3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)章節(jié)：3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教材分析本節(jié)課通過(guò)探究平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離差為常數(shù)的軌跡，引入雙曲線的定義，結(jié)合坐標(biāo)法推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程，并討論焦點(diǎn)在x軸和y軸上的兩種形式，進(jìn)而介紹雙曲線的實(shí)際應(yīng)用。教學(xué)過(guò)程遵循“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)—實(shí)驗(yàn)探究—?dú)w納定義—建系推導(dǎo)—應(yīng)用拓展”的邏輯線索。本節(jié)內(nèi)容承接橢圓的學(xué)習(xí)，通過(guò)類比橢圓的定義與方程建立方式，深化學(xué)生對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一性的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合與代數(shù)化歸能力。雙曲線作為圓錐曲線的重要組成部分，其定義方式、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法與橢圓既有聯(lián)系又有區(qū)別，有助于提升學(xué)生邏輯推理與抽象概括能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)通過(guò)時(shí)間差定位的實(shí)際情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用價(jià)值。學(xué)情分析針對(duì)本節(jié)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生已學(xué)習(xí)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，掌握了平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡特征，并熟悉利用坐標(biāo)法研究曲線方程的基本思路，具備一定的代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀結(jié)合的能力，同時(shí)在函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想方面已有初步積累；高中生正處于邏輯思維迅速發(fā)展的階段，具備較強(qiáng)的探究意識(shí)和抽象概括能力，但對(duì)距離差為常數(shù)的軌跡問(wèn)題尚缺乏直觀經(jīng)驗(yàn)，對(duì)絕對(duì)值條件下的分類討論及方程化簡(jiǎn)中的代數(shù)變形仍存在理解難度；本節(jié)課要求學(xué)生通過(guò)類比橢圓概念主動(dòng)探究雙曲線的定義，理解焦點(diǎn)、焦距、標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及推導(dǎo)過(guò)程，掌握兩種位置下的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)構(gòu)特征，并能初步體會(huì)雙曲線的實(shí)際應(yīng)用，這有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和運(yùn)算能力，進(jìn)一步完善圓錐曲線的知識(shí)體系。教學(xué)目標(biāo)理解雙曲線的定義，能夠解釋平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡特征，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，能夠通過(guò)類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)方法，獨(dú)立完成雙曲線方程的推導(dǎo)，達(dá)到邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠區(qū)分雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2理解雙曲線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，能夠建立時(shí)間差與雙曲線方程的聯(lián)系，解決簡(jiǎn)單的定位問(wèn)題，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的要求。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義、焦點(diǎn)、焦距的概念，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及兩種形式dfracx2a2?df課堂導(dǎo)入同學(xué)們，之前我們學(xué)習(xí)了橢圓，知道平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓。那現(xiàn)在思考一下，如果平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)，這樣的點(diǎn)的軌跡又會(huì)是什么呢？給大家講個(gè)有趣的故事，在一片廣闊的草原上，有兩只奔跑速度相同的獵豹F1、F2同時(shí)發(fā)現(xiàn)了獵物M，獵豹F1距離獵物更近，于是獵物開始逃跑，它始終保持讓兩只獵豹與自己的距離差為定值。那么獵物逃跑的路線會(huì)是什么形狀呢？帶著這個(gè)疑問(wèn)，讓我們一起走進(jìn)今天的新課雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程探究新知（一）知識(shí)精講

我們知道，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于∣F1F2∣）的點(diǎn)的軌跡是橢圓。那么，如果將“通過(guò)信息技術(shù)探究可以發(fā)現(xiàn)：如圖3.2-2所示，在滿足∣AB∣<∣F1F2∣≤∣PA∣+∣PB∣的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)，以F1為圓心、∣PA∣為半徑作圓，以F2為圓心、∣PB∣為半徑作圓，這兩個(gè)圓的交點(diǎn)M滿足如下幾何特征——當(dāng)M靠近F由此我們給出雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于一個(gè)非零常數(shù)（小于∣F1F2觀察所畫出的雙曲線，它具有對(duì)稱性，其中直線F1F2是一條對(duì)稱軸。為了便于研究其代數(shù)表達(dá)式，我們建立平面直角坐標(biāo)系：取經(jīng)過(guò)兩焦點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，設(shè)M(x,y)是雙曲線上任意一點(diǎn)，焦距為2c?(c>0根據(jù)雙曲線的定義，所有滿足條件的點(diǎn)M組成的集合為：

P由兩點(diǎn)間距離公式可得：

∣MF1∣=(x+類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)方法，我們將方程①進(jìn)行移項(xiàng)并平方處理。先移項(xiàng)得：

(x+c)2+y2=±2a+(x?c)2+y2

兩邊平方得：

(x+c)2+y2=4a2±4a(x?c)2+y2+(x?c)2+y2

這就是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(?c,0類似地，若雙曲線的焦點(diǎn)位于y軸上，即焦點(diǎn)為F1(0,?c)、F2(（二）師生互動(dòng)

