歸句=歸上|

【答案】A

【解析】設(shè)4=>+y]uz2=x2+%(西,.，乂，乃eR)，

對于A,令4=1/2=-2,區(qū)+馬=1*3=區(qū)|+22|,A錯誤;

對]'-B,z,+z2=(x,+yti)+(x2+卯)=(x,+x2)+(yt+%)i=(x,+三)一(必+y2)i

=(.V)-川)+(x2-y2i)=z,+z2,B正確;

對于C,4?z?=(再+y,i)(x2+y2i)=(xtx2-yty2)+(xty2+x2yt)i,

則Z1-z2=(xtx2-yly2)~(xiy2+x2y])i,zi-z2=(演一y(i)(x2-y2i)=(x]x2-y,y2)-(x,y2+x2y])i,

因此4n2=Z[?"，C正確；

對于D，IZ[41=，(中2-必必)由*%+T%)2=&：+凹,可+川)=|Z|||Z?I，D正確?

故選：A

【變式2?3】已知更數(shù)4，Z2的模長為1,且Z1+Z2=Z/2,則Z#Z?的值是()

A.1B.一1C.iD.—i

【答案】A

【解析】設(shè)4=a+/?i(a,beR),無=c+di(c,dwR),

貝ljZ]=a-bi?z2=c-di?

所以Z[Z]=(。+萬)(4一萬)=/+Z)2=1,

22

z2z2=(c+cli)(c-cl\)=c+d=I,

222

因為|zj=J)+右=1,|z2|=y/c-i-d'=1,所以/+//=1,C4-t/=1?

因為4+Z2=2仔2，所以,+‘=1,所以-^=+—1=1,

z24Z2Z2z,z,

upzi+z2=1,所以a—歷+c-di=(a+c)-(b+d)i=l,

9/28

所以a+c=l,b+d=0,

所以4+z?=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i=l.

故選：A.

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義

【典例3?1】(2024?山西呂梁?三模)己知復(fù)數(shù)z滿足不片=2產(chǎn)"，則復(fù)數(shù)』在復(fù)平面對應(yīng)的點在()

(1-1)1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】由復(fù)數(shù)z滿足小彳7=2坪4=2,可得z=2i?(l-i)=2+2i,則W=2.2i，

則復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點為(2,-2)位于笫四象限.

故選：D.

【典例3?2】若復(fù)數(shù)z滿足(2+3小甘23+蠟心，則復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因為(2+3%=產(chǎn)+8產(chǎn),

山“_i2024+8i2025_l+8i_(l+8i)(2-3i)_

2+3i2+3i(2+3i)(2—3i)

所以］=2-i，所以復(fù)數(shù)［在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(2,7),位于第四象限.

故選：D.

【方法技巧】

復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實質(zhì)是復(fù)平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是

研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點.

【變式3-1］(2024?陜西銅川?模擬預(yù)測)已知及數(shù)4二二的實部為。,z,=i(2+i)的虛部為〃，則

1-1

z=〃+(b+l)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】4=罟=蘭?罟=l+2i*2=i(2+i)=—l+2i,所以,7=14=2,所以z=l+3i,

10/28

其在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為。，3）,位于第一象限.

故選：A.

【變式3?2】（2024?浙江?模擬預(yù)測）若狂數(shù)z滿足z+25=3+i（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】設(shè)2=〃+加,（d6￡叩，^\z=a-hi,

則a+〃i+2（。一〃i）=3+i,即3。一bi=3+i,所以3。=3,-b=-l,

解得。=1,6=-1,故z=l-i,對應(yīng)的點（1,T）在第四象限.

故選：D.

【變式3-3］（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)馬==的實部為o,Z2=i（2+i）的虛部為人則

z=〃+e+l）i的共規(guī)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

3+i（3+i）（l+i）

【解析】由復(fù)數(shù)4=T一=*點T=l+2i,Z2=i-（2+1）=-l+2i,可得〃6=2,

1-1+1）

所以z=l+3i,所以5=l-3i在更平面內(nèi)的對應(yīng)點為（1,-3）,位于第四象限.

故選:D.

【變式3Y】（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3-后對應(yīng)的向量￡按順時針方向旋轉(zhuǎn)：，

所得向量在?上的投影向量對應(yīng)復(fù)數(shù)是（）

A.2百-3iB.3-2&C.-^―-iD.

