20252026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷全解全析（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：北師大版必修第一冊(cè)第一章預(yù)備知識(shí)。第一部分（選擇題共分）一、選擇題：本題共8小題，每小題540分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的離心率為，則的值為（）A．B．C．4或D．或1.【答案】D【解析】當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在軸上時(shí)，，易知，則，解得；當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在軸上時(shí)，，易知，則，解得，所以的值為或.故選：D.2．已知圓上所有點(diǎn)都在第二象限，則的取值范圍為（）A．B．C．D．2.【答案】C【解析】由題意，在圓中，，/圓心坐標(biāo)為，半徑為3．圓上所有點(diǎn)都在第二象限，∴，解得．故選：C.3．已知直線：繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則的斜截式方程為（）A．B．C．D．3.【答案】B【解析】直線，其斜率，設(shè)其傾斜角為，則，又因?yàn)閮A斜角，所以．直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則直線的傾斜角．直線的斜率．又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的斜截式方程為．故選：B．4．2024年10月22日，我國(guó)在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征六號(hào)運(yùn)載火箭，成功將天平三號(hào)、、衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功．如圖，假設(shè)天平三號(hào)衛(wèi)星運(yùn)1.3表面高度約1.35萬(wàn)千米，運(yùn)動(dòng)至遠(yuǎn)地點(diǎn)距離地球表面高度約3.35萬(wàn)千米，則天平三號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡方程可以為（）A．B．C．D．4.【答案】A【解析】由題意知，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，地球的球心為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，/由題可知，，即．因?yàn)樘炱饺?hào)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)至近地點(diǎn)距離地球表面高度約1.35萬(wàn)千米，地球半徑約為0.65萬(wàn)千米，所以，可得，因此，結(jié)合選項(xiàng)可知A滿足．故選：A.5．已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，（）A．B．C．D．05.【答案】B【解析】，故過(guò)定點(diǎn)，又，故在圓內(nèi)，所以當(dāng)⊥時(shí)，取最小值，此時(shí)，又，所以.故選：B.6．若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線的斜率的取值范圍為（A．B．C．D．6.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€的斜率存在，所以，圓整理為，圓心坐標(biāo)為，半徑為，/要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，，，，設(shè)直線的斜率為，則，，直線的斜率的取值范圍是.故選：A.7，，是橢圓上的點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率等于（A．B．C．D．7.【答案】B【解析】解法一：因?yàn)槭堑膬?nèi)心，由內(nèi)角平分線定理得，則，所以，故選：B．解法二：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，，所以，由已知條件，得，所以，得，即，/故選：B．8到兩直線與的距離之和為的取值范圍是（）A．B．C．D．8.【答案】C【解析】將直線與化為一般式為，所以到兩直線的距離之和為，所以①．當(dāng)時(shí)，①式變形為；當(dāng)時(shí)，①式變形為；當(dāng)時(shí)，①式變形為；當(dāng)時(shí)，①式變形為．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為如圖所示的四邊形的邊，的幾何意義為四邊形邊上任意一點(diǎn)與連線的斜率．由，得，由，得,，，，，所以的取值范圍是．故選：C./二、選擇題：本題共3小題，每小題618分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A．直線在軸上的截距為1B．直線與直線之間的距離為C．直線的一個(gè)方向向量為D．直線與直線垂直9.【答案】BD【解析】對(duì)于A，令得，直線在軸上的截距為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線與直線平行，直線與直線之間的距離為，故B正確；對(duì)于C，直線的斜率為，以為方向向量的直線的斜率為3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，故D正確．故選：BD.10P為圓O：l：與xy軸分別交于MNQ為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（）A．若點(diǎn)，則的最小值為B．的最小面積是4C．若，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為或D．四邊形周長(zhǎng)的最小值為10.【答案】ACD【解析】由題意得，，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外，所以可知/的最小值，即為當(dāng)M，P，C三點(diǎn)共線時(shí)的值，，A正確；由題意得，，圓O的圓心到直線l的距離，所以點(diǎn)P到該直線距離的最小值為，所以，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，所以，所以．設(shè)，則解得或所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或，C正確；四邊形的周長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以四邊形的周長(zhǎng)為．設(shè)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)也取得最小值，則，則四邊形的周長(zhǎng)為，則當(dāng)t取最小值時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，最小值為，D正確．故選：ACD.．如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓，其左、右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與橢圓相切于點(diǎn)與垂直的直線與橢圓的長(zhǎng)軸交于點(diǎn)，四個(gè)結(jié)論，正確的是（）A．面積的最大值為B．的最大值為8/D．若，垂足為，則【答案】ACD【解析】由橢圓方程可知：，，.