師：剛才我們從幾何實(shí)驗(yàn)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)時(shí)，軌跡是一條分為兩支的曲線。請(qǐng)大家思考：為什么這個(gè)常數(shù)必須小于兩焦點(diǎn)之間的距離？如果等于或大于會(huì)怎樣？生：如果距離之差等于焦距，比如∣MF1∣?∣MF2師：很好！這說(shuō)明雙曲線存在的前提是2a生：一支是∣MF1∣師：正確。再來(lái)看這個(gè)方程x2a2?y2b2=1，它和橢圓方程x生：橢圓是“和為定值”，限制了點(diǎn)不能太遠(yuǎn)，所以是封閉曲線；而雙曲線是“差為定值”，允許點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)，所以是開放的、趨向無(wú)窮的曲線。（三）設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的定義，提出“距離之差為常數(shù)”的新問(wèn)題，激發(fā)探究興趣，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自然遷移。借助幾何作圖實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生直觀感知雙曲線的生成過(guò)程及其兩支特征，強(qiáng)化形與數(shù)之間的聯(lián)系。在推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中，嚴(yán)格遵循代數(shù)化簡(jiǎn)邏輯，突出類比思想的應(yīng)用，使學(xué)生理解雙曲線方程建立的合理性與嚴(yán)謹(jǐn)性。通過(guò)對(duì)定義中條件2a<新知應(yīng)用例1題目：已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(?5,0)、F2(解答：題目中給出雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(?5,0)和根據(jù)雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于焦距）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。焦點(diǎn)在x軸上，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式為：

x已知兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為(?5,0)和題目說(shuō)“點(diǎn)P與F1、F2的距離的絕對(duì)值等于6”，即：根據(jù)雙曲線中參數(shù)的關(guān)系：c2=a所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①雙曲線的定義及其幾何特征；

②雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式識(shí)別（焦點(diǎn)位置決定方程類型）；

③利用已知焦點(diǎn)和距離差求解標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)a、b、c。2.題目求解要點(diǎn)①判斷焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，確定標(biāo)準(zhǔn)方程形式；

②由焦距∣F1F2∣求出c，由距離差的絕對(duì)值求出a；

③利用關(guān)系式c2=a例2題目：已知A、B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s。求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程。解答：這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，涉及雙曲線的定義在物理情境中的運(yùn)用。第一步：理解題意聲音傳播速度為340m/s；在A地聽到聲音比B地晚2秒，說(shuō)明聲音從爆炸點(diǎn)P到達(dá)A的時(shí)間比到達(dá)B多2秒；因此，爆炸點(diǎn)P到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)：

∣這正是雙曲線的定義：到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。由于∣PA∣>∣PB∣，說(shuō)明爆炸點(diǎn)離A更遠(yuǎn)，離B更近，因此爆炸點(diǎn)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線中靠近B第二步：建立坐標(biāo)系如圖3.2-5所示，建立平面直角坐標(biāo)系：取線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)OAB所在直線為x則A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。已知∣AB∣=800?m，所以：

A(又因?yàn)椋?/p>

∣計(jì)算b2：

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x但注意：由于∣PA∣>∣PB∣，即爆炸點(diǎn)離A（左）更遠(yuǎn)，說(shuō)明它在雙曲線的第三步：寫出軌跡方程所以炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為：

x總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①雙曲線的實(shí)際應(yīng)用背景（聲波時(shí)間差定位）；

②根據(jù)實(shí)際條件建立數(shù)學(xué)模型的能力；

③雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及分支的選擇（只取一支）。2.題目求解要點(diǎn)①將時(shí)間差轉(zhuǎn)化為距離差：Δd=v?Δt；

②明確雙曲線的焦點(diǎn)為兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A、B；

③正確建立坐標(biāo)系，使焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)；

④由距離差得2a，由焦距得2c，進(jìn)而求新知鞏固題目：已知雙曲線x24?y212=1上一點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是5，則點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是（??）

A．1??B．1解答：我們已知雙曲線方程為：

x24?y212=1

從方程可得：a2=4b2=12根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，焦距的一半c滿足：

c2=a左焦點(diǎn)F右焦點(diǎn)F設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，且已知∣PF1∣=5，即點(diǎn)由雙曲線的定義：

雙曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a。

即：

代入已知條件∣PF1解這個(gè)絕對(duì)值方程：

5?∣P第一種情況：∣第二種情況：∣現(xiàn)在需要判斷這兩個(gè)解是否都成立。注意：雙曲線分為左右兩支。由于a=2，中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在(±2,0考慮點(diǎn)P的位置：若點(diǎn)P在右支，則它離右焦點(diǎn)更近，離左焦點(diǎn)更遠(yuǎn)，即∣PF1若點(diǎn)P在左支，則它離左焦點(diǎn)更近，離右焦點(diǎn)更遠(yuǎn)，即∣PF2但題目中給出的是：點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為5。而左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(?4,0當(dāng)點(diǎn)P在左支時(shí)，確實(shí)可能滿足∣PF1∣=當(dāng)點(diǎn)P在右支時(shí)，到左焦點(diǎn)的距離應(yīng)大于∣F實(shí)際上，右支上某點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最小距離出現(xiàn)在右頂點(diǎn)(2,0)處：