22

【答案】D

【解析】因為把復(fù)數(shù)3-后對應(yīng)的向量1=（3,-行）按順時針方向旋轉(zhuǎn)方，

所以旋轉(zhuǎn)后的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

（3-后）［cos（-?+isin（一抄（3-后）（；豹除爭4+'邑-2/，

22

所以旋轉(zhuǎn)后的向量很=僅,-26）,

乂因為23=6，同=42+（-百），=2、,

（J?ba1.3即對應(yīng)復(fù)數(shù)是宗爭.

所以向量坂在不上的投影向量是否?「=-4=—

同一b

11/28

故選：D.

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共挽復(fù)數(shù)

2

【典例4-1】（2024?天津武清?模擬預(yù)測）已知4WR,且5+丁一=1,則。=

【答案】1

1

【解析】由題意可得：a\=\--=\-\=it所以o=l.

1+1（1+1）（1-1）

故答案為：L

【典例4?2】已知復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)是［若2i-z=z?"產(chǎn)3則/=.

【答案】-i

【解析】l^z=a+bi,a,b€R,則』="加，

因為12。24=任）5的=i,所以2（。+切）=（。+勿）（。一步）+1,

整理得-28+23=。2+/?+1,

所以乃，解得。=0/=-1,所以z=-i.

267=0

故答案為：-i

【方法技巧】

復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+dia=c且/)=d(a,b,c,dGR)

共規(guī)復(fù)數(shù)：a+bi=c+di="=c且b=-d(a,b,c,deR)-

2

【變式4?1】(2024?山東聊城?二模)已知awR,且ai+—=1.則〃=

a+\;

【答案】1

22(：”=“i+N=-Ma-3)i=l

【解析】。1+—：=ai+

4+1+a'+1cr+1(tr-\-\)

所以,解得4=1.

故答案為：1

【變式4-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z+|z|=3+4i,復(fù)數(shù)z的共視復(fù)數(shù)為亍，則亍的虛

部為一.

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【答案】-4

【解析】解法一：

設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yL(XiyGR),則x+yi+尸方=8+4i,

由復(fù)數(shù)相等，得卜+次+/=8,解得丫=3,即復(fù)數(shù)z=3+4i,

y=4

所以彳=3-4i,所以三的虛部為-4.

解法二：

由z+|z|=8+4i,得z=8-|z|+4i.因為忖是實數(shù),所以8Tzi也是實數(shù),

則有5=8—|z|-4i,所以爹的虛部為-4.

故答案為：-4

【變式4-3】已知。力eR,且滿足(l+2i)(a+bi)=3-i(其中i為虛數(shù)單位)，則/+〃=.

【答案】2

【解析】由題意1+2i)(a+歷)=3-i,可得("2b)+(2a+b)i=3-i,

1

(a-2b=3a=5

所以今K一解得/所以/+從=2.

2a+b=-l.7

b=—

5

故答案為：2

【變式4-4】已知mb&R,(l-i)(2+bi)=a,則a+〃=___.

【答案】6

【解析】(1—i)(2+/)i)=(2+/))4-(b—2)i=fl,故2+8=a,6—2=0,得力=2,a=4r所以4+6=6.

故答案為：6.

題型五：復(fù)數(shù)的模

【典例5-1】已知復(fù)數(shù)4=〃(〃一玉),々=一〃+(『+2)i,(〃(=7),J^|z]+z2|=2V17),則4=___.

【答案】-1或3

【解析】發(fā)數(shù)馬二4(〃-3i)=/-3ai,Z2=—a+(/+2)i,(4€Z),

22222

可得zx+z2=a-a+(a-3a+2)i,(?eZ),則,+z2|=J(a-a)+(cr-3a+2)=2\/7b,(?eZ)

2222

整理得，(a-\)(a-2a+2)=20fBP(?-l)[(a-1)+1]=20

因為QWZ,所以(“—I)2€Z,(々-I)：+1CZ且(4—1)2>0,(々—I)?+l>0,

又因20=4x5=2?x(2?+1),故(a—“=4,解得，。=3或a=—1.

13/28

故答案為：-1或3.

【典例5-2】（2024?江西南昌?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z+2=iz,則|z|=_

【答案】O

【解析】令z=4+〃i,則有。+切+2=《4+附，即q+2+6i=-6+ai,

解得a=b=-l,即z=-1-i,.，.|2|=應(yīng).

故答案為：V2.

