福建省順昌一中2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.2．命題：“?x＜1，x2＜1”的否定是（）A.?x≥1，x2＜1 B.?x≥1，x2≥1C.?x＜1，x2≥1 D.?x＜1，x2≥13．已知點分別為圓與圓的任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A.24 B.18C.12 D.65．過拋物線C：的準(zhǔn)線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.6．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假7．拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B.C. D.8．某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；時，空氣質(zhì)量為良；時，空氣質(zhì)量為輕微污染，該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為（）A. B.C. D.9．等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，且則的實軸長為A.1 B.2C.4 D.810．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，分別帶著A、B、C、D、E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學(xué)游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為（）A. B.C. D.11．復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12．已知分別是橢圓的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若存在唯一零點，則的取值范圍是__________.14．已知雙曲線(a，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1且傾斜角為的直線l與雙曲線的左、右支分別交于點A，B.且|AF2|=|BF2|，則該雙曲線的離心率為____________.15．已知的頂點A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求（1）頂點C的坐標(biāo)；（2）直線BC的方程；16．定義在上的函數(shù)滿足，且對任意都有，則不等式的解集為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，（1）求的大小；（2）若，．求的面積18．（12分）已知拋物線上橫坐標(biāo)為3的點P到焦點F的距離為4.（1）求拋物線E的方程；（2）點A、B為拋物線E上異于原點O的兩不同的點，且滿足.若直線AB與橢圓恒有公共點，求m的取值范圍.19．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長都是，平面，為的中點，為的中點（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值20．（12分）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD為BC邊上的中線，AE為∠BAC的角平分線（1）求及線段BC的長；（2）求△ADE的面積21．（12分）已知橢圓過點，且離心率，為坐標(biāo)原點.（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點，直線與軸相交于點，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.22．（10分）已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項和為（1）求及；（2）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】對A，根據(jù)當(dāng)時，的值即可判斷；對B，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷；對C，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可判斷；對D，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對A，當(dāng)時，，故A錯誤；對B，的定義域為，且，故為奇函數(shù)；，當(dāng)時，當(dāng)時，，即，又，，故存在，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故B正確；對C，為奇函數(shù)，故C錯誤；對D，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：B.2、C【解析】將特稱命題否定為全稱命題即可【詳解】根據(jù)含有量詞的命題的否定，則“?x＜1，x2＜1”的否定是“?x＜1，x2≥1”.故選：C.3、B【解析】先判定兩圓的位置關(guān)系為相離的關(guān)系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.4、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合計數(shù)原理中的分步計算，以及排列組合公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為.故選：C.5、D【解析】設(shè)切點，點，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準(zhǔn)線方程可得，將問題轉(zhuǎn)化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點，點由題意，拋物線C的準(zhǔn)線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.6、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因為成立，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.7、D【解析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出該拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，因此，該拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：D.8、A【解析】根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空氣質(zhì)量為良的概率為，所以該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率，故選：A【點睛】本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.9、B【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個交點,，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實軸長為故選10、D【解析】利用排列組合知識求出每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的情況個數(shù)，以及五人抽取五個禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個人都拿到另外一個人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個禮物總數(shù)為種情況，故恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為.故選：D11、C【解析】化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為位于第三象限.故選：C.12、B【解析】首先分別設(shè)，，再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設(shè)，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到是的唯一零點，轉(zhuǎn)化為方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為存在唯一零點，所以是的唯一零點，則關(guān)于的方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，所以函數(shù)和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），又由，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即即的取值范圍是.故答案為：.14、【解析】由雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的關(guān)系，再由離心率公式可得所求值【詳解】過F2作F2N⊥AB于點N，設(shè)|AF2|＝|BF2|＝m，因為直線l的傾斜角為，所以在直角三角形F1F2N中，，由雙曲線的定義可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，則，故答案為：15、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)出點C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點C在中線上及求得答案；（2）設(shè)出點B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點M的坐標(biāo)，然后根據(jù)中線的方程及求出點B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC的方程.【小問1詳解】設(shè)C點的坐標(biāo)為，則由題知，即.【小問2詳解】設(shè)B點的坐標(biāo)為，則中點M坐標(biāo)代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.16、【解析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，由，得，即，所以，即等式的解集為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；（2）首先由余弦定理求出，即可得到，再根據(jù)面積公式計算可得；【小問1詳解】解：因為，由正弦定理可得，即，又在中，，所以，，所以；【小問2詳解】解：由余弦定理得，即，解得，所以，又，所以；.18、（1）（2）【解析】（1）由焦半徑公式可得，求解即可得答案；（2）由題意，直線AB斜率不為0，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達(dá)定理及可得，從而可得直線AB恒過定點，進(jìn)而可得定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上即可求解.【小問1詳解】解：因為拋物線上橫坐標(biāo)為3的點P到焦點F的距離為4，所以，解得，所以拋物線E的方程為；【小問2詳解】解：由題意，直線AB斜率不為0，設(shè)，，由，可得，所以，因為，即，所以，所以，即，所以，所以直線，所以直線AB恒過定點，因為直線AB與橢圓恒有公共點，所以定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上，即，所以.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點，連接交于，連接，，由平面幾何得，再根據(jù)線面平行的判定可得證；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得結(jié)果.【小問1詳解】取的中點，連接交于，連接，在三棱柱中，為的中點，，為的中點，且，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面；【小問2詳解】平面，，平面，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，，又是平面的一個法向量，，故平面和平面夾角的余弦值為20、（1），BC＝6（2）【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化簡已知條件，求得，結(jié)合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面積，結(jié)合角平分線、中線的性質(zhì)求得三角形的面積.小問1詳解】∵，∴，∴，∴由余弦定理得（負(fù)值舍去），即BC＝6.【小問2詳解】∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD為BC邊的中線，∴，∴.21、（1）；（2）存在，方程為和.【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點、離心率和關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理形式，根據(jù)共線向量可得，代入韋達(dá)定理中可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得，進(jìn)而得到直線方程.【小問1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意知：直線斜率存在且不為零，可設(shè)，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿足條件的直線存在，方程為和.22、（1）；（2）【解析】(1)先根據(jù)已知求出，再