∣PF但題目中∣P因此，點(diǎn)P不可能在右支，只能在左支。于是只保留滿足左支的情況：

∣故點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是9。答案選D?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查雙曲線的定義及其基本幾何性質(zhì)，包括標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)位置、實(shí)軸長(zhǎng)、以及雙曲線上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差為定值2a2.題目求解要點(diǎn)正確識(shí)別雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式，求出a、b、c；利用雙曲線定義列出距離差的絕對(duì)值方程；解絕對(duì)值方程得到兩個(gè)可能解；結(jié)合幾何意義（點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離）判斷點(diǎn)所在的分支，排除不符合實(shí)際的解。3.同類型題目解題步驟寫出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)參數(shù)：a2、b2→計(jì)算c2根據(jù)雙曲線定義寫出：∣∣P代入已知距離，解絕對(duì)值方程，得到兩個(gè)可能的距離值；分析點(diǎn)所在分支：左支：到左焦點(diǎn)近，右焦點(diǎn)遠(yuǎn)→∣右支：到右焦點(diǎn)近，左焦點(diǎn)遠(yuǎn)→∣利用頂點(diǎn)處的最小距離進(jìn)行驗(yàn)證，排除不合理的解；給出最終答案。題目：設(shè)雙曲線C1:x2a2?y2b2=1（a>0,b>0）的離心率為53，實(shí)軸長(zhǎng)為6，若曲線C2上的點(diǎn)到雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為26，則曲線解答：已知雙曲線C1:x2a2?實(shí)軸長(zhǎng)為2a=6離心率公式為：

e再由關(guān)系式：

c所以雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)為：

題目說(shuō)：曲線C2上的任意一點(diǎn)到這兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為即：對(duì)C2上任意點(diǎn)P，都有

這正是橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為常數(shù)（大于焦距）的點(diǎn)的軌跡是橢圓。所以C2是一個(gè)以F1(?5,0)、F2(5焦距為2c′=由橢圓關(guān)系：

b因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2a′2對(duì)照選項(xiàng)，正確答案為D?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題綜合考查雙曲線與橢圓的基本量計(jì)算，包括離心率、實(shí)軸、焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)，并結(jié)合橢圓定義識(shí)別軌跡類型，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2.題目求解要點(diǎn)由雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)求a；由離心率e=c/a求由c2=a2+b理解“到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)”是橢圓定義，確定C2為橢圓；利用橢圓中2a′=距離和，求出已知焦距得c′，計(jì)算b′寫出標(biāo)準(zhǔn)方程并匹配選項(xiàng)。3.同類型題目解題步驟提取已知曲線（如雙曲線）的參數(shù)：實(shí)軸、虛軸、離心率等；計(jì)算焦點(diǎn)坐標(biāo)（關(guān)鍵橋梁）；分析新曲線的軌跡定義（如距離和為定值→橢圓；距離差為定值→雙曲線）；根據(jù)定義確定新曲線類型，并寫出對(duì)應(yīng)參數(shù)：橢圓：2a=距離和，2c=根據(jù)焦點(diǎn)位置確定標(biāo)準(zhǔn)方程形式（橫軸或縱軸）；寫出方程并與選項(xiàng)比對(duì)。板書設(shè)計(jì)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

├─定義

│└─平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2距離差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于∣F1F2∣）的點(diǎn)的軌跡

│├─定點(diǎn)：焦點(diǎn)F1、F2

│└─焦點(diǎn)間距離：焦距∣F1F2∣=2c（c>0）

├─數(shù)學(xué)表達(dá)

│└─∣∣MF1∣?∣MF2∣∣=2a，其中0<2a<2c即0<a<c

├─標(biāo)準(zhǔn)方程

│├─焦點(diǎn)在x軸上

││├─焦點(diǎn)坐標(biāo)：F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0教學(xué)反思本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)先通過(guò)探究平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡引入雙曲線概念，再引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程得出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，最后介紹其應(yīng)用。本課程基本完成教學(xué)任務(wù)，多數(shù)學(xué)生能理解雙曲線概念及標(biāo)準(zhǔn)方程。成功之處在于借助探究活動(dòng)激發(fā)學(xué)生興趣，類比推導(dǎo)過(guò)程利于學(xué)生理解。不足之處是在探究環(huán)節(jié)，部分學(xué)生參與度不夠，且在推導(dǎo)方程時(shí)，部分學(xué)生對(duì)化簡(jiǎn)過(guò)程理解困難，后續(xù)應(yīng)加強(qiáng)個(gè)別指導(dǎo)與過(guò)程講解。課堂練習(xí)第1題【題文】雙曲線C??:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0A．3B．5C．10D．6【答案】C第2題【題文】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，A．4B．15C．13D．3【答案】C第3題【題文】已知焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線x23m?y24A．1B．1C．?D．1或?【答案】C課前任務(wù)1.知識(shí)回顧

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于∣F1F2∣）的點(diǎn)的軌跡。焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2.預(yù)習(xí)教材

閱讀教材“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”部分，了解雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于∣F1F2∣）的點(diǎn)的軌跡。