對(duì)于A：當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大，最大值為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋瑒t，可得，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，取到最大，所以的最大值為7，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，得點(diǎn)與垂直的直線為角的角平分線，則，設(shè)，則，，可得，，，，則，即，整理可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，與重合，不合題意，所以，即，故C正確：對(duì)于D：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，/則在中，，，則且為中點(diǎn)，連，在中，，則點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，即，故D正確.故選：ACD.共三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線．若，則實(shí)數(shù)的值為．12.【答案】2【解析】因?yàn)椋裕獾没?當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，，兩直線重合，不合題意.綜上，.故答案為：2.13．已知直線的斜率小于，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，，當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，直線的斜率為.13.【答案】【解析】設(shè)直線l的方程為，令，得，令，得.則和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，.所以，/即等號(hào)成立；故答案為：.14．已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為．14.【答案】【解析】如圖，連接，設(shè)，則，由橢圓的定義得，所以，，．又為以線段直徑的圓上，則，在中，，即，得，則，所以直線的斜率為，故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。1513分）已知在中，，，點(diǎn)是此三角形的重心.（1）求邊所在直線的一般式方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸、軸上的截距相等，求直線的斜截式方程.1513分）/1）設(shè)交于，則為的中點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是三角形的重心，所以，所以，所以，，所以，所以，故，解得.邊所在直線的方程為，即.（2）當(dāng)在軸、軸上的截距為0時(shí)，易知直線方程為：，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，可得，即直線方程為：；綜上所述：直線方程為或.1615分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為2，圓心在直線：上.（1）若圓心也在直線上，求過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使得，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.1615分）1）因?yàn)橹本€可化為，/令，則，故，聯(lián)立，解得，則圓心，因?yàn)閳A的半徑為2，所以圓的方程為，當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，易知與圓相切，符合題意；當(dāng)所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求圓的切線方程為，即,所以圓心到直線的距離為，解得,所以切線方程為，即,綜上所述，所求圓的切線方程為或.（2）因?yàn)閳A的圓心在直線：上，故設(shè)圓心為，則圓的方程為，又因?yàn)?，故，所以設(shè)為，則，設(shè)為圓，圓心，半徑為，則點(diǎn)應(yīng)該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點(diǎn)，所以，所以，由，解得，由，解得，綜上，的取值范圍為.1715分）/已知圓心為的動(dòng)圓與：外切，與：內(nèi)切.（1）求的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與的軌跡交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).1715分）1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，的圓心，半徑；的圓心，半徑.圓相內(nèi)切，因?yàn)閯?dòng)圓M與外切，所以；動(dòng)圓M與內(nèi)切，所以，則.又.因?yàn)?，根?jù)橢圓的定義，點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.則，，根據(jù)，可得.所以M的軌跡方程為.（2）設(shè)，.因?yàn)锳，B在橢圓上，所以.兩式相減得：.因?yàn)镹為線段AB的中點(diǎn)，所以，.則直線AB的斜率./直線AB的方程為，即.設(shè)點(diǎn)P，則，即.又中點(diǎn)在直線AB上，所以.將代入上式得：.解得，.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.1817分）已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）已知平面上有兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（3）若是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，與圓相切，切點(diǎn)分別為，試問(wèn)直線是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．1817分）1）因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)，由圓過(guò)點(diǎn)，可得，即，所以，整理得，解得，所以圓心為，半徑，所以圓的方程為.（2）設(shè)，則，因?yàn)?，所以的最小值?/（3）設(shè)，則以為直徑的圓的圓心為，記，半徑為，則此圓的方程為，即，記此圓為D.因?yàn)橹本€為圓與圓的相交弦所在直線，所以兩圓方程作差可得直線的方程為，即.由，解得所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.1917分）定義：由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)（焦點(diǎn)與頂點(diǎn)在同一邊）和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“焦頂三角形”，如果兩個(gè)橢圓的”焦頂三角形”相似，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比，下列問(wèn)題中（對(duì)應(yīng)圖1，對(duì)應(yīng)圖2）./說(shuō)明理由；（2）證明：兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”的充要條件是離心率相等；（3橢圓的離心率為，與是“相似橢圓”，且與的相似比為，若的面積為，求的面積（用，，表示）.1917分）1）解:這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，相似比為，理由如下：橢圓中，橢圓中，，則所以兩個(gè)橢圓的”焦頂三角形”相似，則這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且相似比為（2）證明：必要性：若兩個(gè)橢圓是“相似橢圓