【方法技巧】

\z\=\la2+b1

【變式5?1】復(fù)數(shù)怖端的模為

2

【答案】不‘008

_.-8+6i-8i2+6i2i2i-48-14i4814.

I/，；A|rr1----------=------------=-----------=-----------=------------=---------------1

(3-4i)J(3-4i)J(3-4i)2-7-24i252252252

H8+6i:2"+24?=_2

改(3-4i)s-2?~-云,

故答案為：卷2.

【變式5?2］已知㈤=3,忤|=4舊+22|=5,則|z—2b

【答案】5

【蟀析】假設(shè)Z|=4+加(。，bwR),Z?=〃?+〃i(〃?,〃￡R),

則由+z2=(.+〃1)+他+〃)i,Z)-z2=(a-m)+(h-n)\,

?.?|z,|=3,|z2|=4,|z,+z2|=5,

222

:.a-+b=9?>〃/+〃2=i6②，(a+m)+(h+n)=25(3),

③-①-②得2(〃〃?+bn)=0,

222112

/.I2)-z2|^(a-ni)+(b-n)-a-^b+m+-2(ani+bn)-25,

???|2,-Z2|=5,

故答案為：5

【變式5?3】(2024?福建廈門?三模)復(fù)數(shù)z滿足z+彳=2,zz=4,則|z-5|=.

【答案】2石

【解析】設(shè)2=。+加(a淳wR),則［=

由z+^=2,z"=4,

14/28

2a=2a=1

得2N〃解得「Q，

a'+b-=4[b=±y/3

所以|z—司二|2間=26,

故答案為：2石.

【變式54】已知復(fù)數(shù)數(shù)列｛zj滿足z“=〃+?i,則4+二+…+/一=.

Z\Z2Z2023

2023

【答案】

2024

【解析】因為z“=〃+Gi,則z；=(〃+6i)=〃2-〃+2〃/?i.

2

所以園=J。/一〃+(2〃4)=+〃=n+〃=〃(〃+1)

所以N；一團一〃（〃+1）一〃〃+「

所以3+1

Z；Z￡

2023

20242024

2023

故答案為:

2024

題型六：復(fù)數(shù)的三角形式

【典例6?1】一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=〃+6i（。，bwR）都可以表示成，［cosO+isinO）形式，其中，?是

更數(shù)z的模，。是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量場所在射線［射線OZ）為終邊的角，叫做要數(shù)

z=a+/）i的輻角，〃（cosd+isin/叫做復(fù)數(shù)z=a+/）i的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分

開來，a+bi（。，bwR）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”.已知Z|=cosq+isina，

z?=cos%+isinq,cos（^+^+^,）=|,其中,02s嗚），則3=.（結(jié)果表示代數(shù)

形式）

【答案】一沁

【解析】因為cos（兀+a+&）=-3s（a+a）=|.

15/28

所以cos(q+a)=-1<o,

5

又小圈，圈＞所以a+“嗚T,t沙

所以sin(q+q)=Qi-cos?(a+a)=4

5

所以ZR=(cos^)+isin^)(cos^2+isin02),

=(cos4cosa-sinRsin仇)+(cosRsin%+sin4cosa)i,

q4

=8s(a+a)+isin(a+a)=——+—i.

故答案為:+

【典例6?2】計算10（cosW+isin?+（-2方+2i）+（也■-赤）的結(jié)果是_.

【答案】里一逑i

88

【解析】-275+2i=-4(---i)=-4(cos(-，+isin(-§),

2266

同理可得—&i=23s（q）+is嗚））,

.1沖10nit7tnitit541>J1505位.

.?原H式=----(cos(—+—+—)+1sin(-+—+—))=一一(----+——1)=--------1.

-4x236436442288

故答案為：處-也i

88

【方法技巧】

一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成“cosO+isin。）形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模：夕是以x軸

的非負(fù)半軸為始邊，向量》之所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=o+4?的輻

角.「（cosO+isin。）叫做復(fù)數(shù)2=。+6的三角表示式，簡稱三角形式.

【變式6?1］（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測）已知*=cose+isine,則在下列表達(dá)式中表示sin。的是（）

上CAO—C"a評一

A.-------D

2i2i

r\0AOe'O+e-沼

C.D.

2i~ir

【答案】A

【解析】因e'"=cose+isin6，則e"=cos(-8)+isin(-6)=cosd-isin。，

/H=cose+isine-(cose-isine)=到"=si?故A項正確;

對于A,

2i2i2i

16/28

對于B,Nl=cosO+isinO+(cos。-isin6)=*￡=_一如，故B項錯誤;

2i2i2i

嚴(yán)一_cos。+isin。一(cos。-isin6)__2sin^i__j^故c項儼誤

對于C,-—sn

2i2i2i2i

對于D,由B項知，---------=cos-i?故D項錯誤.

2i

故選:A.

【變式6-2](2024?黑龍江哈爾濱三模)復(fù)數(shù)z=a十〃i(a,〃eR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z,設(shè)

,,=|OZ|,e是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z=〃+6i=r(cose+isin。)，把

/?(cosO+isin。)叫做復(fù)數(shù)a+bi的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運算,

[r(cos^+isin。)]'=cosnO+isin〃0(“eN),例如:

i6]27r..2n兀..兀))=4(cos7t4-isin^)=-4,

------1------1=cos——+isin——=cos2;r+isin2冗=1,(1+i)4=cos—+ism—

223344

復(fù):數(shù)Z滿足：?=l+i，貝也可能取值為()

兀..71A3兀..3兀

A.cos——+ism—B.cos—+isin—

12\2)44J

5兀..5兀..17n)

C.V2cos—+ism—D.+isin----

4412J

【答案】D

【解析】設(shè)z=，(cos8+isine),

則/=l+i==r3(cos3e+isin38),

所以廠=啦，39=2E+：#wZ,即。=^+^,kwZ,

2knn

所以z=正cos------4--+isin、kwZ

3\2)

0+ism

故i時'故z可取

1212J

故選：D

【變式6-3](2024?內(nèi)蒙占赤峰-,模)棣莫弗公式(cosx+i-sinx)"=cos(〃x)+i-sin(〃x)(其中i為虛數(shù)單位)

是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)cos^+Lsin色在復(fù)平面內(nèi)所

33

對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

17/28

,tml-r,▼7C..712兀2冗1.

【解用V】cos—+1-sin—=cos—4-i-sin—=一一+—i,

I33)3322

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為卜(日)，在第二象限.

故選：B.

【變式64](2024?湖北恩施?模擬預(yù)測)任意一個復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成三角形式,即

4+bi=〃(cos6+isin。).棣莫兆宗理是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667—1754年)創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個復(fù)

數(shù)々=/：(cosa+isin6j,z2=(cos^2+isin^2),則馬馬=化[cos(4+&)+isin(用+名)],已知復(fù)數(shù)

z=l+—i,則z^W已()

22

1

AR15/3.「10.n.

A.—B.—-1------1C.-----------1D.I

22222

【答案】B

【解析】由題意可得z=1+且i=cos'+isin巴，

2233

it，o,32023兀..2023TT,.兀、..._.7t,兀..7t

故丁"=cos---+isin---=cos(674n+y)+isinz(z6747t+y)=cosy+ls,ny，

ll11，0,3，—..7t2兀..271Tt..Tt

所以z-~+z~+z=cos—+isin—+cos—+isin—+cos——ism—

333333

=L0.

22

故選：B

題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

【典例7?1】(2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)4,z?滿足|z「3i|=2,七一4|=1,則|z「z?|的最大值是

()

A.6-&B.6+V2C.7D.8

【答案】D

【解析】設(shè)Z[=“+bi,a,bsR,z2=x+yi,x,ywR,

因為|ZI-3i|=2,|z2-4|=l,

22

所以/+(〃-3)2=4,(x-4)+y=\t

所以點乙(a,6)的軌跡為以(0,3)為圓心，2為半徑的圓，

18/28

點Z2（x,y）的軌跡為以（4,0）為圓心，1為半徑的圓,

又Z-Zzl表示點4.⑼與Z2（x,y）的距離,

所以|Z|-z?I的最大值是^（0-4）2+（3-0）2+3=8,

故選：D.

【典例7-2]（2024?山東煙臺?三模）若復(fù)數(shù)z滿足憶|=|z-2-2i|,則|z|的最小值為（）

A.1R.72C.73D.2

【答案】B

【解析】若復(fù)數(shù)Z滿足|N|=|N-2-2i|,則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點集是線段。4的垂直平分線,

其中0（0,0）4（2,2）,

所以|z|的最小值為；VF7F=V2.

故選：B.

【方法技巧】

利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化

【變式7?1】（2024?高三?河北滄州?期中）已知復(fù)數(shù)Zo=6（cos號+isin*],復(fù)數(shù)z滿足|z—zj=1,